|
FILOZOFSKI ZNAČAJ IDEJNIH PRAVACA U MATEMATICI
Ukoliko matematika više širi svoje kontekste sa sve većim brojem drugih
nauka i delatnosti, ukoliko se više ovo "prožimanje" matematikom
danas oseća kao opšta potreba i neminovnost, utoliko i filozofski značaj
matematike biva upadljiviji i jasniji. Zbog toga je ova "matematizacija"
kao sve prisutniji sadržaj celine ljudske delatnosti dostojna filozovskog
komentara. "Matematizam" se može javiti i kao jednostranost,
preterana pretenzija, težnja da se neodgovarajućim metrom meri i ono što
takvom merenju nužno izmiče.
1. Idejni pravci u matematici
Poznato je da postoji više idejnih pravaca u vezi sa matematikom. Neki
od njih se odnose na stavove o značaju, smislu, budućnosti pojedinih mate-
matičkih teorija, pa bi mogli izgledati kao " čisto " matematička
problematika sa motivacijama i argumentacijom samo unutar matematike.
Ovakva izolovanost od vanmatematickih sistema sudova često je prividna
- u stvari, biva reč o širim filozofskim teorijama "uvezenim"
u matematiku, sa ciljem da se od matematike načini dobar primer za te
teorije.Takvi postupci ne ostavljaju, međutim, ni samu matematiku "neoštećenom"
- oni dovode do forsiranja jednih a zapostavljanja drugih oblasti ili
matematičkih postupaka, što matematici može, ali ne mora koristiti. Drugi
pravci se u matematici rađaju, pa prelaze u druge oblasti, težeći da postanu
opšti pogled na svet. Takva su proširenja bremenita preteranim uprošćavanjem,
ali mogu i znatno osvežavati opštije, vanmatematičke teorije.
Ovde nisu nabrojeni svi idejni pavci jedne ili druge vrste, ili njihove
kombinacije i međuvrste. Neki od navedenih pravaca su suprotni jedni drugima,
neki su srodni, neki uži od drugih, uklapajući se u njih, neki su neuporedivi
i po problematici u odnosu na koju se opredeljuju. Izbor je vršen tako
da se, po mogućstvu što efektnije, vidi raznovrsnost dilema i bogatstvo
idejnih problema.
1.1. Platonizam
Znameniti grčki filozof Platon
izrekao je značajne stavove i kada se radi o filozofiji matematike. Za
matematičare je termin "platonizam" prvens- tveno vezan za Platonova
shvatanja o matematici, narocito na Platonovo tvrđenje da u objektivnoj
stvarnosti nema nikakvih tačaka, linija, površi , itd., ali da je tu ipak
reč o entitetima koji objektivno egzistiraju u nekoj drugoj stvarnosti,
drugom svetu na koji smo sačuvali uspomene - naše predstave o tačkama,
linijama, površima i ostalim geometriskim objektima.
Očigledno je Platonovo stanovište idealističko svojim stavljanjem geo-
metriskih objekata van našeg čulnog iskustva, sa jasnim mističnim asocijacijama,
i više od toga. Reč je, međutim, o tzv. "objektivnom idealizmu",
jer se neka egzistencija van nas samih priznaje – doduše u svetu iracionalnom
i mističnom.
Ovakvo shvatanje, naravno, zaslužuje onakve komentare kakve i svaki drugi
objektivni idealizam i predstavlja "uvoz" takvog idealizma u
matema- tiku iz filozofije, koristeći jedno opšte filozofsko stanovište
za tumačenje prirode, porekla matematičkih pojmova. Samu matematiku –
njene postupke i razvitak ono ne mora ugrožavati – može čak davati izvesnu
slobodu, korisnu za apstraktni razvoj matematike koji je njen bitni sastavni
deo, ali ova sloboda nipošto nije nemoguca bez objektivnog idealizma.
Ljudska inventivnost, posebno u oblasti matematike, ide znatno preko te
realnosti, zalazeći i u oblast mogućeg, a ne samo saznatog, stvarajući
veoma opšte teorije koje često nalaze i neočekivane primene, ali znaju
i da ostanu same sebi cilj.
