|
MATEMATIČKA LOGIKA
Istorija matematicke logike od Hilberta do Gedela
U ovom tekstu upoznacemo se sa razvojem matematicke logike od Hilberta
do Gedela. Ona nas vraca u proslost pre Hilberta da bismo razumeli uzroke
koji su izazvali potrebu za formalizacijom logike i vodi nas u period
pojave prve Gedelove teoreme o nepotpunosti, kako bismo razumeli posledice.
Uvodni deo rada nas upoznaje sa osnovnim zeljama iz tog perioda. Drugo
poglavlje objasnjava koji su uzroci velike matematicke krize tog vremena(Kantor,
Russell). Trece poglavlje je prica o velikom matematicaru Davidu Hilbertu,
njegovom delu i ponudjenom resenju problema. Cetvrto poglavlje predstavlja
ukratko neke od velikih logicara tog vremena (Zermelo,Lovenheim, Skolem,
Herbrant). Peto poglavlje je posveceno Kurtu Gedelu i njegovim rezultatima.
Period koji obuhvata kraj devetnaestog i pocetak dvadesetog veka predstavlja
jednu od prekretnica u razvoju matematike. Tada sazreva ideja o sistematizaciji
dotadasnjih matematickih znanja. Osnovna ideja bila je stvaranje formalnog
sistema, u kome bi bilo moguce izraziti sve matematicke teoreme. Takodje
radilo se i na preciznom definisanju jezika koji bi u potpunosti podrazavao
matematicko rasudjivanje. Izgledalo je sasvim prirodno da se ovako nesto
moze
postici. Matematicari poput Fregea i Peana sa puno entuzijazma, pristupaju
resavanju postavljenih zadataka. Medjutim, pocetkom dvadesetog veka, pojavljujuse
paradoksi, koji ce do temelja uzdrmati citav matematicki svet. Neki su
smatrali da to predstavlja kraj matematike. Pokusavajuci da rese probleme
koji su nastali, nastaju razliciti formalni sistemi, ali dolazi i do stvaranja
razlicitih pravaca u matematickoj logici, poput intuicionizma. Nastaje
moderna
matematicka logika koja ce svoj najveci uspeh i znacaj doziveti u drugoj
polovini dvadesetog veka, sa razvojem racunarske tehnologije.
Iako naizgled staticna, postojana i savrsena, matematika je dozivljavala
svoje krize i revolucije. U XX veku bilo je mnogo konceptualnih revolucija
i ovo doba je obelezeno velikim diskusijama u pogledu utemeljenja matematike,
u pogledu prirode same matematike i valjanih dokaza,
Ovaj esej je prica o tome kako i zasto je nastalo polje metamatematike
I koja su njena dostignuca i padovi. To je iznenadjujuce dramaticna prica.
Metamatematiku je unapredio najvecim delom Hilbert, kao nacin da pokaze
moc matematike, kao nacin da usavrsi aksiomatski metod, kao nacin da potpuno
eliminise sve matematicke nedoumice. Ali ovakav cilj, na iznenadjenje
svih, se ispostavio nedostiznim. To je, na drugoj strani, vodilo fantasticnim
otkricima Gedela, Tjuringa i drugih. To je ogranicilo moc matematickog
rasudjivanja i moc aksiomatske metode. Metematematika je u odredjenom
smislu bila fijasko, posluzila je samo da produbi krizu koju je pokusala
da resi. No, ovo samoispitivanje matematike ipak je imalo fantasticne
i potpuno neocekivane posledice u oblasti koja je bila daleko od postavljenih
ciljeva. Odigralo je veliku ulogu u razvoju najznacajnije tehnologije
danasnjice i racunarstva.
2 Kriza matematike na pocetku XX veka
2.1 Kantorova teorija skupova
Kantora ukljucujemo u ovaj istorijski pregled ne zbog njegovog direktnog
doprinosa logici i formalizaciji matematike, vec pre svega zbog toga sto
je bio pokretac u izucavanju beskonacnih skupova i brojeva. Kantorova
teorija o beskonacnim skupovima predstavljala je fascinantan materijal
i pocetak velikih problema za logicare . Reakcije Kantorovih savremenika
su bile snazne. ,,Niko nas nece izbaciti iz raja koji je Kantor za nas
stvorio, govorio je Hilbert .
Mnogi su se divili Kantorovoj apstrakciji, ali da li je to matematika
i da li objekti o kojima se govori zaista postoje? Ispostavilo se da iz
teorije skupova mogu da se izvedu zakljuci koji su ocigledno netacni.
Poceli su da se pojavljuju paradoksi. Najpoznatije paradokse otkrio je
engleski filosof Bertrand Russell .
