SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
BROJEVI
Korišćenje matematičkih simbola u bilo kom vidu (počev od cifara pa do
složenih matematičkih oznaka) predstavlja rutinsku stvar koja ne zahteva
razmišljanje o njenom nastanku. Uglavnom se odnosimo prema matematičkom
aparatu kao da je oduvek postojao i to u obliku koji danas koristimo.
Ova iluzija podstaknuta je i činjenicom da mi svoje prvo matematičko znanje
stičemo tako rano da se toga i ne sećamo. Štaviše, skloni smo verovanju
da su neki od apstraktnih pojmova (kao pojam broja ili decimalni sistem)
intuitivni. Brojevi Numerički termini izražavaju neke od najapstraktnijih pojmova koje je
stvorio ljudski um. Međutim, proces njihovog kreiranja bio je spor i dugotrajan.
Koncept apstraktnog broja je proizvod duge i lagane kulturne evolucije
koja zadire duboko u vreme pre pisane istorije. Kao što je rekao Bertrand
Rasel (Russell, 1872-1970), britanski matematičar i filozof, bile
su potrebne hiljade godina dok je shvaćeno da par fazana i dva dana imaju
zajedničku karakteristiku – broj 2. Brojni sistemiUprkos postojanju podataka da su 2, 3 i 4 služili kao osnove nekih primitivnih
brojnih sistema, ipak su prvi značajni brojni sistemi bili petični (osnova
5), zatim desetični i dvadesetični (osnova 20). Danas je decimalni sistem
najrasprostranjeniji. Svi ovi sistemi povezani su s činjenicom da čovek
ima po pet prstiju na svakoj ruci pomoću kojih su vršena prva izračunavanja. 2 desni prst ,,prstenjak" 13 usta 3 desni srednji prst 14 levo uvo 4 desni kažiprst 15 levo rame 5 desni palac 16 leva obrva 6 desni ručni zglob 17 levi ručni zglob 7 desna obrva 18 levi palac 8 desno rame 19 levi kažiprst 9 desno uvo 20 levi srednji prst 10 desno oko 21 levi prstenjak 11 levo oko 22 levi mali prst Kod primitivnih naroda, pa čak i nekih naprednijih, uobičajeno je da
verbalno brojanje Najneobičniji brojni sistem svakako su imali Vavilonci. Oni su razvili
računanje sa brojnom bazom 60 u kombinaciji sa desetičnim sistemom. Razlog
za uvođenje šezdesetične brojne baze leži, pored ostalog, i u činjenici
da broj 60 ima mnogo delilaca (2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20 i 30), što
je omogućavalo veoma jednostavno računanje sa razlomcima. Maje iz Centralne Amerike i Južnog Meksika su razvili dvadesetični sistem sa simbolom za nulu (verovatno oko 1000. godine nove ere) i sasvim dobro razvili pozicionu notaciju, ali je njihova kultura nestala pre španske invazije. Najveći broj pronađen u kodu Maja je 12 489 781 (zapisan u našoj decimalnoj notaciji). Brojni sistem koji se danas koristi je pozicioni sistem sa brojnom osnovom deset. U ovom sistemu svaka cifra ima vrednost u zavisnosti od mesta na kome se nalazi. Na primer, u broju 53 cifra 5 označava desetice pa joj je vrednost 5.10 = 50 dok 3 označava jedinice tako da ima vrednost 3.1 = 3. Desetični ili decimalni pozicioni sistem duguje svoje poreklo indijskoj matematici. Prva poznata primena ovog sistema datira iz 595. godine. Grčki matematičari su koristili decimalni sistem sa 27 simbola: 24 slova grčkog alfabeta označava jedinice, desetice i stotine a tome su dodata tri stara simbola: digama (6), kopa (90), i sampi (900). Pregled korišćenih simbola je pokazan u sledećoj tabeli: Da bi se u tekstu razlikovala slova od brojeva, pisane su crte iznad svakog broja . U slučaju malih slova, što pripada kasnijem periodu, upotrebljavani su akcenti umesto crta (a’,b’,...). Grčki filozof i matematičar Heliodor koji je živeo u 4. veku, izneo