Neposredno je da je karakter apstrahovanja koji činimo prelazeći od realnih,
čulno dostupnih ( neposredno ili posredno ) objekata na idealizovane,
"čiste" matematičke pojmove gnoseološki složen i vezan za ne
male filozofske teškoće. Platonističko shvatanje, na način sličan religijskom,
kao da prebacuje teškoće o kojima je reč u jednu drugu "ravan",
ovog puta mističnu, koja može biti jasna nekom višem umu, a našoj je logici
nedostupna. Prebacili smo nepojamno, ili nedovoljno shvatljivo nekom drugom,
pa se možemo "mirno" baviti onim što nam je pristupačnije, kako
znamo i umeme.
Međutim, ovakva "prebacivanja" ne treba olako shvatiti samo
kao put manjeg otpora. Ima u tome i nečega što dublje odgovara mogućnostima
našeg saznavanja suštine, koje su opet, sa svoje strane (kao objektivno
uslovljene) i same u odredjenoj vrsti sklada (nikako neprotivrečnog ni
pravoliniskog) sa pravim "stanjem stvari". Uzimamo, recimo,
Gedelove stavove o nemogućnosti da se neprotivrečnost dovoljno razvijenih
matematičkih teorija dokaže sredstvima njih samih. Tu je dokazano, onakvom
matematičkom strogošću kakvu danas posedujemo, da se rešenje problema
neprotivrečnosti (krupnog i osnovnog pitanja jedne teorije) ima rešavati
negde "drugde", ne tu gde bi se očekivalo. To "drugde"
za matematiku u celini nije pronađeno, ali se odatle mogu izvoditi jedino
zaključci u prilog važenja svojevrsne objektivne dijalektike, a nikako,
jer za to nema nikakvog osnova, u smeru nekakvih "mističnih dodataka".
Ili, uzmimo činjenicu da su dovoljno formalizovane elementarne teorije
brojeva nepotpune ako su neprotivrečne, a protivrečne ako su potpune.Čim
težimo potpunosti, tj. da u okviru jedne celine rešimo sve što nam se
čini da se u okviru te celine može rešiti, odmah se javlja protivrečnost.
Ne možemo očekivati "celu istinu" u uskim misaonim okvirima,
ma koliko se nama činilo da smo te okvire zamislili dovoljno široko. I
za "drugde" se mora štošta ostavljati. To "drugde"
ne može biti "obećana zemlja" u kojoj je sve što se da zamisliti
rešeno ili rešivo.
1.2. Konceptualizam
Za Emanuela Kanta
vezuje se konceptualizam, kao idejni pravac u matematici. Može se reći
da se radi o specifičnoj projekciji Kantovog shvatanja o nesaznatljivosti,
"stvari po sebi" ,a sa druge strane, kategoričkim tvrdnjama
o apriornosti našeg saznanja svrstava se u subjektivni idealizam.
Matematički sudovi su, po Kantu, sintetički sudovi apriori. On poriče
da se spoljašnje stvari zaista nalaze u prostoru, pošto je prostorni izgled
stvari samo oblik koji im daje naš duh, u kome je prostornost apriorna
- deo naše strukture ( mi ne možemo drukčije da shvatamo stvari nego samo
prostorno). I Kant smatra da su predmeti geometriskog znanja stvarni,
ali samo u okviru naše svesti, jer njihova stvarnost po sebi, ma koliko
bila principijalno priznata, ne može biti predmet našeg razmatranja.
Iako su subjektivni i objektivni idealizam uopšte i u matematici dovoljno
jasno suprostavljeni jedan drugom, ipak oni imaju mnogo zajedničkog, posebno
u njiho- vom prenošenju na teren matematike. Na kraju krajeva, nije bitno
da li su idealni geometriski objekti realno postojeći u nekom drugom svetu
ili su realno postojeći samo u našoj svesti, jer u oba slučaja oni su
suštinski odvojeni od stvarnosti. Vrlo su nategnuti pokušaji da se uspešnost
ljudske prakse u primenama matematike protumači polazeći od ovakvih stanovišta.
