SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ptolemejeva sintezaNeki tvrde da je Menehmo na žalbe svog učenika Aleksandra odgovorio da nema kraljevskog puta u geometriju, a drugi da je Euklid rekao to isto Ptolemeju Soteru. Ako ima istine u ovim pričama, izgleda da profesionalni matematičari ranijih vekova nisu uvek tako rado saopštavali tajne svoje nauke savremenicima. Ako je tako, postavlja se pitanje:zašto su vojnici-graditelji Aleksandrije bili tako voljni da učine grčku matematiku svojim najtrajnijim spomenikom? Verovatan je odgovor da je matematika Platonovog tipa mogla ipak dati recepte, mada zatrpane lavinom tehničkih trikova, za rešavanje praktičnih problema kakvo je zahtevala socijalna sredina, spremna za korišćenje ljudske inventivnosti. Naravno, ne znamo i verovatno nikad nećemo saznati strogo poverljive podatke vojne geodezije na osnovu kojih su određivani pravci Aleksandrovih vojnih pohoda, niti slične podatke u vezi sa izvanrednim Hanibalovim podvizima jedan vek kasnije. Teško je, međutim, sumnjati da su u grčkim kvartovima Aleksandrije, pri kraju Euklidovog života, živeli mnogi veterani kojima su bili poznati neki od ovih podataka. Njihovi grčki ratni drugovi koji su se naselili u seleukidskim kolonijama Mesopotamije takođe su ih poznavali. UTICAJ ERATOSTENATakva je društvena pozadina situacije u kojoj je Eratosten, koga danas pamtimo kao matematičara samo zbog njegovog jednostavnog postupka za nalazenje prostih brojeva, dao osnove naučne geografije, ne predviđajući njene implikacije za razvoj matematike kakva je danas. Eratosten (oko 250. godine pre n. e.) je bio peti bibliotekar Aleksandrijske biblioteke. Nema uverljivih dokaza da je ikada vršio originalna astronomska posmatranja. Značajno je to što je iskoristio priliku da korisno upotrebi novu riznicu ljudskih znanja. U njegovo vreme bilo je opšte poznato da je Sunčeva podnevna zenitna daljina (90-visina) u Aleksandriji na dan letnjeg solsticija, određena pomoću podnevne senke, u okruglim ciframa 7 ½º. Takođe je bilo poznato da je tada Sunčev lik vidljiv, u podne, na vodenoj površini dubokog bunara u Sijeni, blizu današnje Asuanske brane, a baš na severnom povratniku, gde je podnevna zenitna daljina na dan letnjeg solsticaja jednaka nuli. Pošto Aleksandrija i Sijena leže skoro na istom meridijanu, vidi se da ih razdvaja veliki kružni luk 7 ½º. Bilo da je imao u vidu zabeleženo srednje vreme putovanja preko ravnog pustinjskog terena, ili da se služio grubim mapama koje su napravili geodeti u egipatskim hramovima radi razrezivanja poreza-Eratosten je znao da je razdaljina između dva grada u našim merama oko 837 km. Prost dijagram dovodi do rezultata da je Zemljin obim približno 40000 km. RAZVOJ ASTRONOMIJEPeti
bibliotekar Aleksandrijske
biblioteke raspolagao je tako, iz dva izvora, ocenama meridijanske
udaljenosti između dva mesta, čije su geografske širine mogle biti određene
sa preciznošću neprevaziđenom pre Njutnovog vremena. Jedan od najvećih
aleksandrijskih naučnika mogao je imati drugačiji lik pred istorijom da
je ovome poklonio veću pažnju. U periodu od 800-1500. Godine n. e., Ptolemejev
Almagest (oko 150. Godine n. e.), kako ga obično nazivamo prema
arapskom naslovu, uživao je prestiž jednak Euklidovim Elementima, u vreme
uzajamnih kulturnih uticaja Istoka i Zapada. Iako je pisao na grčkom jeziku,
Ptolemej je, izgleda, koptskog porekla. On, kao i Heron, pripada seleukidsko-mesopotamijskoj
tradiciji, koja je ozbiljno shvatala veštinu računanja. Makar i samo iz
tog razloga, on nije mogao dobiti dužno priznanje kao pionir čiste matematike
pre Gausovog revolta protiv Euklidovih po sebi očevidnih principa. Otkriće precesije suočilo je astronome sa novim izazovom.
