KRUG
Krug je jedna od najznačajnijih i najinteresantnijih geometriskih figura.
Konstruisanje ostalih figura ne može se ni zamisliti bez krugova. Krug
je u euklidskoj planimetriji geometrisko mesto tačaka u ravni koje se
nalaze na rastojanju manjem ili jednakom nekoj zadatoj duži od neke date
tačke u istoj toj ravni. Pomenuta tačka se zove centrom a pomenuta dužina
poluprečnikom kruga. Krug je oivičen linijom koja se zove kružnica i deli
ravan na unutrašnjost kruga, samu sebe i spoljašnjost kruga. Sama kružnica
pripada krugu koga oivičava.
Dvostruka dužina poluprečnika se naziva prečnikom kruga, a obim kruga
je dužina njegove kružnice. Drugi nazivi za poluprečnik i prečnik su,
tim redom, radijus i dijametar.
DEFINICIJA KRUGA
Krug sa centrom O i poluprečnikom (radijusom) r je
geometrisko mesto tačaka ravni čije rastojanja od tačke O nisu veća od
r, tj to je skup tačaka M ravni za koje važi OM
r. Krug je zatvoren skup tačaka ravni, čija je granica periferija kruga,
tj kružnica.
Veliki krug lopte (sfere) je krug koji se dobija presekom lopte sa ravni
koja prolazi kroz njen centar. Poluprečnik velikog kruga je jednak poluprečniku
lopte. Kroz svake dve tačke lopte koje nisu krajevi njenog prečnika prolazi
samo jedan veliki krug. Bilo koja dva velika kruga seku se u dvema dijamentalno
suprotnim tačkama lopte.
U našoj matematičkoj terminologiji se pod pojmom krug nekad podrazumeva
i kružnica (dakle kriva).
Krug krivine (diferencijalna geometrija) je isto što i oskulatorni krug,
tj oskulatorna kružnica.
OSTALE DEFINICIJE
Krug konvergencije stepenog reda
je krug poluprečnika R sa centrom u tački z-c kmpleksne ravni u čijim
svim unutrašnjim tačkama (|z - a| < R) stepeni red apsolutno konvergira.
Poluprečnik R kruga konvergencije se naziva poluprečnik konvergencije
stepenog reda. Na rubu kruga konvergencije stepenog reda postoji singularna
tačka. Može se desiti da poluprečnik konvergencije stepenog reda bude
nula ili beskonačan. Kad je on beskonačan, stepeni red konvergira u svakoj
tački kompleksne ravni. Za svaki stepeni red oblast konvergencije je uvek
krug iz kojeg se eventualno isključuje neki skup tačaka na njegovom rubu.
POLOŽAJ TAČKE I PRAVE PREMA KRUGU
Udaljenost neke tačke od središta kruga zove se centralna udaljenost
te tačke u odnosu na posmatrani krug.
Ako je centralna udaljenost neke tačke u odnosu na dati krug manja ili
jednaka, odnosno veća od poluprečnika, onda se ta tačka nalazi u krugu,
ili na krugu, odnosno izvan kruga.
Neka je k(O, r) dati krug i A, B dve tačke na njemu, slika 1. Duž AB je
tetiva kruga, a dužina normale ON na tetivu je centralno rastojanje tetive,
odnosno centralno rastojanje prave AB. Ugao AOB je centralni ugao koji
odgovara tetivi AB. Ako je M bilo koja tačka na krugu, sa iste straneprave
AB sa koje je i O, tada je AMB
tetivni ( periferiski) ugao koji odgovara konveksnom centralnom uglu AOB.
Slika 1
Na slici 2 vidimo razne položaje prave prema krugu.Ako je centralno rastojanje
prave, tj dužina normale iz centra kruga na datu pravu, manje od dužine
poluprečnika r, na slici 2 je OS<r, tada
prava seče krug. Pravu koja seče krug nazivamo sečicom. Sečica i krug
imaju dve zajedničke tačke koje određuju tetivu. Najduža je ona tetiva
koja sadrži centar kruga, to je prečnik.
