‘’Pošto nama priliči da ispitamo početke I umetnosti I nauka sa
stanovišta sadašnjeg vaseljenskog ciklusa,kažimo da je ,prema svim izvorima,geometrija
prvo otkrivena među Egipćanima,I da vodi poreklo od merenja zemljišta.
Jer, oni su je smatrali neophodnom zbog podizanja nivoa Nila koji bi
zbrisao svačije međe. Niti ima ičeg iznenađujućeg u tome što otkriće
ove I drugih nauka potiče iz praktične potrebe,jer sve što je u procesu
nastajanja napreduje od nesavršenog ka savršenom,tako da je prirodan
prelaz od opažanja do zaključivanja I od zaključivanja do razumevanja.
Upravo kao što tačno poznavanje brojeva vodi poreklo od Feničana zbog
trgovine I ugovaranja,tako je geometrija otkrivena među Egipćanima iz
navedenog razloga.’’ — Proklo
Prema Proklovim rečima geometrija je ponikla u Egiptu iz praktične potrebe
da se posle izlivanja Nila poplavljeno zemljište premeri I ponovo parceliše.
Ovaj podatak može se naći u Herodotovoj Istoriji I Proklo ga je odatle
svakako I preuzeo. Herodot kazuje da
‘’Svaki kome bi reka odnela nešto zemlje morao je to odmah da javi
kralju. Tada bi ovaj poslao svoje činovnike da pregledaju I izmere za
koliko se zemlja smanjila I da prema tome odrede koliku će porezu ubuduće
plaćati. Izgleda mi da je u vezi s tim pronađena I geometrija I da je
odatle kasnije dospela u Heladu.’’ [Istorija,II.109]
I Aristotel
je delio ovo mišljenje o poreklu geometrije. U Metafizici [981b], govoreći
o znanjima koja su se pojavila u zemljama u kojima su ljudi imali slobodnog
vremena na pretek,on tvrdi da je:
„Egipat bio kolevka matematičke nauke jer je tu svešteničkom staležu
bilo ostavljeno mnogo slobodnog vremena.“
Demokrit je za sebe umeo da kaže:
„U konstruisanju linija pri iznošenju dokaza nije me niko pretekao
,čak ni takozvani harpedonapti (zatezači konopa) u Egiptu.“[23,vol.II,str.187]
Ko su mogli biti harpedonapti koje pominje Demokrit?
Oni su bili ili pripadnici svešteničkog staleža iz Aristotelove
tvrdnje, ili činovnici koji su premeravali zemljište koristeći se najjednostavnijim
sredstvima u koje je svakako spadao I konop koji su zatezali. Po tome
su dobili svoje grčko ime harpedonapti-zatezači konopa. Njima je prepuštano
da pre početka gradnje hramova ili grobnica orijentišu građevinu i odrede
njenu osnovu. Prilikom izgradnje piramida ovo nikako nije moglo biti
jednostavno imajući u vidu njihove dimenzije. Ali,veština harpedonapta
bila je impresivna. To se najbolje vidi iz podatka da se odstupanje
osnove velike piramide u Gizi od besprekornog kvadrata čija je ivica
oko 230 metara,meri santimetrima.
Iz dvaju dokumenata pisanih na papirusu od kojih je jedan poznat po
imenu Rajndov papirus,koji je nastao oko 1750.godine stare ere,a drugi
je Moskovski koji je stariji stotinak godina,saznajemo koje matematičke
istine su bile poznate činovnicima i sveštenicima starog Egipta. U njima
je sačuvano mnoštvo rešenih matematičkih problema,delom iz aritmetike,a
delom iz geometrije. Dvadeset četvrti problem Rajndovog papirusa glasi
[67,str.5][31,str154]:
„Gomila-njena sedmina ,njeno celo ,to je 19.“
Mi bismo rekli: Odrediti nepoznatu veličinu ako je zbir njene sedmine
i nje same jednak 19. Lako ćemo sastaviti jednačinu
1/7x + x = 19,
I utvrditi da je njeno rešenje 165/8. I Ahmes,pisac Rajndovog papirusa,
dobija isto rešenje. Razume se,on ne sastavlja jednačinu već samo opisuje
računski postupak kojim se dolazi do tog rešenja. U osnovi ovog postupka
koji će kasnije dobiti ime „metoda lažnog rešenja“,krije se dobro poznavanje
proporcije. Ako treba rešiti linearnu jednačinu
ƒ (x) = C,
pretpostavićemo da je x1 „lažno rešenje“ ove jednačine. Možemo očekivati
da je tada ƒ (x1) ≠C pa ,ako je
ƒ (x1) = C1,
iz proporcije
x : x1 = C : C1
nalazimo tačno rešenje u obliku
x = x1C/C1.