Te paradokse Gedel je kasnije opisao recima ,,neverovatna je cinjenica
da je nasa logicka intuicija sama sebi protivurecna”.
2.2 Bertrand Russell i paradoksi
Russell je pokusavao da dublje razume Kantorovu teoriju skupova. Kantor
je pokazao da je skup svih podskupova datog skupa uvek veci od samog skupa.
Ali ono sto se Russell zapitao,bilo je, sta je sa skupom svih podskupova
,univerzalnog skupa koji sadrzi sve? Skup svih podskupova univerzalnog
skupa ne moze biti veci od univerzalnog, iz prostog razloga sto univerzalni
skup vec sve sadrzi! Russell je analizirao Kantorov dokaz primenjujuci
ga na univerzalni skup.
Otkrio je da je u ovom specijalnom slucaju kljucni korak u Kantorovom
dokazu stavka- skup svih skupova koji nisu elementi sebe samih. Kljucni
korak je postaviti pitanje: ,,Da li je ovaj skup element sebe samog ili
ne? Problem je u tome sto ni jedan odgovor nece biti ispravan, jer moze
da se pokaze da je on element sebe samog ako i samo ako on nije element
sebe samog.To je slicno paradoksu o berberinu koji brije sve muskarce
u selu ali ne brije sebe. Pa ko onda brije berberina? Naravno, iz ovog
problema mozemo se lako izvuci. Ili mozemo poricati postojanje takvog
berberina, jer ne moze da primeni svojstvo na sebe ili je berberin zensko.
Ali sta nije u redu sa Russsellovim paradoksom? Russellov paradoks je
slican jednom starijem paradoksu poznatom kao paradoks lazova (,,Ova izjava
je laz"). U oba slucaja paradoks nastaje zbog samoukazivanja, a upravo
samoukazivanje ce igrati veliku ulogu u delima Gedela i Tjuringa.
2.3 Reakcije na paradokse i ponudjena resenja
Jedna od reakcija na paradokse bila je povratak starom sigurnom metodu
rasudjivanja. Nemacki matematicar L. E. J. Brouwer sugerisao je napustanje
cele ne-konstruktivne Matematike. On je potencirao konkretnu, konstruktivnu,
a manje ,,teorijsku matematiku. Na primer, ponekada metematicari dokazuju
da nesto postoji tako sto pokazu da pretpostavka da to ne postoji vodi
u kontradikciju. Ovaj pristup nazivamo svodjenje na apsurd (reductio ad
absurdum).Besmisleno, komentarisao je Brouwer. Za Browera i konstruktiviste,jedini
nacin da dokazemo da nesto postoji jeste da smislimo metod za njegovo
izracunavanje, konstruisanje. Kod nekih drugih matematicara, paradoksi
su izazivali nepoverenje u argumente izrazene recima obicnog, prirodnog
jezika i to ih je odvelo u formalizam.
Paradoksi su izazvali razvoj simbolicke logike koja koristi formalni jezik
umesto prirodnog jezika u matematici. Italijanski logicar G. Peano je
otisao dosta daleko u tom pravcu, a Russell i A. N. Whitehead u pokusaju
da slede Peanovu ideju,ispisali su veliki deo knjige Principa Mathematica
dokazujuci da je 1+1 jednako 2. To je bio velicanstven pokusaj, ali vecina
matematicara ga je smatrala neuspesnim iz mnogo razloga. U tom trenutku
Hilbert stupa na scenu, sa dramaticnim predlogom za ,,konacno resenje
krize matematike. Sta je bio Hilbertov predlog? Kako je on mogao da zadovolji
sve?
3 Hilbertova epoha
3.1 Poceci Hilbertovog rada na utemeljivanju matematike
Pocetak Hilbertovog rada na utemeljivanju matematike smatra se njegovo
izucavanje geometrije davne 1890. godine, sto je kulminiralo njegovom
knjigom ,,Osnove geometrije” iz 1899 godine . Hilbert je verovao
da ispravan nacin da se razvije bilo koja naucna tema zahteva strog aksiomatski
pristup. Imajuci u vidu aksiomatizaciju, teorija bi trebalo da se razvija
nezavisno od bilo koje intuicije i da se time olaksa analiza logickih
veza izmedju osnovnih pojmova i aksioma.
Bitan stav kod aksiomatizacije je razmatranje nezavisnosti i, pre svega,
konzistentnosti aksioma. Za aksiome u geometriji, konzistentnost se moze
svesti uz pomoc interpretacije sistema u realnoj ravni, i time konzistentnost
aksioma u geometriji zavisi od konzistentnosti u analizi. Hilbert je izvrsio
aksiomatizaciju analize 1900. godine, ali je ubrzo uvideo velike i znacajne
poteskoce u
tome. Shvatio je da je potreban direktan dokaz konzistentnosti aritmetike
koji se ne oslanja na svojstva neke druge teorije. Predlozio je pronalazenje
takvog dokaza kao drugi problem na njegovom spisku od 23 najznacajnijih
otvorenih matematickih problema na pocetku XX veka. Nekoliko faktora je
uticalo na odlaganje razvoja Hilbertovog programa.