Ako je centralno rastojanje jednako dužini poluprečnika, prava i krug
imaju tačno jednu zajedničku tačku. Ta prava je tangenta kruga. Na slici
2 prava t je tangenta kruga. Tangenta je normalna na dodirni poluprečnik,
tOT.
Ako je centralno rastojanje veće od dužine poluprečnika, prava je van
kruga; na slici 2 to je prava a, jer je OA>r.
Slika 2
MEĐUSOBNI POLOŽAJ DVA KRUGA
Međusobni položaj dva kruga zavisi od odnosa njihovog centralnog rastojanja
(na slikama to je d(O, O')) i poluprečnika krugova i to na sledeći način:
- kružne površi su disjunktne: OO' > r1 + r2(slika 3)
Slika 3
- krugovi se dodiruju spolja: OO' = r1 + r2, (slika 4)
Slika 4
- krugovi se dodiruju iznutra: OO' = r1 - r2, (slika 5)
Slika 5
- krugovi se seku: r1 - r2< OO' < r1 + r2, (slika 6)
Slika 6
- manji krug je u većem: OO' < r1 - r2, (slika 7)
Slika 7
- krugovi su koncentrični: O = O', (slika 8)
Slika 8
KRUG I UGLOVI
Ugao pod kojim se iz centra kruga vidi luk ACB (slika
9) je centralni ugao koji odgovara tom luku. Ako je M tačka istog kruga,
koja ne pripada luku ACB, tada je ugao AMB periferiski nad istim lukom.
Centralni i periferiski uglovi nad istim lukom (nad istom tetivom) povezani
su jednostavnom relacijom.
Slika 9 Slika 10
teorema:
Centralni ugao je dva puta veći od odgovarajućeg periferiskog ugla.
dokaz:
Razlikujemo slučajeve kada centar pripada periferiskom uglu (slika 9)
i kada mu ne pripada (slika 10).
- Neka je MC prečnik kruga koji pripada uglu AMB. Trougao AOM je jednakokraki,
pa je OAM
= OMA
= .
Spoljašnji ugao ovog trougla je
= COA
i biće
= 2.
Slično imamo da je
= 2,
pa sabiranjem ovih jednakosti dobijamo
+
= 2(
+ ).
Kako je
+
= AOB,
a
+
= AMB,
sledi AOB
= 2AMB.
- Ako je O van ugla AMB, oduzimamo odgovarajuće jednakosti dobijene
u prethodnom razmatranju, a ako je O na jednom kraku ugla AMB rešenje
se dobija direktno.
posledice:
- Periferiski (tetivni) ugao nad prečnikom je prav. (Talesov stav)
- Svi periferiski uglovi jednog kruga nad istom tetivom jednaki su među
sobom.
- Svi periferiski uglovi nad jednakim tetivama u jednom krugu (ili u
podudarnim krugovima) jednaki su među sobom.
Znajući ove osobine možemo bez merenja za neki ugao datog trougla utvrditi
da li je oštar, tup ili prav. Rešenje je prikazano na slici 11. Treba
konstruisati krug čiji je prečnik stranica naspram ispitivanog ugla. Ugao
je oštar, tup ili prav, zavisno od toga da li je teme trougla leži van
kruga, u krugu ili na krugu.
Slika 11
Zabeležena je i sledeća anegdota.
Pre nekoliko vekova bilo je malo ljudi koji su znali matematiku. Postoji
priča o Adamu Riseu (1482-1559), nemački matematičar, koji je u svoje
vreme bio jedan od retkih znalaca matematike. Navodno se Rise takmičio
sa jednim geometrom i zahvaljujući svom znanju nadmudrio geometra i ubedljivo
ga pobedio. Geometar je na šeširu kao značku nosio mali srebrni šestar,
čime je hteo istaći da je on majstor za rad sa šestarom.
Slika 12 Slika 13
Rise je predložio geometru da se takmiče ko će u određenom kratkom vremenskom
roku nacrtati više pravih uglova, čiji kraci prolaze kroz dve utvrđene
tačke A i B. Imali su pravo da koriste šestar i lenjir.