Za Ahmesa, kao uostalom i za svu egipatsku matematiku, svaki problem
je pojedinačni problem za koji se propisuje procedura rešenja. Nema
opštih razmatranja i nema dokazivanja.
Moskovski papirus |
Ahmesov ili Rhindov
papirus |
O staroegipatskoj matematici doznajemo ponajviše iz dvaju čuvenih
papirusa: Ahmesovog ili Rhindovog (desno) i Moskovskog (levo). Rhindov
papirus je 1858. otkrio škotski egiptolog Henry Rhind u
Luxoru. To je zapravo svitak dužine 6 m, širine 30 cm. Pisao ga je pisar
Ahmes oko 1650 g. pr. Hrista i verovatno je nastao
tako što je Ahmes prepisivao neki spis star 200 godina. Danas se čuva
u British Museumu u Londonu, a sadrži 87 matematičkih problema. To je
jedna kompletna "studija o svim stvarima, pogled u unutrašnjost
svega što postoji, saznanje o tamnim tajnama", kako piše u
samom papirusu. Ahmesov papirus je zbirka tablica i vežbi, retorička
u svojoj formi, koja je namenjena uglavnom učenju matematike. Sadrži
vežbe iz aritmetike, algebre, geometrije i raznih merenja. Moskovski
papirus otkrio je 1893. godine V. S. Golenichev. Dug
je 6 m, širok 8 cm. Sadrži 25 problema, od kojih mnogi nisu čitljivi.
Čuva se u Moskovskom muzeju.
Stari Egipćani imali su razvijen decimalni sistem i svoje oznake za
brojeve:
Hijeratski znaci |
Hijeroglifski znaci |
Hijeroglifskim znacima se pisalo po kamenu kako s leva na desno, tako
i obrnuto, a ponekad i odozgo prema dole. Različito pisanje ne stvara
probleme kod čitanja bojeva jer egipatski način pisanja brojeva nije
pozicijski. Hijeratički su znaci uvedeni za brzo pisanje po papirusu,
drvu ili po lončariji.
Osim navedenih, upotrebljavali su se povremeno i neki posebni znakovi
za brojeve koji nisu dekadne jedinice. Npr. za broj dva crtali bi se
goveđi rogovi, za broj pet morska zvezda, a ljudska glava bila je i
oznaka za broj sedam (7 otvora).
Na poseban su način označavali razlomke, tako specifičan da nema sličnosti
ni s jednom drugom kulturom. Razlomak čiji je brojilac jedan zapisivao
se tako da se iznad znaka za imenilac stavio poseban znak sa značenjem
"deo". Svi razlomci pisali su se s jediničnim brojiocem, a
ako to nije bilo moguće, onda su ga prikazivali kao zbir takvih.
Evo nekoliko primera zapisa nekih brojeva:
Koristili su brojevni sistem s bazom 10, a jedna od glavnih razlika
između hijeratičkih brojeva i našeg brojevnog sistema jeste da hijeratički
brojevi nisu bili pisani u sistemu mesnih vrednosti, tako da su cifre
mogle biti pisane bilo kojim redosledom. Hijeratički je sistem adicijski
sistem. Vidimo da se, recimo, broj 249 zapisuje kao 249 = 2 100 + 4
10 + 9, pa u zapisu imaju dva znaka za 100, četiri znaka za 10 i devet
znakova za 1.
Kako su racunali stari Egipćani?
Egipatski brojevni sistem nije bio pogodan za računanje, ali je trgovina
zahtevala sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje te rad s razlomcima.
Sabirati je bilo najlakše!
Sabiralo se skupljanjem istih simbola zajedno i pretvaranjem
njih 10 u jedan simbol sledećeg nivoa:
Oduzimalo se tako da se odmicao određeni broj istih
simbola. Ovo je znalo biti i komplikovano kad se moralo oduzeti više
simbola nego što ih je bilo prisutno u prikazu. Npr. evo kako bi izračunali
63-38.