je mišljenje da je reka Rimski brojevi se i danas koriste za neke specificne namene. Njihov
se oblik menjao Princip oduzimanja koji se primenjuje pri pisanju brojeva, gde simbol
za manju jedinicu koji prethodi većoj jedinici označava razliku dve jedinice,
Rimljani su preuzeli od Vavilonaca. Na primer, četiri se piše kao IV umesto
IIII ili 1999 kao MCMXCIX. Ostaci ovog principa zadržali su se danas u
našoj sklonosti da kažemo pet minuta do dvanaest umesto jedanest i pedeset
pet minuta. Izgled cifaraOpšte je mišljenje da cifre koje danas koristimo, takozvane arapske cifre,
kao i simbol za Šezdesetih godina 20. veka gospođa Abdelkri Budžibar, direktor Muzeja u Maroku, izložila je javnosti svoju interesantnu i prilično ubedljivu studiju o tome kako je nepoznati arapski matematičar mogao pre nekih hiljadu godina da oblikuje takozvane arapske brojeve, odnosno cifre od 0 do 9. Ona smatra da su cifre formirane prema kriterijumu da svaka sadrži odgovarajući broj uglova, kao što je prikazano na slici. Dakle, cifra broja ,,jedan" sadrži jedan ugao, cifra broja ,,dva" ima dva ugla, broja ,,tri" ima tri ugla, i tako dalje. Nula je, naravno oblikovana tako da nema uglova. Ovakvo jedno racionalno obrazloženje nastanka cifara bilo bi interesantno
ukoliko je tačno. Današnji izgled cifara 1, 2, 3 mogao je nastati usled
kurzivnog pisanja jedne, dve ili tri crte. Međutim, oblikovanje ostalih
cifara manje je jasno.
Prenos cifaraHindu cifre su prenete u arapske zemlje u 7. veku. Najstarija referenca za Hindu pozicioni brojni sistem van Indije nađena je u radu iz 662. koji je napisao Sever Sebohta, sirijski biskup, u Kambodži 683.Iz arapskih zemalja hindu cifre su prenete u Evropu uglavnom posredstvom trgovaca sa obala Mediterana koji su održavali trgovačke veze sa Istokom. Drugi značajan način prenošenja arapskih cifara u Evropu bio je direktno preko Arapa, koji su osvojili Španiju 711. godine i u periodu svoje vladavine doneli i znanje matematike u Španiju. Najstariji evropski rukopis koji sadrži arapsko-indijske cifre, tzv. ,,Vigilanski kodeks" (Codex Vigilanis), napisao je Albelda Kloister u španiji 976. godine. U Evropi su u 10. veku još bile u upotrebi kurzivne rimske cifre. Gerbert Dorijak (oko 950-1003), koji je rođen u Francuskoj, obrazovao se u Španiji i Italiji, i kasnije služio kao arhibiskup u Remsu i Raveni (i 999. godine postao Papa pod imenom Silvester II), bio je verovatno prvi u Evropi koji je upotrebio hindu-arapske brojeve. Hindu-arapski sistem je definitivno postao poznat u Evropi u 13. veku zahvaljujući radu nekoliko naučnika, najviše od svih Leonardu iz Pize, poznatijem kao Fibonači (Fibonacci, 1180-1250). Njegova knjiga Liber abbaci (Knjiga o abaku, 1202) služila je kao veoma važan izvor hindu-arapske numeracije u Evropi. Između ostalih, engleski matematičar Vilijam Otred (William Oughtred, 1574-1660) opisao je hindu-arapsku notaciju i decimalne razlomke u svom najvažnijem delu Clavis Mathematicae (1631). Upotreba arapskih cifara u Evropi bila je u prvo vreme čak zabranjena. Međutim, kada su u 14. veku italijanski trgovci (iz porodice Mediči) počeli da upotrebljavaju arapske cifre pri vođenju trgovačkih knjiga, a posebno posle 1482. godine, dolazi do potiskivanja rimskih cifara. Najraniji novčići na kojima su utisnute arapske cifre pojavili su se