Geometar je prvo nacrtao više polupravih: Ap, Aq, Ar itd, a zatim je pomoću
simetrala duži, kao što je prikazano na slici 12, crtao normale. Rise
je za to vreme, znajući osobine kruga, nacrtao krug prečnika AB i uzimajući
ma koju tačku P, Q, R, ... kruga za teme ugla, vrlo brzo nacrtao veliki
broj pravih uglova, slika 13. Pošto njegov protivnik nije znao ove osobine,
Rise je morao još i da dokaže geometru ispravnost svog rada.
primer:
Dati ugao od 19º podeliti na 19 jednakih delova koristeći se samo šestarom.
(Kad kažemo dat je ugao, podrazumeva se da je taj ugao precizno nacrtan.)
rešenje:
Potrebno je, dakle, konstruisati ugao od 1º. Kako je 19·19 = 361, postupićemio
na sledeći način. Nacrtaćemo proizvoljan krug kome je centar teme datog
ugla i koji seče krake tog ugla. Zatim ćemo tetivu koja odgovara datom
centralnom uglu preslikati („preneti”) 19 puta duž kruga.
Kraj poslednja tetive premašuje pun ugao tačno za 1º, a to je tražena
devetnaestina našeg datog ugla, slika 14.
Slika 14
teorema: (o tangentnom uglu)
Ugao koji određuje tetiva sa tangentom u jednoj krajnoj tački tetive (tangentni
ugao) jednak je tetivnom uglu koji odgovara toj tetivi.
dokaz:
Neka je AC prečnik normalan na tangentu, slika 15. Ugao ABC je prav, kao
ugao nad prečnikom, pa su tangentni ugao i ugao ACB jednaki, kao uglovi
sa normalnim kracima. Ugao ACB je tetivan nad tetivom AB, što dokazuje
tvrđenje.
Slika 15
Neka je data duž AB i van prave tačka O, slika 16. Neka su O
i O
poluprave koje sadrže date tačke. Kažemo da se iz tačke O duž AB vidi
pod uglom AOB
(ili O).
Slika 16
Koristeći se osoibinama dokazanim u prethodnim teoremama, rešićemo dva
primera.
primer:
Konstruisati u datoj ravni skup svih tačaka iz kojih se data duž AB vidi
pod datim uglom .
rešenje:
Konstruišemo polupravu A
u datoj ravni, koja se polupravom AB određuje ugao jednak datom uglu ,
slika 17. Zatim konstruišemo normalu i na polupravu A
i simetralu s duži AB. Presečna tačka S pravi n i s je centar luka k =AB
( koji odgovara luku ACB na slici 17). Sa druge strane prave AB, na simetrali
s odredimo tačku S´, takvu da je AS = A S´. Tačka S´ je centar luka k´,
poluprečnika S´A.
Iz svake tačke luka k ili luka k´, osim iz tačaka A i B, data duž se vidi
pod datim uglom .
Ovo sledi iz poslednje teoreme. Nije teško dokazati da nijedna tačka ravni
van lukova k i k´ nema tu osobinu, pa je k
k´ traženi skup tačaka.
Slika 17
primer:
Konstruisati tangente iz date tačke A na krug k(O, r), pri čemu je OA
> r.
rešenje:
Ugao između tangente i poluprečnika je prav. Stoga konstruišemo krug k
kome je duž OA prečnik. Presečne tačke krugova k i k.
tj tačke P i T na slici 18, određuju tangente AP i AT, što se lako dokazuje.
Duži AP i AT na slici 18 se nazivaju tangentnim dužima. O njnima govori
sledeći stav.
KRUG I ČETVOROUGAO
teorema: (o tangetnim dužima)
Tangentne duži iz date tačke na dati krug jednake su među sobom.
dokaz:
Pravougli trouglovi AOP i AOT, slika 18, podudarni su, jer imaju zajedničku
hipotenuzu i po jednu katetu jednaku poluprečniku kruga, OP = OT. Iz podudarnosti
ovih trouglova dobijamo AP = AT.