Od 6 desetica možemo oduzeti 3 desetice, ali možemo ukloniti samo 3
jedinice. Još nam preostaje 5 jedinica za oduzimanje. Jedna od preostalih
desetica potrebna je da se omogući oduzimanje sledećih 5 jedinica jer
1 desetica – 5 jedinica = 10 jedinica – 5 jedinica = 5 jedinica.
Tačan mehanizam oduzimanja koji su koristili nije sasvim jasan, iako
ova ilustracija pokazuje kojim je redosledom pisar mogao sprovesti oduzimanje.
Množenje prirodnih brojeva odaje nam da su se služili
i potencijama broja 2. Stari Egipćani množili su dva broja koristeći
udvostručavanje brojeva.
U plavom pravougaoniku prikazan je njihov zapis, a sivi pravougaonik
i račun ispod pravougaonika objašnjava metodu.
Broj su udvostručavali sabirajući ga samog sa sobom,
dakle, samo su zapisali brojeve jedan ispod drugog i pretvorili svakih
10 istih simbola u simbol sledećeg nivoa.
Kako nisu imali razvijen pozicijski zapis brojeva, moramo starim Egipćanima
priznati veliku spretnost i ekonomičnost u računanju.
Kao što se vidi u tablici hijeroglifskih znakova, egipatski brojevni
sistem koristio je simbole koji predstavljaju potencije broja 10 s eksponentima
od 0 do 6. I oni su uočili da je množenje broja s 10
jednostavno: zamenili bi svaki simbol onim susednim po veličini, npr.
236 10 = (6 jedinica postaje 6 desetica, 3 desetice postaju 3 stotice,
2 stotice postaju 2 hiljade) = 2 hiljade, 3 stotice i 6 desetica = 2360.
Evo jednog od poslednjih problema Rhindovog papirusa: "Na
imanju je sedam zgrada. U svakoj od njih je sedam mačaka. Svaka od mačaka
uhvati po sedam miševa, a svaki od njih pojede po sedam zrna pšenice.
Svako bi zrno moglo dati sedam merica žita. Koliko je na imanju ukupno
zgrada, mačaka, miševa, zrna pšenice i merica žita?"
Rešenje u našim oznakama dato je s:
zgrada 7
mačaka 49
miševa 343
zrna 2401
merica 16807
-----------------------
19607
Deljenje
kod starih Egipćana zahtevalo je korištenje množenja i vrlo često upotrebu
razlomaka. Pogledajmo prvo primer deljenja kad je rezultat ceo broj:
-125 podijeljeno s 5 daje isti rezultat kao 5 pomnoženo s ??? = 125
-množi 5 uzastopno s višekratnicima od 2 sve dok ne dobiješ 125 (kao
kod množenja)
-zbir crveno označenih brojeva u plavom pravougaoniku daje rešenje.
Ova metoda temelji se na jednostavnoj matematičkoj činjenici koja je
bila poznata i egipatskim pisarima,a to je da su množenje i deljenje
inverzne operacije,tj.
a b = c ako i samo ako je c : b = a.
Kad je pisar morao računati s razlomcima, bio je suočen s mnogim problemima,
uglavnom vezanim za njihovo zapisivanje. Njihove metode zapisivanja
nisu im dopuštale da pišu jednostavne razlomke kao što su 3/5 ili 15/33
zato što su svi razlomci morali biti prikazani s brojiocem 1. Ako to
nije bilo moguće, onda se razlomak morao zapisati kao zbir razlomaka
s brojiocem 1. Izuzetak u tome je bio razlomak 2/3. Razlomci su zapisivani
tako da je iznad imenioca stavljen hijeroglif koji je označavao "otvorena
usta" . Danas pojednostavljeno razlomke s jedinicom u brojiocu
pišemo s kosom crtom iza koje sledi imenilac, npr. 1/2 zapisujemo kao
/2, 1/4 kao /4, dok se izuzetak, 2/3, piše //3.
Postojala su i određena pravila pri računanju s razlomcima:
• kad se razlomak može prikazati na više načina, koristi se način
koji zahteva najmanji broj jediničnih razlomaka,
• uvek se koristi najveći mogući jedinični razlomak, osim ako to nije
u kontradikciji s prvim pravilom,
• u prikazu razlomka 2/n ne mogu se koristiti dva ista jedinična razlomka,
• jedinični razlomci pišu se od većeg prema manjem.