u sledećem redosledu: Narod Inka, koji je na teritoriji sadašnjeg Perua imao moćnu civilizaciju pre vremena evropske invazije u 16. veku, posedovao je logičko-numerički sistem zapisivanja brojeva pomoću skupa konopaca sa specijalno grupisanim čvorovima, nazvanim kipu (quipu). Specifičan raspored konopaca i čvorova (uključujući razmak) predstavljali su brojeve u dekadnom pozicionom brojnom sistemu. Najveći broj otkriven na kipu je 97 357. U modernoj terminologiji, kipu je sličan jednom posebnom tipu grafa, poznatom kao stablo. Razni pojmoviZanimljiva je priča o nazivu cifre nula. Hindu simbol za nulu, nazvan sunja (prazan), preveden je na arapski kao as-sifr ili sifr. Fibonači u svojoj knjizi Liber abbaci naziva ovaj simbol zephirum a Maximus Planudes (oko 1340.) ga zove tziphra (od grčkog oblika τζιφρα, koji je otprilike u isto vreme koristio Neofitos). Ova reč je zatim preneta u italijanski kao zeuro, odakle je nastala engleska reč za nulu zero. Primetimo da su iz istog izvora nastale naše reči cifra i šifra, a u engleskom cipher. Međutim, nula je takođe poznata i pod drugim imenima kao što su rota, circulus, galgal, omicron, theca, null, i figura nihili i do danas ovaj termin još nije uređen. Jedinica takođe zaslužuje posebnu pažnju. Sve do 16. veka jedinica nije
ni smatrana cifrom, što je ideja koja potiče od starih Grka. Euklid je
definisao broj kao veličinu sastavljenu od jedinica. Takođe se smatralo
da jedinicu, kao i tačku, nije moguće deliti. Srednjovekovni pisci kao
što su al-Horezmi (oko 825), Pselus (oko 1075), Savasorda (oko 1100),
Hispalensis (oko 1140) i autori ranih štampanih knjiga Pačoli (1494),
Kebel (1514), Cvifel (1505), Bejker (1568) i mnogi drugi, isključili su
jedinicu iz polja brojeva. Pojam negativnih brojeva javlja se po prvi put u kineskoj matematici.
Naime, u starokineskoj knjizi K'iu-čang suan-šu (postoje i druge fonetske
transkripcije, zavisno od dijalekta;Devet knjiga matematičkih veština,
oko 200. godine P. N. E. ali možda i mnogo ranije) iz perioda dinastije
Han (202 P.N.E.-211 N.E.) negativni brojevi su zapisivani crnom bojom
dok su pozitivni brojevi pisani crvenom bojom. Rafael Bombeli je prvi definisao sabiranje i množenje kompleksnih brojeva.
U svojoj knjizi Algebra (1572) on razmatra veličine kao što je √-9, što
zapisuje u obliku R[0 m. 9], gde R označava kvadratni koren (od radix
- koren) a m je minus (od meno). Jako podozrenje i prema kompleksnim i prema negativnim brojevima zadržalo
se sve do 19. veka. S druge strane, Hajgens i Lajbnic, koji su živeli
u 17. veku, bili su impresionirani imaginarnim brojevima. Na primer, Lajbnic
je pokazao da je Aritmetiku kompleksnih brojeva u pravom smislu razvio je 1831. čuveni
nemački matematičar Karl Fridrih Gaus (1777-1855). On je predstavio kompleksne
brojeve kao tačke u ravni, našao za korisno da razlikuje pojam imaginarnog
broja za a√-1 i kompleksnog broja za a + b√-1; pri čemu je uveo drugi
termin. Ojler je 1748. uveo oznaku i = √-1; a francuski matematičar Ogisten
Koši (1789-1857) uvodi 1821. nazive konjugovan par za a + ib i a - ib
i moduo za veličinu √a2 + b2, koju je Vajerštras zvao apsolutna vrednost
i označavao sa │a + ib│. Transcedentni brojeviZa broj koji nije koren nekog algebarskog polinoma sa celobrojnim koeficijentima kaže se da je transcendentan. Ovu reč je smislio Lajbnic. Transcendentne brojeve je 1884. otkrio Žozef Liuvil (1809-1882) koji je pronašao celu klasu tih brojeva. Najvažniji i najpoznatiji transcendentni brojevi su e = 2.71828....