Naime, uvideo je da istrazivanje aksiomatizacije zahteva dobro osmisljen
logicki formalizam. Izdavanje dela “Principia Mathematica”
Russella i Whiteheada obezbedilo je logicku osnovu za nov napad na osnovna
matematicka pitanja. Godine 1917. Hilbert je izdao knjigu ,,Axiomatic
Thought”u kojoj ponovo istice potrebu za doslednim dokazima za svojstva
aksiomatskog sistema. Primetio je da ne postoji nista fundamentalno pristupacnije
u odnosu na sta konzistentnost treba da bude ogranicena od same logike.
Tad se ponadao da su problem sustinski resili Russell i Whitehead, ali
mnogi osnovni problemi aksiomatike nisu bili reseni I to je uticalo da
naredne godine provede baveci se logikom.
Predavanja iz 1917 godine sadrze razvoj logike prvog reda i materijal
knjige ,,Principles of Theoretical Logic” Hilberta i Ackermmanna
iz 1928 godine.
3.2 Hilbertov program
Narednih godina, Hilbert je odbacio Russellovo logicko resenje problema
konzistentnosti
u aritmetici. Odgovarajuci na izazove i kritike od strane intuicionista,
Hilbert je dao sledeci predlog. Taj predlog objedinjavao je njegove ideje
od 1904 godine koje se ticu direktnog dokaza konzistentnosti aritmetike,
njegove koncepcije aksiomatskog sistema, tehnicki razvoj u aksiomatizaciji
matematike u radu Russella, kao i daljem razvoju od strane ostalih kolega.
Ono sto je bilo novo je Hilbertova zelja da projektu o konzistentnosti
da filosofski znacaj kako bi odgovorio na kritike Weyla i Brouwera. Prema
Hilbertu, postoji povlasceni deo matematike, teorija brojeva, koja pociva
na ,,cisto intuitivnoj osnovi stvarnih simbola”. Buduci da se rad
sa apstraktnim pojmovima smatrao neodgovarajucim, postoji podrucje posebnih
objekata vise logike. Ti objekti su simboli.
Teorija brojeva sadrzi konacne brojeve,koji nemaju znacenje ali se nad
njima mogu vrsiti operacije konkatanacije I komparacije. Znanje njihovih
osobina i relacija je intuitivno i bez posredovanjalogike. Teorija brojeva
razvijena na ovaj nacin je sigurna da ,,nikakva kontradikcija ne moze
da se pojavi jer ne postoji logicka struktura u teoremama teorije brojeva.
Operacije sa simbolima cine osnovu Hilbertove metamatematike. Metamatematicari
rade sa nizom simbola (formule, dokaz) koji se mogu sintaksno urediti.
Hilbert je imao dva polazna principa.
Prvi, aksiomatski metod i matematicki formalizam. Hteo je da eliminise
iz matematike sve nedoumice i dvosmislenosti koje izaziva prirodan jezik.
Predlozio je da se napravi vestacki jezik za matematiku u kome ce pravila
biti tako precizna, tako kompletna da nece biti nedoumica da li je neki
dokaz ispravan ili nije. Zapravo, smatrao je da bi trebalo da moze da
se mehanicki proveri da li dokaz postuje pravila izvodjenja, jer ta pravila
su cisto sintaksne prirode i ne zavise od semantike ili znacenja matematickog
tvrdjenja. Drugim recima, ono sto Hilbert nije mogao da kaze tada a to
je da bi trebaloi da postoji algoritam za proveru dokaza, kompjuterski
program za proveru da li je dokaz dobar ili ne. To je bio prvi korak-
da se slozimo oko aksioma i pravila izvodjenja za celu matematiku.
Sta je bio drugi Hilbertov princip? Uzeo je u obzir nesigurno, nekonstruktivno
rezonovanje (kao sto je kontrapozicija) u svoj formalni aksiomatski metod
za celu matematiku. Ali, koristeci intuitivno, sigurno konstruktivno rezonovanje
izvan formalnog sistema, on je mogao da dokaze Brouweru da bez obzira
na ustupak koji je dozvolio, formalni sistem ne vodi u probleme. Zeleo
je
da pokaze neistomisljenicima koristeci njihove metode rasudjivanja da
njegove metode rasudjivanja ne vode u propast.
