SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
IRACIONALAN BROJU matematici, iracionalan broj je onaj realan broj koji nije racionalan broj, tj ne može biti napisan kao razlomak dva cela broja odnosno nije oblikagde su a i b celi brojevi i b nije jednako nula. Može se lako pokazati da su iracionalni brojevi svi koji u svakoj brojnoj osnovi (decimalnoj, binarnoj, itd) imaju beskonačno cifara i ne dolazi do beskonačno ponavljanje nekog podniza cifara, mada matematičari nikad ovo ne bi naveli kao definiciju. Kratka istorija teorije iracionalnih brojevaOtkriće iracionalnih brojeva se vezuje za pitagorejce, konkretno za Hipasusa
iz Metapontuma, koji je izveo (najverovatnije geometrijski) dokaz o iracionalnosti
(nesamerljivosti) kvadratnog korena iz broja 2. Prema priči je Hipasus
pokušao da dokaže da je hipotenuza jednakokrakog pravouglog trougla samerljiva
sa katetom, odnosno današnjim rečnikom da je koren iz 2 moguće predstaviti
razlomkom. Usred traženja takvog dokaza on je dokazao upravo suprotno.
Pitagorejska sekta je među svojim dogmama imala da je svet u suštini matematički
i da se sve u njemu može predstaviti odnosom brojeva. Brojevi koji se
nisu mogli predstaviti tako su po njima bili van uma (lat. ratio)
odnosno van pameti, pa ih je neko tako i nazvao, iracionalni (grčki alogon,
što doduše može značiti i ono o čemu ne treba pričati). Hipasus
je, izgleda, nekom van bratstva ispričao o svom otkriću. Pobesnela braća
su ga uljudno pozvala na krstarenje i na pučini bacili preko palube. Iracionalnost kvadratnog korena iz 2Jedan dokaz iracionalnosti kvadratnog korena iz 2 se dokazuje dovođenjem u kontradikciju (reductio ad absurdum), omiljenom metodom starih Helena. Tvrdnja se dokazuje uvođenjem suprotne pretpostavke u odnosu na željenu i kroz dokazni postupak dolazimo do kontradikcije takvoj pretpostavci, što je eliminiše. Tako je naša željena pretpostavka ostala jedina moguća te je stoga tačna.
Tako smo dokazali željeno, prvo pobijajući tu tvrdnju a potom dokazujući da nas to dovodi do apsurda i kontradikcije. Zaključak je, ne treba negirati početnu tvrdnju jer je ona tačna. Dakle je iracionalan. Drugačiji dokaz:Primenom iste metode na drugačiji način možemo dokazati iracionalan je manje poznat ali zavređuje da se predstavi. Dakle, ako je tada se geometrijskom metodom, jednostavnom lenjir i šestar konstrukcijom može demonstrirati da je. Sa slike je jasno da su veliki i mali pravougli trouglovi slični. Ako je odnos hipotenuze i katete kod velikog jednak m/n, gde su m i n uzajamno prosti, tada isti takav odnos postoji i kod manjeg i iznosi (2n-m)/(m-n). Ali pošto smo dobili odnos u kome su brojevi u razlomku manji nego u prvom razlomku zaključak je da smo upravo skratili imenilac i brojilac, što je u suprotnosti sa polaznom pretpostavkom da su m i n uzajamno prosti. Ovo je dokaz u kome nema računa već isključivo geometrije, pa se može smatrati prihvatljivim starim helenskim geometrima Iracionalnost zlatnog presekaKada se duž podeli na dva dela na način da se duži deo prema celini odnosi
na isti način kao kraći deo prema dužem, tada smo duž podelili u zlatnom
odnosu. Kaže se još da smo napravili zlatan presek, čiji je odnos Transcendentni i algebarski iracionalni brojeviSkoro svi iracionalni brojevi su transcendentni a istovremeno su svi transcendentni brojevi iracionalni. Poznati su sledeći primeri
Drugi način konstrukcije iracionalnog broja je iracionalni algebarski
broj tj. kao nula polinoma sa celobrojnim koeficijentima. Pođimo od jednačine Jednostavan dokaz iracionalnosti za neke logaritmeLogaritmi su verovatno najjednostavniji za dokazivanje iracionalnosti. Sledi dokaz svođenjem na kontradikciju, da je log23 iracionalan: Iracionalni brojevi i decimalni razvojČesto se pogrešno zaključuje da matematičari definišu iracionalan
broj u smislu decimalnog razvoja, nazivajući broj iracionalnim
ako decimalni razvoj ima beskonačno cifara, a cifre se ne ponavljaju.
Nijedan matematičar ne uzima ovo kao definiciju jer izbor osnove 10 za
brojni sistem je prozvoljan a prava definicija je bolja i jednostavnija.
Mada, istini za volju, tačno je da je broj oblika n/m,
gde su n i m prirodni brojevi, ako i samo ako decimalni
prikaz ima konačan broj cifara ili se cifre ponavljaju beskonačno u grupama.
Ovo je moguće pokazati običnim školskim deljenjem n sa m
jer samo m mogućih ostataka postoji. Ako je 0 ostatak, decimalni
ispis se završava. Ako se 0 nikad ne pojavljuje tada se postupak može
ponoviti najviše m − 1 puta pre nego što se ponovo isti ostaci
pojave. Posle toga, ostatak se ponavlja i decimalne cifre se ponavljaju.
Primer: Tada (Broj 135, iz gornjeg primera, se lako nalazi upotrebom Euklidovog algoritma.) Skup iracionalnih brojeva nema standardnu oznaku kao što je to slučaj
sa skupom prirodnih brojeva N, skupom racionalnih brojeva Q ili skupom
realnih brojeva R. Primeri:
a neki su transcendentni brojevi, kao što su
Brojevi za koje se ne zna da li su iracionalni :Ne zna se da li su π + e i π − e iracionalni ili ne.
preuzmi seminarski rad u wordu » » »
|