i p = 3.14159... Simbol p prvi je uveo engleski matematičar Vilijam Džons (William Jones, 1675-1749) u svojoj knjizi Synopsis Palmariorum Matheseos (1706), a Ojler usvojio 1737. Otada je opšte prihvaćeno da p predstavlja količnik obima i prečnika kruga. Transcendentnost broja p dokazao je 1882. godine nemački matematičar Ferdinand Lindeman (1852-1939) i time implicitno dokazao nemogućnost kvadrature kruga (jedan od tri čuvena problema antičke Grčke) upotrebom samo lenjira i šestara. Takođe je dokazano da je broj ep transcendentan, ali se ne zna, na primer, da li su pe, ee ili pp transcendentni; čak se ne zna da li su proizvod pe i suma p +e transcendentni ili ne. Najranija zabeležena aproksimativna vrednost za p je Ahmesova vrednost
p = 256/81 = Jedan od najlakših načina da se zapamti broj p koristi niz dvostrukih brojeva 1, 3 i 5, i glasi: Pođimo od niza cifara 113355; podelimo ga na dva dela 113,355; zatim uzmimo ove delove u obrnutom poretku 355,113; podelimo 355/113 i dobijamo p~3.14159292; što je tačno na šest decimalnih mesta. Ovaj metod je bio poznat Kinezu Tsu Čung-čihu (oko 480). Postoje različite tehnike za pamćenje cifara broja p na različitim jezicima
a sastoje se uglavnom od duhovitih rečenica. Jedna od najpoznatijih na
engleskom jeziku je sledeća: RazlomciInteresantno je da se pojam razlomka pojavljuje nezavisno i mnogo kasnije od koncepta celog broja. Na primer, termini za 1/2 u različitim jezicima su: jedna-polovina, semis, moitie što nije direktno povezano sa rečima: dva, duo, deux. Da bi računanja sa razlomcima učinili jednostavnijim i lakšim, Egipćani su predstavili sve razlomke, izuzev 2/3, kao zbir takozvanih jediničnih razlomaka, tj. razlomaka sa jediničnim brojiocima. Jedan od problema iz Rajndovih papirusa izražava 2/97 kao zbir 1/56 + 1/679 +1/776 (naravno, u egipatskim hijeroglifima). Napomenimo da se upotreba jediničnih razlomaka zadržala u izvesnoj meri čak i danas, na primer, u izražavanju kvaliteta dragocenih metala u jedinici karat; jedan karat označava 1/24-ti deo čistog zlata sadržanog u leguri (dakle, 24 karata označava čisto zlato). Lako je izraziti 1 kao sumu različitih jediničnih razlomaka (tzv. egipatski
razlomci); minimalno rešenje je razvoj 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6: Međutim, razvoj
1 po različitim jediničnim razlomcima sa svim neparnim imeniocima predstavlja
težak problem koji je uz pomoć računara rešio 1971. japanski programer
S. Jamašita. Postoji pet rešenja ovog problema, svako sa devet sabiraka: Čuveni indijski matematičar-amater Srinivasa Ramanudžan (1887-1920)
primetio je u Kaprekarove konstante 6174: Baksuzni brojevi: Pet Veliki brojeviPretpostavimo da je veliki komad papira, debljine hiljaditog dela centimetra,
presavijen Gugol i gugopleks:Profesor Edvard Kasner sa Univerziteta Kolumbija u Njujorku sakupio je
tokom godina neke interesantne podatke koji se tiču velikih brojeva: Ubedljivi gigant među giganskim brojevima je Skjuesov broj. U odnosu
na njega čak i Ukupan broj svih mogućih poteza u jednoj šahovskoj partiji je reda 101050 Najveći broj ikad korišćen u matematičkom dokazu je granična vrednost publikovana 1977. u radu Ronalda Grahama, matematičara i istaknutog naučnika u oblasti kompjuterskih nauka zaposlenog u kompaniji AT&T Bell Labs (Murej Hil, SAD). Taj broj se odnosi na bihromatske hiperkocke koje se pojavljuju u Ramzejevoj teoriji, i nemoguće ga je iskazati bez posebne notacije sa ,,strelicama" . Notaciju je smislio 1976. čuveni Donald Knut, profesor Univerziteta u Stenfordu. Ovaj broj prikazan je pomoću 64 sloja. On je tako neshvatljivo veliki