Primeri koji objašnjavaju ova pravila:
1. Razlomak 3/4 pisar je mogao zapisati kao /2 /4, ili /3 /4 /6. Uvek
se koristi kraća verzija.
2. Razlomak 7/12 mogao se zapisati kao /2 /12, ili /3 /4. Pisar bi
koristio /2 /12 jer mora koristiti veći jedinični razlomak, /2 koji
je veći od /3.
3. Razlomak 9/10 nije se mogao zapisati kao /2 /5 /5 zato što se jedinični
razlomak može koristiti samo jednom u prikazu. Zato bi se 9/10 pisao
kao //3 /5 /30.
4. Zadnji primer pokazuje kako su razlomci u zbiru pisani u padajućem
redosledu: //3 > /5 > /30.
1/3 3/4 = 1/2 + 1/4
Stari Egipćani verovali su da ih "Rx" simbol, tj. simbol boga
Horusa štiti od zla. Zato su i u matematiku ugradili simboliku pa su
razvili i svojevrstan brojevni sistem koji se koristio za prepisivanje
lekova, podelu zemlje ili semenja. Razlomke su pravili tako što su kombinovali
pojedine delove simbola oka boga Horusa. Svaki deo imao je različitu
vrednost. Celokupni simbol oka ima vrednost 1, a celi sistem se temelji
na podeli na polovine. Pola od 1 je 1/2, pola pola od 1/2 je 1/4, itd.
sve do 1/64. .
Npr., da bismo prikazali razlomak 5/8, kombinujemo razlomke 1/8 i 1/2.
Važnost 2/3 kao jedinog razlomka koji nisu rastavljali na jedinične
i koji su vrlo mnogo koristili u računima, pronalazimo u tome što su
stari Egipćani znali i koristili činjenicu da se 2/3 od 1/n može računati
kao 2/3 1/n = 1/(2n) + 1/(6n). Kako su bili vešti u računanju, a pogotovo
zato što nigde nisu pronađeni neki pomoćni računi. Veruje se da su imali
dobro i precizno razrađene tablice rastava razlomaka, sabiranja i oduzimanja
osnovnih i sl., koje su im omogućavale brzo i efikasno računanje s razlomcima.
Stari Egipćani su imali razvijenu geometriju, stereometriju i sve ono
što im je bilo potrebno za izgradnju piramida i hramova. Znamo da su
znali računati nagib piramide, zapreminu zarubljene piramide te zapreminu
piramide. Računali su površinu trougla kao 1/2 umnoška dve kraće stranice
(što vredi samo za pravougli trougao); mala odstupanja nisu im značila
previše. Znali su izračunati i površinu pravougaonika kao umnožak dužina
njegovih stranica.
Deo Moskovskog papirusa
o izračunavanju zapremine
zarubljene piramide
Ono što je fascinantno, a pronađeno je
u Ahmesovom papirusu, je kako su računali površinu kruga:
• pretpostavimo da krug ima prečnik od 9 kheta (khet je jedinica za
dužinu),
• uzmi 1/9 prečnika, dakle 1,
• ostatak je 8,
• pomnoži 8 sa 8,
• dobiješ 64 i to je površina!
Kad bismo to zapisali savremenim matematičkim jezikom, P = (8/9 x prečnik)2,
i uporedili rezultat s egzaktnom formulom za izračunavanje površine
kruga, P = r2π, dobili bismo zanimljiv rezultat: stari Egipćani su gotovo
1000 godina pre stvarnog otkrića broja π znali njegovu približnu vrednost.
Naime, po njihovim računima π bi iznosio približno 3.1605!
Formula
slična egipatskoj za površinu kruga dobija se upoređivanjem kruga s
kvadratom:
• prečnik kruga je 9, dakle, opiše mu se kvadrat stranice dužine 9
• podeli svaku stranicu kvadrata na trećine
• formirati osmougao kao na slici
• površina dobijenog osmougla približno je jednaka površini kruga
• površina osmougla jednaka je površini kvadrata umanjena za dva mala
kvadrata sačinjena od 4 "odrezana" trougla
2
P(osmougla) = 9 9 – 4(1/2 3 3) = 63 64 = 8
Staroegipatska algebra bila je retorička, problemi i rešenja dati su
rečima. Znali su rešavati jednačine prvog stepena s tim da su obavezno
sprovodili analizu i sintezu pri rešavanju, tj. svako rešenje su uvrštavali
u početni problem da se uvere da to jeste pravo rešenje.