Hilbertov plan je bio veoma ambiciozan. On je pratio formalni aksiomatski
trend u matematici i koristio prednost simbolicke logike, na ogranicenju
matematickog rasudjivanja na izracunljivost. Kad se neki deo matematike
formalizuje to postaje pogodan teren za metamatematicko istrazivanje.
4 Znameniti logicari Hilbetove epohe
4.1 Ernst Zermelo
Na Internacionalnom Kongresu Matematike 1900. godine Hilbert je istakao
da je jedan od velikih problema da li se svaki skup moze dobro urediti.
Kantor je predpostavio da je ovo moguce i dao nekoliko pogresnih dokaza.
Tada je Zermelo 1904. godine dokazao, koristeci aksiomu izbora, da se
svaki skup moze dobro urediti. Dokaz je propracen sumnjom. Godine 1908.
Zermelo je ponudio drugi dokaz i dalje koristeci aksiomu izbora, ali ubrzo
je primeceno da je ona u stvari ekvivalentna jednoj drugoj aksiomi iz
teorije skupova | principu dobrog uredjenja. Kasnije su ustanovljena i
druga ekvivalentna tvrdjenja, ukljucujuci Zornovu lemu i linearno uredjenje
skupa.
Zermelova teorija skupova sastojala se od sedam aksioma, koje su naravno,
imale nedostatke . Te nedostatke istakao je Skolem, koji je bio misljenja
da je Zermelov pristup teoriji skupova skrenuo s puta prirodnog i intuicionistickog
razmisljanja u pravcu stvaranja vestacke konstrukcije. John von Neumann
je uvideo neke pogodnosti u ovoj teoriji sto je kasnije vodilo uvodjenju
aksiome regularnosti. Teorija ZFC (Zermelo-Fraenkel teorija skupova sa
aksiomom izbora) trazi beskonacan broj aksioma prvog reda. John von Neumann
je 1925. godine razvio teoriju skupova sa konacnim brojem aksioma. Zapravo,
on je koristio funkcije a ne skupove. Njom se bavio Bernays, kao i Gedel
i sad je poznata pod nazivom NBG (von Neumann-Bernays-Godel) teorija skupova.
4.2 Lowenheim
Lowenheimovo8 delo iz 1915. godine otvorilo je vrata ozbiljnim studijama
teorije modela, uvodeci velicinu beskonacnog modela recenica prvog reda
[3, 6]. Pruzio je kanonsku proceduru za pravljenje izracunljivog kontramodela
za recenicu prvog reda. Dokazao je da tvrdjenje u predikatskom racunu
prvog reda (sa jednakoscu) za monadicni(sa jednim argumentom) predikat
koje je valjano u konacnom domenu, mora da bude valjano u svakom domenu.
Istakao je da relaciona logika prvog reda sa jednakoscu adekvatno moze
da opise sve matematicke probleme i da je dovoljna binarna relacija za
to. Sa njegovim radom bio je upoznat i Skolem, sto je rezultiralo teoremom
1920. godine poznatom kao Lowenheim-Skolemova teorema .
Teorema 1 Ako je formula prvog reda zadovoljiva, onda za nju postoji model
sa prebrojivim domenom.
4.3 Thoralf Skolem
Skolem delu iz 1919. godine daje analizu zavisnosti/nezavisnosti raznih
aksioma u racunu klasa, koristeci jednostavne strukture koje se lako mogu
skicirati. Skolem je pokazao da dodajuci predikat ,,ima najmanje n elemenata”
u jeziku racuna mogu da se eliminisu kvantifikatori. On je prvi koji je
formulisao nacin kako se dobija formula bez kvantifikatora koja je ekvivalentna
polaznoj. Pokazao je da se jednostavno moze vrsiti prebacivanje iz racuna
za klase prvog reda u monadicnu predikatsku logiku prvog reda. Skolem
u delu iz 1920. godine definise tzv. Skolemovu normalnu formu koja se
bazira na uslovu slabe ekvivalencije. Dokazao je Lovenheimovu teoremu
bez koriscenja aksiome izbora. U delu iz 1928. godine, objasnio je ceo
proces elimimacije
egzistencijalnog kvantifikatora funkcijskim simbolom ili konstantom sto
je danas poznato kao skolemizacija. Pokazao je kako se mogu napraviti
elementi potencionalnog kontramodela koristeci Skolemove funkcije i to
ce postati poznato kao Herbranov univerzum.
4.4 Jacques Herbrand
Herbrand je govorio da je njegov cilj da rad Lowenheima i Skolema ucini
snaznijim, strozijim. On je uneo u dokazni sistem notaciju ,,izvodljivo”,opisao
kontramodel proceduru na uvedenom jeziku i pokazao je da je tvrdjenje
prvog reda izvodljivo ako pokusaj da napravimo kontramodel njegove negacije
propadne u konacnom broju koraka. Herbrand je dokazao verziju Lowenheim-
Skolemove teoreme ali bez pominjanja beskonacnih modela.