da nema žički analogon čak ni u odnosu na broj atoma u vasioni. Prosti brojeviJoš su stari Grci znali da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Jedan od dokaza može se naći u Euklidovim Elementima (Knjiga IX, Propozicija 20). Nemački matematičar Peter Ležen Dirihle (1805-1859) dokazao je da svaka aritmetička progresija a; a+d; a+2d;...; gde su a i d relativno prosti projevi (tj. njihov najveći zajednički delilac je 1) sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva. Dokaz nije jednostavan. Broj 357 686 312 646 216 567 629 137 je najveći (do sada) pronađeni
prost broj koji Najveći poznati prost broj (u ovom momentu) je 41. Mersenov prost broj
(broj oblika 2n - 1) Terminologija Apstraktno prikazivanje brojeva pomoću kamenčića i računanje na taj
način, donelo Kada su Amerikanci okupirali Japan 1945. godine, zapazili su da japanski trgovci i deca u školama koriste jedan čudan instrument za izvršavanje aritmetičkih operacija. Ovaj instrument, koji se zove japanski abakus ili soroban, delovao je primitivno i koštao je u to vreme 25 centi. Amerikanci su raspolagali savremenim električnim mašinama za računanje po ceni od $700. U želji da demonstriraju svoju superiornost nad pokorenim ratnim protivnikom, Amerikanci su organizovali javno takmičenje u brzini računanja. Japance je predstavljao 22-godišnji Kijoši Macuzuki sa običnim abakusom a Amerikance, takođe 22-godišnak, poručnik Tomas Jan Vud sa električnom mašinom. Pred oko 3000 gledalaca Macuzuki je demonstrirao takvu brzinu baratanja abakusom da je dobio nadimak ,,ruke" i ubedljivo porazio Vuda u kategorijama sabiranja, oduzimanja, deljenja i kombinovanih zadataka. Vud je uspeo da bude bolji samo u množenju, što nije mnogo popravilo utisak neočekivanog teškog poraza. Glavna pokretačka snaga razvoja matematike u najranijem periodu, ali i vekovima kasnije (od Vavilona pa sve do Ojlera i Laplasa), bile su praktične potrebe merenja zemlje i astronomije, što je bilo izuzetno važno u agrarnim društvima (potrebe irigacije i poljoprivrede) a takođe i u moreplovstvu. Mnogi termini koje danas koristimo potiču od tih praktičnih potreba. Na primer, geometrija znači ,,merenje zemlje" na grčkom, što je nastalo od reči Γη(ge) - zemlja i μετριυ(metrein) - meriti. Mnoge stare mere za dužinu proistekle su sasvim prirodno od različitih
delova ljudskog tela. Na primer, u drevnom Egiptu i Sumeru kao manja jedinica
za dužinu koristio se kubit - rastojanje od lakta do vrha srednjeg prsta.
Naravno, ova jedinica je varirala od čoveka do čoveka, kao što je slučaj
i sa merama stopa, ruka, šaka, prst (širina kažiprsta), jard (rastojanje
od vrha nosa do kraja ispružene ruke). Stari Grci su osnovali aritmetiku kao vrstu teorije brojeva. Naziv Αριθμητική (arithmetike') potiče od grčke reči άριθμόs (arithmos'), što znači broj. Ovaj termin je preveden na latinski kao aritmetika, a preko latinskog jezika univerzalno prihvaćen u svim jezicima. Nazive elipsa (znači nedostatak), parabola (stavljanje pored ili poređenje) i hiperbola (bacanje dalje) je uveo Apolonije, koji je živeo u trećem veku pre nove ere. Poreklo engleske reči sine (sinus) je prilično neobično i potiče od
niza pogrešnih prevođenja sanskritske reči ardha-jua (polu-akord). Indijski
matematičar Arijabata (oko 474- oko 550) skratio je ovaj termin na jua
(akord) ili njen sinonim jiva. Zatim su Arapi fonetički prepisali ovu
reč u (reč bez značenja) jiba, ali napisanu kao jb jer je arapski izostavljao
samoglasnike. Kasniji arapski pisci su zamenili jb sa jaib, što je arapska
reč koja znači ,,pećina" ili ,,zaliv". Gerardo iz Kremone (12.