Nije moguće korigovati tablice deklinacije i rektascenzije, koje se odnose
na određeni datum, za upotrebu u mnogo kasnije vreme, a da se ne koriste
formule koje su potrebne da bi se ekliptičke koordinate nebeskog tela
mogle izvesti iz ekvatorijalnih, koje se odnose na direktno posmatranje
i daleko su pogodnije za svakodnevnu upotrebu. Zato je Hiparh, možda,
pristupio konstrukciji verovatno najranijih grubih trigonometrijskih tablica,
da bi proverio iznos precesije na osnovu ranijih zapisa i da bi dao postupak
za reviziju svoga kataloga od 850 zvezda u kasnije vreme. Pošto Ptolemejeva
zvezdana mapa određuje položaj 1008 zvezda stajaćica u ekliptičkim koordinatama,
on je, možda, nameravao da napravi takav katalog kome neće biti potrebne
korekcije. Druga okolnost koja je mogla uticati na njegovu odluku možda
je bila činjenica da putanje Meseca i planeta leže blizu ekliptike. Pošto
su njegove tablice deklinacije bile sastavljene za svaki stepen tzv. nebeske
širine, one su bile dovoljne za potrebe navigacije u vreme kada nije bilo
nikakvih načina, a ni osobite potrebe, za određivanje geografske dužine
na moru. Problem trnsformacije ekvatorijalnih koordinata nebeskog tela, izvedenih na osnovu lokalnog vremena i visine tranzita pomoću elementarnih geometrijskih razmatranja, u ekliptičke koordinate u suštini je sličan problemu merenja lukova Zemaljskih velikih krugova i uglova pod kojima se oni seku. Tačnost računanja ove vrste zavisi od tačnosti raspoloživih tabularnih vrednosti potrebnih trigonometrijskih odnosa, isto koliko i od moguće tačnosti podataka posmatranja. Ogroman uticaj Ptolemeja tokom srednjeg veka u ne maloj meri je posledica činjenice da je on razvio novi način sastavljanja matematičkih tablica sa visokim stepenom preciznosti (izraženih u seksagezimalnim razlomcima) i pravilnosti intervala. Njegova tablica tetiva daje sve bitne elemente za tablice koje danas koristimo. U krugu jediničnog poluprečnika, dužina tetive koja odgovara uglu A pri centru je 2 sin1/2 A. Ptolemejeve zabeležene vrednosti izražene su kao frakcije prečnika kruga čiji je radijus 60 jedinica. Ako je dužina tetive 2a, možemo pisati sin A= a/60 i tetiva 2A=2a/120=a/60. Odatle su tablične vrednosti koje navodi Ptolemej ekvivalentne, u našoj notaciji, sa:tetiva A=sin1/2 A i tetiva (180º-A) = cos1/2 A. Pošto je cos A=sin(90º-A), moderna tablica sinusa služi i kao tablica kosinusa, ako se argumenti označe suprotnim redom, dok se tablica tangensa lako izvodi iz relacije tan A=sinA/cosA=sinA/sin(90º-A). Polazni materijal kojim je raspolagao Hiparh bili su sinusi od 90º, 60º, 45º, 30º (i 0º), izvedeni iz Pitagorine teoreme, i sinusi uglova 72º i 24º, iz Euklidove konstrukcije pravilnih poligona sa 5 i 15 strana respektivna. Da bi se napravile urednije tablice trebalo je, pre svega, omogućiti da se izračuna sinus zbira dva ugla. Učenici starijih generacija bili bi ohrabreni da su mogli bez mistificiranog uključivanja Ptolemejeve teoreme u Euklidovu sekvencu otkriti njenu ekvivalentnost, u našem simbolizmu, formulom: sinA ±B=sinA cos B ± cosA * sinB Korišćenjem formule (sin A)2 + (cos A)2=1 možemo iz ovoga dobiti odgovarajuću formulu za kosinus: cosA ± B=cosA * cosB ± sinA * sinB