5 Gedelova dostignuca
5.1 O Gedelu
Sledece dve decenije ostali su koristili Principia Mathematica
kao vodic za izgradnju matematike bez nelogicnosti i do vremena kada se
Hilbert penzionisao 1930 godine, on se osecao sigurnim da je matematika
bila na dobrom putu oporavka. Njegov san o konzistentnoj logici, dovoljno
mocnoj da odgovori na svako pitanje, bio je navodno na putu da postane
realnost.
Medutim, 1931 godine, jedan nepoznati dvadesetpetogodisnji matematicar
objavljuje rad koji ce zauvek unistiti Hilbertove nade.
Kurt Gedel ce naterati matematicare da prihvate da matematika nikada ne
moze biti logicki savrsena, a ono sto je sledilo iz njegovog rada bila
je i ideja da problemi, kao sto je Fermaova poslednja teorema, mogu biti
neresivi.
Kurt Gedel je roden 28. aprila 1906. godine u Moraviji, tada delu austrougarske
monarhije, a sada delu Ceske republike. Od svojih najmladjih dana bio
je ozbiljno bolestan; a najtezi period reumatske groznice imao je sa sest
godina. Ovaj rani dodir smrti je prouzrokovao kod Gedela opsesivnu hipohondriju
koja gaje pratila celog zivota. Sa osam godina, kada je procitao jednu
medicinsku knjigu, postao je ubedjen da ima slabo srce, iako njegovi doktori
nisu rnogli pronaci dokaze za tako nesto. Kasnije, kako se blizio kraju
zivota verovao je da neko pokusava da ga otruje i odbijao je da jede,
izgladnjujuci se skoro do srnrti.
Kao dete, Gedel je ispoljavao talenat za nauku i matematiku, a njegova
radoznala priroda navelaje njegove roditelje da mu daju nadimak der
Herr Warum (Gospodin Zasto). Pohadao je Univerzitet u Becu, nesiguran
da li da specijalizuje matematiku ili fiziku, ali jedan inspirativan i
uzbudljiv kurs predavanja iz teorije brojeva, koji je odrzao profesor
P. Furtvengler, ubedio je Gedela da posveti zivot brojevima. Predavanja
su tim pre bila neobicna zato sto je Furtvengler bio paralizovan od vrata
nadole i morao je da drzi predavanja iz invalidskih kolica bez podsetnika,
dok je njegov asistent pisao po tabli.
Negde do svojih ranih dvadesetih godina Gedel je obezbedio sebi mesto
na matematickom odseku, ali je zajedno sa svojim kolegama povremeno odiazio
na sastanke Wiener Kreis (Beckog kruga), grupe filozofa, koja
bi se sastajala da diskutuje o najnovijim logickim pitanjima. Bilo je
to tokom onog perioda kada je Gedel razvio ideje koje ce uzdrmati temelje
matematike.
Godine 1931. Gedel je objaviosvoju knjigu Uber formal unentscheidbare
Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme ('0 formaino
neodlucivim pretpostavkama u Principia Mathematica i reliranim
sistemima'), koja je sadrzala njegove takozvane teoreme o neodlucivosti.
Kada su vesti o ovim teoremama dosle do Amerike, veliki matematicar Dzon
fon Nojman je odmah prekinuo seriju predavanja koju je drzao na temu Hilbertovog
programa i zamenio je ostatak kursa diskusijom o Gedelovom revolucionarnom
radu.
Hilbertova vizija da formalizuje celu matematiku ispostavila se nemogucom.
Kurt Godel i A. M. Turing pokazali su da je nemoguce formalizovati celu
Matematiku. Zasto? Zato sto je bilo koji formalni aksiomatski sistem ili
nekonzistentan ili nepotpun. U slobodnoj interpretaciji, svojstvo nekonzistentnosti
(protivurecnosti) znaci da sistem dokazuje netacne teoreme, a svojstvo
nepotpunosti znaci da sistem ne dokazuje sve valjane teoreme.
Gedel je uz dosta maste pretpostavio da je Hilbert mozda pogresio. Krenuo
od paradoksa lazova.
Kritski paradoks ili paradoks lazljivca.