Stari Egipćani nisu poznavali oznake za množenje, deljenje, jednakost,
kvadratni koren, decimalnu tačku, nisu čak ni znali za "obični"
razlomak p/q, nisu se pitali zašto nešto funkcioniše, nisu tražili univerzalnu
istinu formulisanu simbolima koji bi jasno i logički pokazali njihov
misaoni proces. Ali su se zato koristili i sedmocifrenim brojevima,
imali su neku čudnu mešavinu jednostavnosti i komplikovanosti u svojim
računima, ali taj se koncept pokazuje kao potpuno jedinstvena i zatvorena
celina.
Zato se može reći da je egipatska matematika jedini sačuvani čisti primerak
računske tehnike koja je bila vrlo razvijena, koja u čitavom svom razvoju
nije doživela nikakav bitni diskontinuitet, već se u potpunosti temelji
na osnovi računanja - na brojenju i pojmu razlomka.
Na jednom zidu hrama u Edfu ostao je sačuvan način izračunavanja površine
trapezoida I to množenjem poluzbirova suprotnih stranica. Formula nije
tačna,ali greška je minimalna.
Egipćani su poznavali transcedentni broj π (odnos obima I prečnika kruga)
tj.kvadrat stranice a=16,ima istu površinu kao i krug poluprečnika r=9,
što bi prema današnjim formulama mogli napisati: : r2π= a2, odakle sledi
egipatski "π" = (16/9)2, koji približno iznosi 3,16 a to je
minimalna greška.
Egipćani nas najviše fasciniraju gradnjom Velike piramide i njenom
geometrijom, kao i hramovima. Savršeno orjentisanih prema stranama sveta
,dva miliona kamenih blokova teških do 54 tone,čine Veliku piramidu
u Gizi,s takvom preciznošću da su uglovi pravi tačni do jedan posto,a
stranice dužine 230 metara u dužini se razlikuju minimalno.
Najzanimljiviji i po proporcijama najsuptilniji egipatski hram Velika
piramida je skiciran ispod. Donje isprekidane linije su hodnici koji
kreću iz Kraljevske komore (na slici,levi ka Sirijusu). Oni sa stranicama
piramide formiraju pravougle trouglove. Kateta, hipotenuza i njihov
zbir, desnog od trouglova odgovara trima uzastopnim članovima Fibonačijevog
niza. Uzastopni članovi Fibonačijevog niza se koriste za izračunavanje
zlatnog preseka,naročitog estetskog odnosa u građevinarstvu. To nije
slučajno, jer je i u drugim hramovima(naročito u Karnaku) vođeno računa
o „zlatnim proporcijama“. Osim toga i dimenzije Kraljevske sobe su u
Fibonačijevom nizu.
Površina trougla:
Metod izračunavanja površine trougla koji su Egipćani koristili ekvivalentan
je današnjoj formuli P = ½ b*h, gde je b – osnovica, a h – visina trougla.
Jedina nejasnoća kod ovog metoda je ta što se ne zna pouzdano da li
su Egipćani stvarno uzimali visinu trougla, ili su uzimali drugu njegovu
stranicu, što ne daje tačno rešenje, osim u slučaju pravouglog trougla.
Površina kruga:
U starim egipatskim matematičkim spisima možemo naći više primera izračunavanja
površine kruga. Autor daje sledeća uputstva:
• od prečnika se oduzme njegova jedna devetina
• ono što ostane, diže se na kvadrat.
Problem 50 iz Rindovog papirusa:
izračunati površinu kruga čiji je prečnik 9 jedinica dužine. Kada se
oduzme njegova jedna devetina, dobija se 8. 8 pomnoženo sa 8 (kvadrirano)
daje 64. Uopšteno bi izgledalo ovako:
P = (8/9d)²
Ovo rešenje je veoma blizu onom koje dobijamo današnjom metodom:
P = (d/2)²π = 63.617
Iz ove dve jednačine se može izvući vrednost broja π, do koje su došli
stari Egipćani, iako ga nisu posebno imenovali:
(8/9d)² = (d/2)²π
64/81d² = ¼ d²π
64*4/81 = π
256/81 = π
π ≈ 3.1605
Površina geometrijskih tela:
Površina ravnih geometrijskih tela računala se , kao što se to i danas
radi, sabiranjem površina pojedinačnih stranica. Kod zaobljenih tela
se već javljaju manji problemi. U starim skriptama postoji samo nekoliko
zadataka koji se bave ovom problematikom, ali se naučnici još nisu složili
oko prevoda hijeroglifa. Tačnije, ne zna se pouzdano o kom telu se govori:
polucilindru, polulopti ili čak polukrugu, a rezultati su takvi da približno
odgovaraju svakom slučaju.