Slika 18
teorema: (o tangentnom četvorouglu)
Konveksan četvorougao ABCD je tangentan akko je AB + CD = BC +AD.
dokaz:
Neka je ABCD tangentan četvorougao i neka su M, N, P, Q tačke u kojima
stranice AB, BC, CD, DA, redom, dodiruju krug, slika 19. Prema prethodnoj
teoremi je: AM = AQ, BM = BN, CN = CP, DP = DQ. Prema tome
AB + CD = AM + BM + CP + DP = AQ + BN + CN + DQ = BC + AD.
Slika 19
Ako je četvorougao upisan u krug, tako da su mu sva
temena na krugu, onda je to tetivan četvorougao, slika 20.
teorema: (o tetivnom četvorouglu)
Četvorougao ABCD je tetivan akko mu je zbir naspramnih uglova jednak opruženom
uglu: =.
dokaz:
Ako je ABCD tetivan četvorougao, slika 20, zbir uglova
i
jednak je polovini zbira odgovarajućih centralnih uglova, određenih poluprečnicima
OB i OD. Međutim zbir ovih centralnih uglova je pun ugao, pa je .
Odatle sledi i .
Slika 20
Dokažimo da je uslov dovoljan. Neka je k krug opisan oko trougla ABD.
Dokazaćemo da krug k sadrži i tačku C. Ako C nije na krugu, onda je ili
u krugu ili van kruga, slika 21. Ako je C u krugu tada prava CD seče krug
u tački C'. Prema prvom delu dokaza, tada je ,
sledi da je .
Međutim,
je spoljašnji ugao trougla BCC', pa je ,
što dovodi do protivrečnosti. Prema tome, tačka C ne može biti u krugu.
Slično se dokazuje da ne može biti ni van kruga. Dakle, krug k sadrži
temena A, B, C, D.
Slika 21
teorema:
Četvorougao ABCD je tetivan ako i samo ako je
ACB =
ADB.
primer:
Tri ugla jednog četvorougla su tupi. Dokazati da je veća ona dijagonala
koja sadrži teme oštrog ugla.
rešenje:
Koristimo činjenicu da je prečnik najveća tetiva kruga. Konstruišemo krug
k kome je prečnik dijagonala AC, koja sadrži teme C oštrog ugla, slika
22. Temena B i D moraju biti u krugu jer su uglovi ABC i ADC tupi. Prema
tome, duž BD je u krugu imanja je od tetive MN koju određuje prava BD,
a samim tim manja je od prečnika AC.
Slika 22
KRUG I TROUGAO
Svaki trougao može da ima više krugova: opisani krug
koji sadrži sva tri temena trougla, upisani krug koji je unutar trougla
i dodiruje sve tri stranice, tri spoljašnja kruga koji su van trougla
i dodiruju jednu stranicu i nastavke druge dve i krug devet tačaka koji
sadrži razne tačke trougla.
teorema: ( o centru upisanog kruga)
Simetrale uglova trougla seku se u jednoj tački.
dokaz:
Neka je O presečna tačka simetrala AO i BO uglova
i
trougla ABC, slika 23, i neka su OM, ON, OP normale iz O na stranice AB,
BC, CA. Pravougli trouglovi AMO i APO su podudarni jer imaju zajedničku
hipotenuzu i po jedan oštar ugao jednak .
Zbog toga je OP = OM. Slično iz podudarnosti trouglova BMO i BNO dobijamo
OM = ON. Iz OP = OM i OM = ON sledi OP = ON. Zbog toga su podudarni pravougli
trouglovi CNO i CPO ( imaju zajedničku hipotenuzu CO). Iz njihove podudarnosti
sledi jednakost uglova BCO i ACO, što znači da je prava CO simetrala ugla
,
a tačka O zajednička tačka simetrala sva tri ugla.