Epimenid je Kricanin koji je izjavio:"Ja sam lazov".Paradoks
se javlja kada pokusamo da utvrdimo da li je ova tvrdnja istinita ili
lazna. Prvo, pogledajmo sta se desava kada pretpostavimo da je tvrdnja
istinita. Istinita tvrdnja implicira da je Epimenid lazov, ali smo prethodno
pretpostavili da je on rekao istinitu tvrdnju, pa stoga Epimenid ne moze
biti lazov - imamo nekonzistentnost. S druge strane, pogledajmo sta se
desava kada pretpostavimo da je tvrdnja neistinita. Neistinita tvrdnja
implicira da Epimenid nije lazov, ali smo na pocetku pretpostavili da
je rekao neistinitu tvrdnju te je stoga Epimenid lazov – imamo jos jednu
nekonzistentnost. Bez obzira na to da li pretpostavljarno da je tvrdnja
istinita ili ne, dolazimo do nekonzistentnosti, tako da tvrdnja nije ni
istinita ni neistinita.
Ako je ovo tvrdjenje tacno, onda ovo tvrdjenje nije tacno (i obratno),
pa ne moze biti ni tacno ni netacno, sto je nedopustivo u matematici.
Godel je predlozio da stvari postavimo na sledeci nacin. Razmatrajmo recenicu
,,ovo tvrdjenje nije dokazivo”. Podrazumeva se da je ta recenica
formulisana u odredjenom formalnom aksiomatskom sistemu, sa odredjenim
skupom aksioma, koristeci odredjeni skup pravila izvodjenja. To je kontekst
ovog tvrdjenja.
Onda postoje dve mogucnosti. Ili je tvrdjenje teorema, tj. dokazivo je,
ili nije dokazivo, tj. nije teorema.
Razmatrimo obe mogucnosti. Sta ako je Godelovo tvrdjenje dokazivo? To
bi znacilo da je moguce dokazati netacna tvrdjenja sto je lose. Drugim
recima ako je tvrdjenje dokazivo, onda je nas formalni aksiomatski sistem
nekonzistentan, sadrzi netacne teoreme. Zato cemo pretpostaviti da se
ovo ne desava. Dakle, ostaje mogucnost da je Godelovo tvrdjenje nije dokazivo.
Ali ni ovo nije dobro, jer onda je to tacno tvrdjenje koje nije dokazivo,
pa je formalni aksiomatski sistem nepotpun. U svakom slucaju postoji problem.
Primetimo i sledece: koja matematicka teorija govori o tome da li je tvrdjenje
dokazivo ili ne? To je metamatematika, a ne matematika.
Drugo, kako je moguce da matematicko tvrdjenje referise na sebe tj. bude
samoukazujuce? Godel je vrlo pametno ,,nabrajao” simbole, dobro
zasnovane formule, aksiome i dokaze u formalno aksiomatskom sistemu. On
izrazava vezu ,,x dokazuje y” aritmeticki .
Ako bi se pogledao Godelov originalni dokaz iz 1931. godine, primetili
bismo da je Godel prakticno programirao u LISP-u iako toga nije bio svestan.
Na mnogo nacina Gedelov rad je tekao paraleino sa slicnim otkricima u
kvantnoj fizici. Samo cetiri godine pre nego sto je Gedel objavio svoj
rad o neodlucivosti, nemacki fizicar Verner Hajzenberg otkrio je princip
neodredenosti. Bas kao sto je postojala izvesna granica do koje matematicke
teoreme mogu nesto dokazati, Hajzenberg je pokazao da postoji fundamentaino
ogranicenje u tome koje osobine fizicari mogu meriti. Na primer, ako zele
da izmere tacnu poziciju nekog objekta, tada mogu izmeriti njegovu brzinu
samo sa relativno malom tacnoscu. Da bi se izmerila pozicija objekta neophodno
je osvetliti ga fotonima svetlosti, ali da bi precizno odredili lokaciju,
fotoni svetlosti bi morali imati veoma veliku energiju. Medutim, ako se
neki objekat bombarduje fotonima velike energije, to ce uticati na njegovu
sopstvenu brzinu
i tako ta brzina postaje po prirodi stvari neizvesna. Zato, ako traze
poznavanje pozicije objekta, fizicari moraju da odustanu od poznavanja
tacne brzine objekta.
Hajzenbergov princip neodredenosti postaje relevantan na atomskim skalama,
kada su visokoprecizna merenja kriticna. Zbog toga se najveci deo fizike
ne mora osvrtati na njega, dok se kvantni fizicari moraju pozabaviti osnovnim
pitanjima u vezi sa granicama samog saznanja.
Isto se desavalo u svetu matematike. Dok su se logicari bavili veoma ezotericnom
debatom o neodlucivosti, ostatak matematickog sveta je nastavio ne osvrcuci
se na to. I mada je Gedel dokazao da postoje tvrdnje koje se ne mogu dokazati,
postojalo je mnogo tvrdnji koje mogu biti dokazane, pa njegov dokaz nije
poremetio nista sto je bilo dokazano u proslosti.