Zapremina valjka:
Zapremina valjka računala se na isti način kao danas. Prvo bi se našla
površina baze, a zatim ona pomnožila visinom valjka. Postupak izračunavanja
površine baze opisan je u delu gde je prikazan način računanja površine
kruga. Jedina komplikacija kod ovih zadataka bila je u prevođenju jedinica
zapremine, u kojima se dobijao rezultat, u one koje su se koristile
u svakodnevnom životu. U nekim primerima mere su prevođene tek kad se
zapremina izračunala, a u nekim se to činilo odmah na početku, što je
komplikovalo račun uvođenjem razlomaka tj. odnosa tih mernih jedinica.
Zapremina piramide:
Stari papirusi i kamene table ne mogu nam mnogo reći o tome koliko su
stari Egipćani znali o geometrijskim osobinama prave piramide, iako
najvredniji deo zaostavštine starog egipatskog carstva predstavljaju
grobnice baš u tom obliku. Sve što sigurno znamo je da su mogli da izračunaju
nagib, površinu i zapreminu prave i zarubljene piramide kvadratne osnove
Nagib su računali na sledeći način: date su visina i dužina osnove piramide.
Dužina osnove se podeli sa 2, a zatim i sa visinom. Dobijeni rezultat
označavao je dužinu za koju se osnova produži kada se visina poveća
za jednu jediničnu dužinu. Može se reći da je to ustvari kotangens nagiba
strane piramide. Rezultat se, po potrebi, izražavao u različitim mernim
jedinicama. U Rhindovom i Moskovskom papirusu možemo naći više problema
ovog tipa, samo različito formulisanih u zavisnosti od toga koje veličine
su date, a koje se traže.
Poznato nam je da su stari Egipćani znali formulu za izračunavanje zapremine
prave piramide (V = 1/3 h a²), ali nema podataka o tome kako su do nje
došli. Najlakše je bilo napraviti šupalj kvadar i piramidu istih osnova
i visina, i uporediti količine vode ili peska koje u nju staju. Iako
nije nigde zabeleženo, smatra se da su znali kako da izračunaju zapreminu
kvadra i to baš formulom V = a*b*c (dužina*širina*visina), tako da je
zapremina odgovarajuće piramide iznosila V = 1/3 h a². Takođe su se
figure mogle napraviti od rečnog mulja i izmeriti, da bi se dobio odnos
njihovog masa, a samim tim i zapremina. Ne tako jednostavna jeste metoda
isecanja piramide na manje delove i njihovog kombinovanja do tela oblika
kvadra, čija se zapremina lako računa.
U svakom slučaju, mnogo komplikovanije je bilo izvođenje formule za
zapreminu zarubljene piramide, jer se do nje pre došlo matematičkim
putem, nego ispitivanjem odnosa zapremina tela u praksi.
Jedini zadatak koji se bavi zapreminom piramide je problem 14 iz Moskovskog
matematičkog papirusa. Ovde je, bez sumnje, određen standardni metod
izračunavanja zapremine zarubljene piramide, što predstavlja vrhunac
dostignuća ove oblasti staroegipatske matematike.
Problem 14 iz Moskovskog papirusa:
Dato je:
• visina 6
• dužina donje osnovice 4
• dužina gornje osnovice 2
Postupak je:
• Kvadrirati 4. Rezultat 16.
• Udvostručiti 4. Rezultat 8.
• Kvadrirati 2. Rezultat 4.
• Na 16 dodati 8, a zatim i 4. Rezultat 28.
• Izračunati 1/3 od 6. Rezultat 2.
• To pomnožiti sa 28. Rezultat 56.