Slika 23
Na osnovu jednakosti normala OM, ON i OP u prethodnom dokazu sledi da
tačke M, N i P pripadaju krugu sa centrom O, koji osim tačaka M, N i P
nema drugih zajedničkih tačeka sa stranicama trougla. Zaista, ako bismo
pretpostavili da ovaj krug ima, recimo sa stranicom AB zajedničku tačku
M', različitu od M, onda bi trougao OMM' bio pravougli sa hipotenuzom
OM'. Dakle bilo bi OM' > OM, pa bi tačka M' bila van kruga.
Prema tome, tačka O, zajednička tačka simetrala uglova predstavlja centar
upisanog kruga trougla ABC.
Slično, u preseku simetrala stranica dobićemo centar opisanog kruga trougla
o čijem postojanju govori sledeći stav.
teorema: ( o centru opisanog kruga)
Simetrale stranica trougla seku se u jednoj tački.
dokaz:
Neka je S zajednička tačka simetrala s1 stranice BC i simetrale s2 stranice
AC trougla ABC, slika 24. Kako je S tačka simetrale s1, važi jednakost
BS = CS. Međutim, zbog S
s2 je i CS = AS, pa sledi i AS = BS. Dakle, trougao ABS je jednakokraki,
pa tačka S pripada i simetrali duži AB. Dakle, S je zajednička tačka simetrala
triju stranica trougla. Sem toga, kako je SA = SB = SC, to krug sa centrom
S i poluprečnikom SA sadrži sva temena trougla, pa je opisan krug trougla
ABC.
Slika 24
Talesova teorema navodi da ako se tri temena trougla nalaze na krugu
gde je jedna strana trougla prečnik kruga, onda je suprotni ugao od te
stranice prav.
JEDNAČINA KRUGA
Znamo da je krug skup svih tačaka M ravni, takvih da je d(C, M) = r,
gde je C(p, q) data tačka ravni i r dati pozitivan broj.Ako sa x, y označimo(promenljive)
koordinate tačke M na krugu, tada, prema formuli rastojanja dveju tačaka,imamo
CM =
Odakle posle kvadriranj je
.
Ova jednačina predstavlja jednačinu kruga sa centrom C (p, q) i poluprečnikom
r.
Ako se centar kruga poklapa sa koordinatnim početkom, jednačina ima oblik
.
Dakle, koordinate bilo koje tačke datog kruga zadovoljavaju ove dve jednačine.
Obrnuto, za svaki par (x, y), koji zadovoljava gornju jednačinu, odgovarajuća
tačka pripada krugu.
Ako je ,
tačka P()
je van kruga, a ako je ,
tačka P()
je u krugu. Ako je ,
tačka P()
pripada kužnoj površi.
USLOV DODIRA PRAVE I KRUGA
Neka je y = kx + n jednačina date prave i
jednačina datog kruga. Zavisno od rešenja sistema kojeg čine ove dve jednačine,
zaključujemo da se prava i krug seku (dva rešenja), dodiruju (jedno rešenje)
ili su disjunktni (nema zajedničkih rešenja). Rešenje
je zajednička tačka prave i kruga.
Smenimo y = kx + n u jednačinu kruga. Rešavanjem dobijamo:
Diskriminanta ove kvadratne jednačine je D = .
Za D > 0 imamo dva realna rešenja (data prava je sečica), za D <
0 nema realnih rešenja i za D = 0 imamo jedno rešenje (data prava je tangenta).
Prema tome ističemo uslov dodira prave i kruga:
.
JEDNAČINA TANGENTE KRUGA
Neka je data jednačina kruga i tačka P().
Ako je P van kruga, tada postoje dve tangente čije su jednačine: ,
gde k određujemo iz uslova dodira (dva rešenja). Ako je P u krugu tangenta
ne postoji.
Slika 25
Odredimo jednačinu tangente u tački P()
koja je na krugu ,
slika 25. Tangenta je normalna na poluprečnik CP, pa kako je CP = (),
jednačina tangente će biti:
Kako je ()
tačka na krugu, to je ,
pa je:
(tangenta u tački kruga).
Problem određivanja zajedničkih tagenti dvaju krugova, rešava se primenom
uslova .