Stavise, mnogi matematicari su verovali da se Gedelove teoreme odnose
samo na najopskurnije.i najekstremnije oblasti matematike i da se zbog
toga ne moraju njima baviti. Osim toga, Gedel je samo rekao da ove tvrdnje
postoje; on, u stvari, nije mogao kazati koje su. Medutim, 1963. godine,
Gedelov teoretski uzas postaje surova realnost.
Pol Koen, dvadesetdevetogodisnji matematicar sa Stanforda, razvio je tehniku
za testiranje neodlucivosti odredjenog pitanja. Tehnika je radila samo
u odredenim slucajevima, ali je bez obzira na to on bio prva osoba koja
je otkrila specificna pitanja koja su zaista bila neodluciva. Posto je
dosao do tog otkrica Koen je odmah odleteo za Prinston, sa dokazom u rukama,
da bi ga verifikovao sam Gedel. Gedel, koji je ulazio u paranoicnu fazu
svog zivota, odskrinuo mu je vrata, zgrabio papire i zaiupio vrata.
Posle dva dana Koen je dobio poziv za caj kod Gedela, sto je bio znak
da je veliki matematicar potvrdio njegov dokaz. Ono sto je bilo narocito
dramaticno bilo je to sto su neka od neodlucivih pitanja bila centralna
za matematiku. Ironicno je to sto je Koen je dokazao da je jedno od pitanja
koje je Dejvid Hilbert deklarisao medu dvadeset tri najvaznija problema
u matematici, hipotezakontinuuma, bilo neodlucivo.
Gedelov rad, zajedno sa Koenovim neodlucivim tvrdnjama, poslao je poruku
koja uznemirava svim onim matematicarima, profesionalcima i amaterima,
koji su uporno pokusavali da rese Fermaovu poslednju teoremu - mozda je
Fermaova poslednja teorema bila neodluciva! Sta ako je Pjer de Ferma nacinio
gresku kada je tvrdio da je imao dokaz? Ako je to tacno, postojala je
mogucnost da je Poslednja teorema bila neodluciva. Dokazivanje Fermaove
poslednje teoreme moze biti vise nego tesko, moze biti nemoguce. Ako je
Fermaova poslednja teorema bila neodluciva, tada su matematicari proveli
vekove u trazenju dokaza koji ne postoji.
Zanimljivo je sledece: ako bi Fermaova poslednja teorema bila
neodluciva, onda bi to dovelo do zakljucka da je istinita. Razlog sledi.
Poslednja teorema kaze da ne postoje celobrojna resenja za jednacinu
x" + y"- = 2" za n vece od 2.
Ako bi Poslednja teorema bila neistinita, onda bi to bilo moguce dokazati
pronalazenjem resenja (jednog primera brojeva koji zadovoljavaju jednacinu).
Prema tome, Poslednja teorema bi bila odiuciva. Znaci, neistinitost nije
u konzistenciji sa neodlucivoscu.
Medutim, ako je Poslednja teorema tacna, ne bi neophodno morao i postojati
takav nedvosmislen nacin za njen dokaz, tj. mogia bi biti neodluciva.
U zakljucku, Fermaova poslednja teorema moze biti istinita, ali ne mora
postojati nacin da se ona dokaze.
5.1 Kakve se bile posledice Godelove teoreme?
Hilbert i Godel se nikada nisu sreli i nikada nisu pricali o Hilbertovom
programu. Obojica su bili na kongresu u Konigsbergu u septembru 1930.
godine. Kada je Godel objavio rezultate svojih istrazivanja jedino je
von Neumann uvideo veliki znacaj i genijalnost njegovih otkrica. Kad je
shvaceno Godelovo dostignuce,reakcije se bile razne. Uglavnom sok i neverica.
Kako je to bilo moguce? Kakvu sigurnost sada matematika pruza? Ako nikada
ne mozemo imati potpun skup aksioma, tada nikada necemo biti sigurni ni
u sta. I ako pokusamo da dodamo nove aksiome nema garancija da cemo dobiti
potpunost teorije.
Ono kljucno sto proizilazi iz Godelove teoreme jeste cinjenica da aksiomatska
metoda formalnog zasnivanja, postavljena onako kako je postavljena, ima
svoja ogranicenja, da ne pokriva potpuno matematicko rasudjivanje i metode
dokazivanja teorema razvijane vekovima, koje se ne mogu smatrati ni neispravnim,
ni nematematickim, ni nenaucnim.