Na primer, sin 4º = sin 1º * cos 3º + sin 3º * cos 1º. Prva od dve prethodne formule ne daje nam postupak za izjednačavanje intervala tablice, ukoliko se ne pozovemo na već pomenutu važnu granicu. Ptolemej, čije tablice tetiva za interval 1/2º vrše istu funkciju kao tablice sinusa za interval 1/4º, u stvari je sagledao da se sin A veoma približava A ako se meri u radijanima za uglove manje od 5º = (¶/36)R. Lako je proveriti da nema greške na šestom decimalnom mestu ako uzmemo sin 1/2º= (¶/360) R, pa se tako lako može ujednačiti tablica sa neravnomerno raspoređenim vrednostima pomođu adicione formule. Stigavši dotle, Ptolemej nije učinio naizgled očigledan korak napred odbacivši stepen kao jedinicu za merenje ugla u korist radijana. Jedan razlog za to mogao je ležati u tome što radijan, iako matematički više znači, nije praktična jedinica za kalibraciju. U ranoj grčkoj matematici nema ni
traga stepenu kao jedinici uglovnog merenja, a jedina jedinica koja se
pominje u Euklidovom traktatu jeste prav ugao. Međutim, možemo biti sigurni
da je Hiparh, ili možda njegovi prethodnici, preuzeo podelu kruga na 360
delova iz mesopotamskih izvora, mada nemamo podataka o metodu kalibracije
kvadranta koji je koristio Hiparh, ma kakav on bio. U cilju izvođenja prve formule, konstruišemo: (a) dve ravni koje prolaze kroz lukove b i c i kroz centar sfere, a međusobno zaklapaju isti zahvaćeni ugao A, (b) treću ravan koja sadrži luk, a i sastaje se sa druge dve u centru sfere. Tada zamišljamo da je moguće otvoriti tetraedar koji obrazuju njihovih 6 ivica, tako da se dobiju 4 trougla u istoj ravni. Druga formula tada sledi iz prve ako stavimo cos a - cos b * cos c = sin b * sin c * cos A. Tada se kvadriraju obe strane, smenjujući (cos b)2 =1- (sin b)2 itd. i dobije: (sin A)2 (sin b)2 (sin c)2 = (sin a)2 + (sin b)2 + (sin c)2+2 cos a *cos b * cos c - 2 Na sličan način, rešavajući po cos b kao gore, izvodimo: (sin B) 2 ( sin a) 2 ( sin c) 2 = (sin a) 2 +(sin b) 2+(sin c) 2+2 cos a * cos b * cos c - 2 —» (sin A)2(sin b)2(sin c)2 = —»sin A / sin a = sin B / sin b Ako za ugao između ekliptičke i polarne ose, tj. za geografsku širinu Rakovog povratnika, uzmemo 23,5º dobijamo dve jednačine za nepoznatu nebesku širinu (Lat.) i dužinu (Long.) nebeskog tela, izražene pomoću njegove poznate deklinacije i R. A., naime: sin (deklin.) = cos 23,5º * sin (Lat.) + + sin 23,5º * cos(Lat.) * sin(Long.) sin ( 90º + R. A.) = cos (Lat.) * cos(Long.): : cos (deklin.) Nijedan ugao pravouglog trougla ne može biti veći od 90º. Otuda je jedan član u gornjim jednačinama besmislen ako definišemo sinuse i kosinuse pomoću strana trougla. Ali, njihova interpretacija pomoću radijusa kruga i prave koja spaja centar sa sredinom tetive istovremeno je postojana sa alternativnom definicijom kada je A ≤ 90º i ima opštije važenje. U Ptolemejevoj notaciji, 2 cos A = tetiva(180º - 2A), odakle je sin(90º + A) = cos A. Pošto je sin 90º = 1 i cos 90º = 0, ovaj rezultat je konzistentan sa navedenom adicionom formulom: sin (90º + A) = sin 90º * cos A + cos 90º * sin A Mada manje pogodna s tačke gledišta geodeta, aleksandrijska tetiva mogla
se direktnije prilagoditi nego indijski sinus cilju koji se imao u vidu.