Ugao između sečice p i kruga k, definiše se kao oštar ili prav ugao između
prave p i tangente t u presečnoj tački, slika 26.
Slika 26
Slično, ugao između dva kruga koji se seku je oštar ili prav ugao između
njihovih tangenti, konstruisanih u presečnoj tački.
PRIMENA SLIČNOSTI NA KRUG
Krug je jednostavna figura i on je simetričan u odnosu na svaku pravu
koja sadrži centar. Zbog toga su svaka dva kruga homotetična i bez biranja
posebnih položaja.
Slika 27
Na slici 27 su dva priozvoljna kruga k i k1. Odgovarajući poluprečnici
SA i S1A1 su paralelni, a koeficijent homotetije je m = .
Za homotetične tačke A i A1 važi O A1 = m ∙ OA. Homotetični krugovi imaju
zajedničke tangente koje sadrže centar homotetije. Do ovih zaključaka
možemo doći i formalno, tako što se dokaže osobina: krugu k(S, r) u homotetiji
H0 odgovara krug k1(S1, r1), takav da je O S1 = m ∙ OS i r1 = mr.
Uz pomoć sličnih trouglova mogu se dobiti i zanimljive osobine kruga.
Slika 28
Neka je P tačka u ravni kruga k i neka su a i b dve sečice datog kruga,
povučene kroz P. Tačku P možemo izabrati u krugu, na krugu ili van kruga.
- Neka je P u krugu i neka su A i A1 presečne tačke prave a sa krugom
k, a B i B1 presečne tačke prave B i kruga k, slika 28. Trouglovi ABP
i A1B1P su slični,jer imaju jednake uglove (kod P su uglovi unakrsni
i BAP
=
A1B1P, jer su nad istim lukom). Na osnovu sličnosti dobijamo da je AP
: BP = B1P : A1P, a odavde je AP ∙ A1P = BP ∙ B1P.
- Ako Pk,
tada je A1P = B1P = 0, pa je AP ∙ A1P = 0 = BP ∙ B1P, slika 29.
Slika 29
- Uočimo sada sečice a i b, povučene iz tačke P koja je van kruga k,
slika 30. Trouglovi AB1P i A1BP imaju zajednički ugao APB, a osim toga
je
AB1P =
PA1B (odgovaraju zajedničkoj tetivi AB). Na osnovu drugog stava sličnosti
ova dva trougla su slična i PA : PB1 = PB : PA1, odakle je PA ∙ PA1
= PB ∙ PB1.
Slika 30
Ako sečica iz P ima sa krugom k zajedničke tačke A i A1, kazaćemo da
su PA i PA1 odsečci koje krug k određuje na ovoj sečici. Na osnovu prethodnog
razmatranja izvodimo značajnu osobinu kruga.
Ako je k dati krug i P data tačka u ravni kruga k , tada proizvod odsečaka
koje krug k određuje na bilo kojoj sečici povučenoj iz tačke P, ima konstantnu
vrednost.
Uvodimo oznaku
p2 = PA ∙ PA1.
Ovaj konstantan proizvod je potencija tačke P u odnosu na krug k.
Ako je tačka P van kruga, potencija tačke P ima još jednu interpretaciju.
teorema:
Ako je P tačka van kruga k, u ravni tog kruga, onda je potencija ove tačke
u odnosu na krug k jednaka kvadratu odgovarajuće tangente duži.
dokaz:
Neka je PT tangentna duž i prava a sečica, slika 31. Trouglovi ART i TPA1
imaju zajednički ugao sa temenom P. Osim toga, tetivni ugao AA1T je jednak
uglu između tangente i tetive, tj. jednak je uglu ATP. Zbog toga su trouglovi
APT i TPA1 slični, pa su im odgovarajuće stranice proporcionalne: PT :
PA = PA1 : PT, a odavde proizilazi: PT2 = PA ∙ PA1 = p2.
Slika 31
U vezi sa potencijom tačke u odnosu na krug je i tzv zlatni presek.