Druga prakticna posledica Godelove teoreme odnosi se na racunare. Kako
je njihova teorijska podloga formalna aritmetika, to je okvir problema
dostupan racunaru daleko uzi u poredjenju sa okvirom dostupnom ljudskom
mozgu. To je, bar za sada pozitivan rezultat, jer je covek jos uvek jaci
od masine.
Hilbert je napravio gresku jer je podrzavao vestacki jezik za dokazivanje.
To nije uspelo zbog nepotpunosti, jer je svaki formalni aksiomatski system
ogranicene moci. Ali to nije slucaj sa vestackim jezikom za predstavljanje
algoritama.
Cinjenica da skoro svaki kompjutersko programski jezik moze da podrzi
sve postojece algoritme je veoma bitan oblik potpunosti! To je teorijska
osnova za celo racunarstvo. Tako je formalizam trijumfovao ne u matematickom
rasudjivanju, vec u racunarstvu. Matematicari i dalje koriste prirodni
jezik za dokaz teorema, ali kada pisu racunarski program moraju da budu
vrlo obazrivi.
Zakljucak
Krajem XIX veka Kantorova teorija skupova cinila se matematicarima kao
pravi raj jer se pomocu skupova moglo izraziti sve, i brojevi, i geometrijski
pojmovi, I pojmovi slozenijih apstraktnih matematickih struktura. Ali,
nazalost, u naivnoj teoriji skupova iskrsavaju paradoksi i u traganju
za spasonosnim resenjem nastaju razni matematicki pravci, a u onom glavnom
| formalizmu | osnovna ideja je spasiti aksiomatsku metodu, precistiti
je i postroziti tako da se izbegnu
uocene slabosti. Tako se doslo do pojma formalne teorije, kjucnog pojma
u modernom strogom aksiomatskom zasnivanju matematickih istina. Najvazniji
korak u modernom preciscavanju aksiomatske metode i kristalisanju pojmova
aksioma, teoreme, dokaz, nacinio je Hilbert, koji je uveo pojam formalne
teorije i ilustrovao strogo formalno zasnivanje matematicke teorije na
primeru euklidske geometrije. Novo u formalnoj teoriji u odnosu na klasican
pojam aksiomatske teorije jeste preciziranje jezika, sintakse, kao i pojma
dokaza odakle sledi prociscenje pojma teoreme. Radi preciziranja glavnih
aksiomatskih pojmova, Hilbert uvodi pojam pravila izvodjenja.
Upravo je taj pojam nedostajao da bi se aksiomatsko zasnivanje strogo
definisalo i to u okviru formalne teorije. Glavni cilj u tome je dobiti
formalnu teoriju koja je neprotivurecna i potpuna.
Kljucna Hilbertova teznja pri definiciji formalnih teorija bio je i finitizam,
mada to nikada nije do kraja precizirano. Poimalo se intuitivno, da su
relacije I operacije konacnih duzina, formule konacni nizovi znakova,
pravila su konacne relacije, dokazi konacni nizovi formula i sl. Dalje,
za metateoriju se podrazumevao finitizam, a svi ti zahtevi su predstavljali
glavnu prepreku u dokazivanju apsolutne neprotivurecnosti i potpunosti
formalne teorije. Oko ovih problema vrtela su se kjucna matematicka istrazivanja
u prve tri decenije XX veka. I iskreno se ocekivalo da je pitanje dana
kada ce problemi biti reseni, naravno pozitivno. Zato je s nevericom prihvacena
Godelova teorema,kojom se dokazuje da je formalna aritmetika, uprkos ocekivanjima,
nepotpuna.
I jos jace, ona je esencijalno nepotpuna, sto znaci da se nikako ne moze
dopuniti do potpune teorije. Godelov rezultat zatvorio je krug krize.
Hilbertov pokusaj da formalizuje celu matematiku je propao, ali je za
posledicu imao neverovatne rezultate koji prevazilazi matematicke okvire.
Uticaj Godelovih rezultata na racunarstvo,filosoju, estetiku, umetnost
i dalje je neizmeran. Njegov dokaz uzdrmao je milenijumske teznje i nade
o saznanju i istini, i te nade jednim delom, pokopao.
Jer Godelovo rasudjivanje primenjivano je i na druge discipline, sa zakljuckom
da se istina unutar nekog zatvorenog sistema ne moze izvesti.
Literatura
[1] http://www.umcs.maine.edu/~chaitin/unknowable/ch1.html
[2] http://plato.stanford.edu/entries/hilbert-program/
[3] http://sakharov.net/foundation.html
[4] http://www.hf.uio.no/_loso_/njpl/read.html
[5] http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/georgia.html
[6] Poslednja Fermaova teorema Sajmon S.
PROČITAJ
/ PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:
|
|
preuzmi
seminarski rad u wordu » » »
Besplatni
Seminarski Radovi
|
|