To bismo danas zapisali ovako:
V = (4*4 + 4*2 + 2*2) * 1/3 * 6 = 56
Kada brojeve zamenimo opštim oznakama za veličine, dobijamo opštu formulu
za izračunavanje zapremine zarubljene piramide:
V = (a*a + a*b + b*b) * 1/3 * h = h/3 (a² + ab + b²)
Smatra se da se do ove formule stiglo metematičkim putem: zapremina
zarubljene piramide dobija se oduzimanjem zapremine male piramide, odsečene
od vrha, od zapremine cele piramide.
Egipatski kalendar:
Izuzetno matematičko znanje stari Egipćani su pokazali i u računanju
vremena. Njihova organizacija kalendara održala se do danas i predstavlja
uopšte najveće naučno dostignuće u ovoj oblasti.
Egipatski kalendar sastojao se od 12 meseci od po 30 dana (36 dekada
od po 10 dana) i 5 „završnih“ dana posvećenih bogovima Ozirisu, Horusu,
Setu, Izisu i Neftusu. Ovi poslednji dani bili su rođendani pomenutih
bogova, 12 meseci bilo je podeljeno na 3 godišnja doba od po 4 meseca:
• period poplava tj. setve,
• period rasta,
• letnji period tj. period žetve.
Ovakav način računanja vremena održao se baš zato što tako organizovana
godina nigde nema prekida u toku tj. približno je tačno izračunat period
trajanja jedne godine posle kog se ciklus godišnjih doba ponavlja. Kasnije
su ga koristili i stari Heleni, a zatim i sam Kopernik i drugi astronomi
srednjeg veka.
Danas se zna da solarna godina traje 365 ¼ dana, pa se zato svake četvrte
godine dodaje po jedan dan. Tako je utvrđena prestupna godina. I stari
Egipćani su znali za ovo, ali nisu uveli prestupnu godinu. Tako bi svake
četiri solarne godine standardna računska godina za solarnom kasnila
jedan dan, svakih 120 godina za 30 dana tj. jedan mesec, svakih 1440
godina za 12 meseci tj. jednu godinu. Iako ne u velikoj meri, to se
primećivalo u toku životnog veka. Međutim, Egipćane to i nije tako brinulo
kao neki drugi problemi svakodnevnog života. Oni jednostavno nisu poklanjali
puno pažnje pomeranju godišjih doba u odnosu na računsku godinu, dok
su izuzetno poštovali solarnu.
Značaj naučnog dostignuća starih Egipćana u računanju vremena leži u
uporedom postojanju ova dva kalendara – kalendara računske godine i
kalendara solarne godine. Iako je vreme računato po standardnoj računskoj
godini, ona je bila sporedna stvar u svakodnevnom životu. Sve privredne
aktivnosti bile su planirane po solarnoj godini. Solarna godina se još
naziva i Sirijusova godina, po Sirijusu, najsjajnijoj zvezdi na nebu.
Sirijus se na nebu pojavljivao nešto pre izlaska Sunca u vreme kada
je Nil nadolazio i kada su počinjale poplave. Tada su Egipćani započinjali
setvu i planirali dalje izvođenje poljoprivrednih aktivnosti.
Egipatski kalendar nam svedoči, ne samo o matematičkim dostignućima,
nego i o izuzetnom poznavanju astronomije, iako tada još nisu postojali
složeni instrumenti za posmatranje nebeskih tela.
Zaključak
Stari Egipćani su jedan od prvih naroda koji je, radi praktične primene,
počeo da razvija matematiku, i na taj način, nesvesno, joj otvorio vrata
budućnosti.
Nekada je bilo potrebno mnogo vremena da bi se došlo do nekog saznanja,
sada elementarnog za nas. Danas se izuzetno složene i duge operacije
zamenjuju mnogo bržim i lakšim, a to je sve moguće zahvaljujući drevnim
civilizacijama, koje su se prve uputile stazom naučnog spoznavanja naše
stvarnosti. Matematika starih civilizacija, među kojima je i egipatska,
dala je osnove za dalji razvoj ove nauke. Iako komplikovana, ponekad
i nespretna, ona nosi pečat originalnih misli i stremljenja, i svojom
baštinom nas zadužuje da otkrivamo, upoznajemo i definišemo novo, da
uvek proširujemo granice poznatog.
Literatura:
1. Zoran Lučić „Ogledi iz istorije antičke geometrije“
2. Miloš Radojčić „Opšta matematika“-Naučna knjiga, Beograd,1950.
3. www.math.e.hr
4. www.wikipedia.org
5. www.math.buffalo.edu
PROČITAJ
/ PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:
|
|