Ako je neka duž AB tačkom C podeljena tako da je veći odsečak geometriska
sredina duži AB i manjeg odsečka, tj ako važi AC : AB = BC : AC, slika
32, tada kažemo da smo izvršili zlatni presek duži AB.
Slika 32
Antički arhitekti su smatrali da pravougaoni oblici građevina imaju izuzeti
estetski izgled ako su im dimenzije određene zlatnim presekom. Čak se
verovalo da je zlatni presek božanski dar i da građevine koje imaju te
osobine imaju poseban magičan uticaj na ljude u njima. O zlatnom preseku
se naročito vodilo računa pri građeju hramova.
Današnji arhitekti takođe smatraju da pravougaonici sa osobinama zlatnog
preseka doprinose lepšem izgledu.
Zlatni presek ćemo konstruisati koristeći se potencijom krajnje tačke
A duži AB u odnosu na pogodno odabrani krug. Na slici 32 je pomoću kruga
prečnika jednakog datoj duži AB, koji u tački B dodiruje ovu duž , konstruisana
tačka C. Veći odsečak AC jednak je odsečku AP sečice AS. Ova konstrukcija
se jasno vidi na slici.
Slika 32
Dokaz da je p : a = (a - p) : p.
Na osnovu osobine potencije imamo AB2 = AP ∙ AP1, odnosno a2 = (p + a)
p. Odavde dobijamo najpre a2 = p2 + ap, potom p2 = a2 - ap i konačno p2
= a (a - p), što je isto kao p : a = (a - p) : p.
primer:
Konstruisati pravilan desetougao upisan u dati krug k(O, r).
analiza:
Neka su A i B dva susedna temena pravilnog desetougla, slika 33. Trougao
OAB je jednakokrak i AOB
= 360º : 10 = 36º, zbog čega je OAB
= OBA
= 72º.
Neka je D tačka poluprečnika OA, takva da je ABD
= 36º, slika 33. Trouglovi OAB i ABD su slični, pa ako je AB = a, imamo
a : r = ( r – OD ) : a. Međutim, kako su trouglovi ABD i OBD jednakokraki,
to važi: OD = BD = AB = a, pa je a : r = ( r – a ) : a. Prema tome, tačka
D deli poluprečnik OA zlatnim presekom, tako da je veći odsečak OD = a.
Slika 33
konstrukcija:
Tačku D odredimo isto kao i tačku C na slici 32, samo što umesto tačke
B imamo tačku O ( videti sliku 34).
Slika 34
dokaz:
Uočimo jednakokraki trougao OAB ( koristeći trougao na slici 33). Neka
je poluprečniku OA tačka D, takva da je OD = AB = a. Po definiciji zlatnog
preseka i konstrukciji na slici 34, važi a : r = ( r – a ) : a, tj AB
: OB = AD : AB. Otuda, sledi da su trouglovi OAB i BAD slični ( imaju
zajednički ugao OAB). Kako je OB = OA, to je onda i BD = AB, a otuda i
BD = OA. Znači, trougao OBD je jednakokrak, pa kako je ADB
njegov spoljašnji ugao, biće ADB
= 2 AOB.
Uvedimo oznaku: AOB
=
. Tada je u trouglu OAB: AOB
+ OAB
+ OBA
= +
2
+ 2
= 180º ( zbir uglova u trouglu ). Dakle je
= 36º, pa kako je 360º : 10 = 36º, sledi da je AB = a stranica pravilnog
desetougla upisanog u dati krug.
JEDINIČNI KRUG
U matematici, jedinični krug je krug čiji je poluprečnik 1. Često se,
naročito u geometriji, jediničnim krugom smatra krug sa poluprečnikom
1 čiji se centar nalazi u koordinatnom početku (0,0).
Slika 35
Ako su (x, y) tačke na kružnici jediničnog kruga u prvom kvadrantu, onda
su x i y katete pravouglog trougla (isečci na x i y osi, respektivno)
čija je hipotenuza (poluprečnik) 1. Prema Pitagorinoj teoremi x i y zadovoljavaju
jednačinu
Pošto je x2 = (−x)2 za svako x, i pošto su odsečci svih tačaka na jediničnom
krugu oko x i y osa i na jediničnom krugu, prethodna jednačina važi za
sve tačke (x, y) na jediničnom krugu, ne samo za prvi kvadrant.