vek), kada je prevodio arapski rad iz trigonometrije na latinski, zamenio
je arapski jaib ekvivalentnom latinskom reči sinus, odakle je nastala
engleska reč sine. Švajcarski matematičar Johan Lambert je prvi (1768) koristio imena hiperbolički sinus (sinh x) i hyperbolički kosinus (cosh x) za funkcije (ex – e-x)/2 i (ex + e-x)/2. On je takođe uspostavio analogiju između ovih funkcija i običnih trigonometrijskih funkcija sinus i cosinus. Međutim, Lambert nije bio prvi koji je uveo ove funkcije u trigonometriju. Prema M. Kantoru (Encyclopedie des sciences mathematiques, Vol. IV, 1908, str. 411), ta čast pripada Vinčencu Rikatiju (Vincenzo Riccati, 1707-1775), sinu mnogo poznatijeg Jakopa Rikatija (Jacopo Riccati, 1676-1754). Veliki uticaj Arapa na savremenu matematiku vidi se i kroz reči arapskog porekla algebra i algoritam. Hindu brojevi su bili poznati u Bagdadu još u 8. veku. Oko 825. godine veliki arapski matematičar Abu Džafer Muhamed ibn Musa al-Horezmi upoznao je Hindu sistem proučavajući knjigu iz astronomije Sidhanta čuvenog indijskog matematičara i astronoma Brahmagupte. Odmah je shvatio njihovu vrednost i napisao knjigu objašnjavajući način upotrebe. Ovu knjigu je preveo na latinski Adelard iz Bata (oko 1120) pod naslovom Liber Algorismi de numero Indorum (O indijskom broju - delo Algoritma). Otuda, termin algoritam, koji danas označava postupak izračunavanja korišćenjem više specificnih metoda, predstavlja latinski prevod imena al-Horezmi. Termin algebra vodi poreklo od naziva knjige velikog arapskog matematičara al-Horezmija (9. vek) koji u originalu glasi Hisab al-jabr w'al-mukabalah (oko 825). Sadržaj knjige obrađuje većinom procedure za rešavanje jednačina tako da reč al-jabr počinje da se upotrebljava za celokupnu algebru, koja je i inače sve do sredine 19. veka bila samo nauka o jednačinama. Reči al-jabr (jabr je od jabara što znači ponovo sastaviti i učvrstiti) i mukabalah, su tehnički termini koji se odnose na prebacivanje negativnih članova na drugu stranu jednačine i skraćivanje sličnih članova sa obe strane jednačine, respektivno. Svi dokazi teorema u Euklidovim Elementima završavaju se rečenicom Quod erat demonstrandum, što prevedeno sa latinskog znači: što je i trebalo dokazati. Iz počasti prema Euklidu bilo je uobičajeno da se kraj dokaza označi slovima Q.E.D, kao skraćenica od Quod Erat Demonstrandum, i ova tradicija je dugo poštovana, posebno u udžbenicima iz geometrije. Simbol (obojeni kvadrat), koji se danas često koristi kao oznaka za kraj dokaza, predložio je Pol Halmoš, američki matematičar mađarskog porekla. Osim ove, koriste se i druge oznake. U engleskom jeziku posebno je dovitljiva oznaka w5, što je skraćenica od ,,which was what was wanted" (,,što je ono što se tražilo"). Moderne termine tangenta (tangent) i tetiva (secant) je prvi uveo Tomas
Fink (1561- 1656) u svom radu Geometria rotundi libra XIV iz 1583. Reč logaritam znači racionalan broj od grčkog λόγοs (logos - količnik) i αριθμοs (arithmos)-broj i konstruisao ju je Džon Neper (1550-1617), škotski matematičar. Neper je najpre upotrebio izraz veštački broj za svoje otkriće, ali ga je kasnije zamenio rečju logaritam. Henri Brigs (Henry Briggs, 1561-1631), profesor geometrije na Grešem koledžu u Londonu, koji je sugerisao Naperu da uvede bazu 10 u svoj sistem, predložio je u svojoj Arithmetica logarithmica (1624) reč karakteristika, kao što se koristi u logaritmima. Brigs je takođe uveo reč mantisa (od kasno-latinskog termina etrurskog porekla sa značenjem ,,dodavanje" ili ,,dodatak"), koja se pojavila u Valisovoj knjizi Algebra (latinsko izdanje, 1685) i Ojlerovom delu Introductio in analysis infinitorum (Uvod u analizu beskonačnih veličina, 1748). Iako je čuveni francuski matematičar i filozof Rene Dekart (1596-1650)
u svojoj knjizi La Geometrie (1637) dao prvu studiju o analitičkoj geometriji
i upotrebio pravougli (Dekartov) koordinatni sistem za rešavanje mnogih
problema, termine koordinate, apscisa i ordinata je uveo Lajbnic 1692.