S druge strane, ona je oslobađala potrebe da se učini odlučujući korak
napred davanjem znaka trigonometrijskom odnosu, prema tome u kom pravcu
rotira radijus kruga. Može podići moral nekima od nas ako shvate da je
čovečanstvu trebalo 1500 godina da sa pouzdanjem učini ovaj korak. PTOLEMEJEVA MAPAMeđu navedenima, izgleda da je Marinus iz Tira prvi preneo koordinatnu
geometriju sa nebeske sfere na Zemlju, uvodeći geografsku dužinu u veštinu
pravljenja mapa. Ovaj novitet biće od ogromne važnosti kada brodovi budu
mogli da plove na istok i zapad preko Atlantika, ali pomorski kapetani
starog doba nisu ga još mogli u potpunosti koristiti. Ne treba da pretpostavljamo
ni da su oni osećali potrebu za tim. Pre Kolumbovih putovanja, brodovi
su plovili blizu obale posmatrajućI let morskih ptica, a geografska širina
bila je dovoljna da se pronađe pristanište na severnom ili južnom plovidbenom
putu van granica Sredozemnog mora. S druge strane, naučna geografija nije
mogla napredovati iznad nivoa koji je dostigla u Erastotenovo vreme, sve
dok je geografska širina bila jedini precizan kriterijum za određivanje
uzajamnog položaja veoma udaljenih mesta. PROBLEM INVARIJANTNOSTIOsim što je dao snažan podsticaj napretku trigonometrije u indijsko-muslimanskom svetu, Ptolemejev pionirski rad u oblasti kartografije imao je mali uticaj na razvoj matematike tokom milenijuma posle njegove smrti, ali njegov kasniji uticaj bio je znatan. Počevši od korišćenja mape za ucrtavanje kursa broda, analitički metodi za generisanje krivih razvili su se neprimetnim koracima u kontekstu velikih plovidbi Kolumbove ere. Prestavljanje sferične konture na ravnoj površini eksplicitno je prvi put postavilo problem invarijantnosti, koji je postao dominantna tema matematike tokom druge polovine XIX veka. Koliko je Ptolemej jasno shvatio prednosti i nedostatke različitih projekcija, anticipirajući tako pojam invarijantnosti zajednički mnogim poljima matematike XIX veka-predstavlja zagonetku. Pošto je činjenica da je sastavio tri različite mape, zasnovane na različitim metodima, to opravdava verovanje da mu je bila jasna nemogućnost postizanja invarijantnosti u odnosu na sva korisna geomertijska svojstva sfere jednim jedinim metodom. Od tri metoda koje on opisuje, jedan je bio projekcija konusnog tipa. Druga mapa težila je boljem kompromisu time što su i meridijani bili predstavljeni krivim linijama, slično uporednicima. Treća, koju je relativno skoro razjasnio Nojgebauer, je kompromis između perspektivnog i metričkog prilaza. Veoma veliki uticaj Ptolemej je imao na njegove neposredne sledbenike. Papus (oko 250. god. n. e.)poslednji od velikih geometara antike, izgleda da je prvi sagledao osnovno invarijantno svojstvo projekcije 4 tačke na jednu istu pravu liniju. Literatura
preuzmi seminarski rad u wordu » » »
|