POVRŠINA I OBIM KRUGA
Svi krugovi su slični; kao posledica, obim kruga i njegov poluprečnik
su proporcionalni, kao što su njegova površina i kvadrat poluprečnika.
Konstanta proporcionalnosti je 2π i π, redom. Drugim rečima:
• Obim kružnice =
• Površina kruga =
Formula za površinu kruga može da se izvede iz formula za obim kruga i
površinu trougla na sledeći način. Zamislite pravilni šestougao podeljen
na jednake trouglove, sa njihovim vrhovima u centru šestougla. Površina
šestougla može da se nađe u formuli površine trougla, tako što se sabiraju
dužine osnovica svih trouglova, množe se dužinom visine trouglova (dužina
od sredine osnovice do centra) i dele sa 2. Ovo je aproksimacija površine
kruga. Onda zamislite istu situaciju, ali sa osmouglom i aproksimacija
će biti malo bliža površini kruga. Kako se pravilni mnogougao sa sve više
stranica deli na trouglove, to se i površina mnogougla sve više bliži
površini kruga. U limesu, zbir svih osnovica se približava obimu 2πr,
a visina trouglova se približava poluprečniku r. Kada se pomnože obim
i poluprečnik i podele sa dva, dobija se površina πr².
Slika 36
Deo obima ograničen sa dva poluprečnika se zove luk (geometrija), a površina
(tj. kriška diska) u okviru tih poluprečnika i luka se zove kružni isečak.
Odnos dužine luka i poluprečnika definiše ugao između dva poluprečnika
u radijanima.
Formula za dužinu kružnog luka (gde je α centralni ugao nad lukom):
Formula za površinu kružnog isečka:
ODNOS OBIMA I PREČNIKA KRUGA
Odnos obima i prečnika kruga je konstanta π = 3,14... (grčko slovo: pi).
To znači da postoji razmera (obim):(prečnik) = pi koja ne zavisi od veličine
kruga, a koja je primećena još u drevna vremena. U Vavilonu je za ovu
razmeru upotrebljavana približna vrednost 25/8 = 3,125 a u Starom Egiptu
256/81 ≈ 3,16..., ali bez namere da se shvati zakonitost takvog odnosa.
Arhimed je prvi opisao postupak kako se ova veličina izračunava i smestio
je u opseg između 22/7 i 223/71, ali ga nije nikako obeležio niti dao
drugačiju simboliku. Ovom odnosu je ime dao Vilijam Džouns 1706. godine
- grčko slovo pi. Danas se više ne koriste geometrijske već analitičke
metode za izračunavanje ovog broja.
Otkrićem neeuklidskih geometrija se kao posledica dokazalo da u takvim
prostorima važi sledeće: obim kruga nije srazmeran prečniku.
LITERATURA:
- Matematika za I razred srednje škole ( 1996. ) Beograd ; Zavod za
udžbenike i nastavna sredstva ; dr Pavle Miličić, dr Zoran Kadelburg,
mr Vladimir Stojanović, dr Branislav Boričić
- Mathematiskop ( 1996. ); Vladimir Stojanović
- Geometrija za I razred gimnazije ( 1971. ) Beograd;
Zavod za udžbenike i nastavna sredstva ; Vojislav Mihajlović
- Geometrija za II razred gimnazije ( 1972. ) Beograd
; Zavod za udžbenike i nastavna sredstva
; Vojislav Mihajlović
- Geometrija za II razred gimnazije ( 1960. ) Zagreb
; Školska knjiga ; Lav Rajčić, dr Đuro Kurepa, Branko
Pavlović
- Vikipedija
PROČITAJ
/ PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:
|
|
preuzmi
seminarski rad u wordu » » »
Besplatni
Seminarski Radovi
|