godine. Naziv determinanta se po prvi put pojavio 1815. u Košijevom radu o teoriji
determinanata. Ovaj rad takođe sadrži skraćenicu (aij) i postupak za izračunavanje
determinante pomoću razvoja po bilo kojoj vrsti ili koloni. Eduard Firstenau
(Furstenau) je uveo pojam determinante beskonačnog reda 1860. radeći na
metodu aproksimacije korena algebarskih jednačina. Lajbnic, koji je bio veliki inovator matematičkih simbola i oznaka, uveo je 1694. termin funkcija (što na latinskom znači ekvivalentno) za označavanje zavisnosti promenljive y od promenljive x.Godine 1734. Ojler je upotrebio notaciju f(x) da označi ,,funkciju od x." Oznake f’(x); f”(x);... za izvode funkcije, uveo je Lagranž (1736-1813) u svom radu Theorie des fonctiones analytique... iz 1772. On je f ‘(x) nazvao fonction đerivee (izvod funkcije) s obzirom da je f’ ,,izvedena" iz originalne funkcije f. SimboliFrancuski pravnik i matematičar Fransoa Vijet (1540-1603) dao je značajan
doprinos pojavi i razvoju univerzalne simbolike. On je prvi upotrebio
slova za izražavanje brojnih koeficijenata pri rešavanju jednačina, mada
je još uvek pisao različite stepene promenljivih pomoću slova (na multiplikativnom
principu). Na primer, Vijet je pisao (oko 1590.) Rene Dekart je primenom algebre u geometriji mnogo doprineo usavršavanju Vijetove simbolike. U svom delu La Geometrie (1637) izvršio je sintezu algebre i geometrije stvorivši tako analitičku geometriju. Uveo je tzv. dekartove koordinate, a algebarske jednačine postale su relacije među brojevima, što je bio dalji napredak u matematičkoj apstrakciji. Početkom 6. veka indijski matematičar Arijabata skratio je nepoznate
na ya (prva nepoznata, što vodi poreklo od javatavat, ,,mnogo kao"),
a zatim dolazi ka, ni, pi, što su skraćenice imena boja crna, plava, žuta.
Stepeni su nazvani va (drugi stepen), slede gha, va va, va gha, i tako
dalje. Operacije su pokazane posle operanda rečima ghata i bha, što označava
sabiranje i množenje, respektivno. Na primer, xy je ya ka bha, gde su
x i y nepoznate. Današnji simboli + i - pojavili su se u štampi po prvi put u aritmetici Johana Vidmana, publikovanoj u Lajpcigu 1489. Vidman nije upotrebio ove znake kao simbole operacija već samo da ukaže na višak i manjak. Upotreba ovih znakova kao simbola algebarskih operacija počela je u radovima holandskog matematičara Vandera Hekea 1514. i Nemaca Mihaela Štifela i Adama Rajza, mada su verovatno korišćeni i ranije. Znak plus vodi poreklo najverovatnije od latinske reči et, koja je često korišćena da označi sabiranje, dok je znak minus redukcija skraćenice m za minus. Kvadratni koren je najpre bio predstavljen slovom R kao inicijalom latinske
reči Radix (koren). Italijanski matematičar Luka Pačoli (oko 1444-oko
1509) koristio je R ili R2 za označavanje kvadratnog korena, R3 za treći
koren, a za četvrti koren R4 ili RR (od RadixRadix). Znak jednakosti ,,=" uveo je 1557. engleski matematičar Robert Rikord (oko 1510-1558) u svojoj knjizi The Whetstone of Whitte, prvoj engleskoj algebri. ,,Njemu se činilo da nijedne dve stvari ne mogu biti `more equalle' (više jednake) od `para paralelnih crta'- što podseća na izreku da su `Vilijam i Džon,' blizanci, veoma slični, naročito Vilijam." Lajbnic i Njutn su imali veliki udeo u tome da znak = zameni Dekartov simbol ∞. LITERATURA:
preuzmi seminarski rad u wordu » » »
|