SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
BaricentarKoncept baricentra (težišta) prvi je uveo Arhimed iz Sirakuze u trećem veku pre nove ere. On je začetnik matematičkih tehnika koje su prve dovele do izračunavanja baricentara trougla, polusfere i eliptičkog paraboloida. Izučavanje baricentara je uveliko pomoglo da se razjasne razni problemi u astronomiji vezani za kretanje planeta u svojim sistemima, između ostalog i uticaj Meseca na Zemlju odnosno njeno kretanje u Sunčevom sistemu. Masa Meseca, iako 81,3 puta manja od mase Zemlje, nije zanemarljiva.
Ona deluje na Zemlju i zapravo Mesec ne kruži oko Zemlje, već Mesec i
Zemlja osciliraju oko jedne zajedničke tačke, oko zajedničkog centra mase
koji se zove baricentar. I zapravo tačka u kojoj se nalazi baricentar
obilazi Sunce po eliptičnoj putanji dok centri Meseca i Zemlje osciliraju
oko te tačke. Stoga ni putanja Meseca ni putanja Zemlje nemaju pravilan
eliptični oblik. Baricentri i afine bazeAko je A bilo koji afini prostor nad poljem K, ekemente skupa
zovemo
i ponderisanim tačkama tog prostora A. Drugim rečima, to su svi
parovi (),
gde je A neka tačka iz A i neki
skalar. Tvrđenje 1. Za svakih n ponderisanih tačaka (),…,() u afinom prostoru A, čija ukupna masa nije 0, postoji tačno jedna tačka S za koju je (1) . Dokaz. Ako je O fiksirana tačka iz A, biće pa odmah sledi da je relacija (1) ekvivalentna sa . Štaviše, kako tu nije 0, time je ona ekvivalentna i sa Otuda i sama teorema , jer za datu tačku O i vektor na desnoj strain u (2) postoji tačno jedna tačka S za koju je , a time i tačno jedna tačka S za koju važi (1). Tačku S o kojoj je reč u tvrđenju 1 zovemo i baricentrom uočenog sistema ponderisanih tačaka (),…,(), ili samih tačaka sa masama , za koje nije nula. To je i jednina tačka prostora A, takva da za bar jednu, a time i svaku tačku O iz A važi (2). Takođe, baricentar ponderisanih tačaka (,) se ne menja, ako se njihove mase pomnože istim skalarom . Naime, množeći (1) sa dobijena relacija tačno znači da je S baricentar ponderisanih tačaka (,), sa istim tačkama i masama . (3) za bar jednu, a tie i svaku tačku O. Naravno, tada je S baricentar i ponderisanih tačaka (,). U tom slučaju, umesto (3) takođe pišemo i (4) uz napomenu da ta relacija ima smisla jedino ako je i . Tako, na primer, sama relacija znači da je tačka S baricentar datih tačaka A i B sa masama i . Prema prethodnom, to je ekvivalentno, kako sa ,tako i sa . To dalje znači i da je tačka S baricentar dve razne tačke A i B, sa izvesnim masama, ako i samo ako je i na pravoj . Takođe: Tvrđenje 2. Ako su E i F, tim redom, baricentri bilo koja dva sistema ponderisanih tačaka (),…,() i (),…,(), takvih da nijedan od skalara (5) , I nije nula, tada je baricentar S svih tih p+q tačaka upravo baricentar ponderisanih tačaka (E, ) i (F, ). Pri tom su tačke E,F,S kolinearne i važi ES:SF=. i . Sada je iz istih razloga I , pa je tako tačka S baricentar i ponderisanih tačaka (E, ) i (F, ), sa ukupnom masom . Otuda i samo tvrđenje, jer njegov preostali deo sledi direktno iz relacije . Posebno, ako postoji baricentar sistema tačaka , sa istim masama , zovemo i njegovim težištem. Naravno, tu mora biti i što sigurno važi ako je polje K karakteristike 0, na primer za K=R. Drugim rečima, to je jedina tačka T prostora A za koju je , a time i za svaku tačku O iz A. Takođe, ako je tačka različita od težišta preostalih tačaka iz S, tako određene prave zovemo i težišnim pravama uočenog sistema tačaka S. Prema prethodnom tvrđenju 2, za p=1, sve one sadrže njegovo težište T i pri tom važi , , i ako dalje. i slično za sistem tačaka , među kojima nikoje tri nisu kolinearne. Na osnovu tvrđenja 1 sledi da se, u opštem slučaju, njegovo težište T nalazi na sedam naznačenih pravih. Jedna od njih je i težišna prava . Pri tom je , , i tako dalje. Najzad, ako su i sistemi koordinata dve različite tačke A i B u odnosu na dati reper prostora A dimenzije n i , prema (2), ada su i koordinate baricentra S ponderisanih tačaka () i () određene sa . Pri tom, ako je tu, na primer, i , te relacije se svode na . ime su to i koordinate tačke S prave za koju je , to jest, . Za , ta tačka S je upravo težište tačaka A i B, koje takođe zovemo i središtem para tačaka . Literatura:
preuzmi seminarski rad u wordu » » »
|