Komentari koje bi bilo nužno dati u vezi sa konceptualizmom umnogome bi
bili srodni onima koje smo dali povodom platonizma, s obzirom na njihovu
srodnost, i pored svojevrsne suprostavljenosti.
Često se Kantov konceptualizam kritikuje kao pogrešan zbog Kantovih zaključaka
o euklidskom prostoru kao jedino mogućem, onome koji nam je, apriornošću
koju Kant zastupa, usađen tako da drukčije ne možemo zamisliti. Iz ovih
teškoća Kant bi, verovatno, umeo izaći, s obzirom na činjenicu da euklidski
prostor zaista ima jedno čvršće utemeljenje u nama, pa bi neeuklidski
prostor, ma koliko to protivrečno delovalo, odgovarali nekim "perifernim"
domenima svesti. Doduše, ovo "čvršće utemeljenje" euklidskog
prostora zasniva se na dosadašnjem iskustvu čovečanstva koje, s obzirom
na večnost, nije predugačko, ali pozivanje na iskustvo, u najmanju ruku,
ne bi bilo tipično za Kantov način rasuđivanja. Svejedno,čini nam se da
glavni pravac kritike ne treba da ide tim putem - važniji je defekt konceptualizma
u nategnutoj vezi sa praksom; o mogućim mistifikacijama da i ne govorimo.
1.3. Intuicionizam
"Intuicionizam" je posebno značajan idejni pravac u matematici
koji je, može se reći razvio i posebnu logiku i matematičku aparaturu,
odbacujući mnogo od postojećeg, unoseći "priličnu pustoš" u
klasičnu matematiku, ne priznajući niz njenih principa i postupaka. Ne
priznaju princip isključenja trećeg. Odbacuju dokaze pobijanjem suprotne
predpostavke. Ne priznaju aktuelnu, nego samo potencijalnu beskonačnost.
Prihvataju samo tzv. konstruktivne dokaze itd.
Ovakvim svojim konstruktivizmom, svojom potenciranom strogošću, intu-
icionizam bi, na prvi pogled, delovao kao ekstremna težnja sigurnom, opipljivom,
realnom, materijalnom - kao da bi bio srodan nekom vrlo opreznom materijalizmu.
Odmah, međutim, sam naziv "intuicionizam" kao da protivreči
ovakvom utisku. Reklo bi se, prema takvom nazivu, da se radi o bezgraničnom
oslanjanju na intuiciju, dakle, na nešto što se ne da uvek uklopiti u
kalupe, što može dovesti i do fikcija u krajnjoj liniji. U stvari, naziv
pravca i nije sasvim odgovarajući. Jeste da tzv. "ituicija prirodnog
broja" igra značajnu ulogu u filozofskom obrazloženju intuicionističkih
motivacija, ali se tu intuicija ipak uzima u jednom posebnom smislu, tako
da naziv "više obećava" nego što sadržaj (u pogledu neke vrlo
široko shvaćene intuicije) pruža. Ipak, pažljivija analiza pokazuje da
je osnovna ideja podloga intuicionista pre dealističkog nego materijalističkog
karaktera.Ono, dakle, što liči na rigorozno insistiranje na sigurnom,
previše rigorozno, može biti motivisano ne toliko egzaktnim rasuđivanjem.
Nalazi se i obrnutih primera, da i veće insistiranje na realnosti u osnovnoj
motivaciji dovodi do "lebdećih" rezultata. Navedimo sledeće
komentare A. Priora (Historija logike):
"Prema Braueru matematika nije sistem formula i pravila već osnovni
oblik ljudske djelatnosti, djelatnosti koja ima svoj temelj u našoj sposobnosti
da apstrahiramo shvaćanje "dvojstva" iz uzastopnih faza ljudskog
iskustva i da uvidimo kako se ta operacija može ponavljati neodređeni
broj puta da bi proizvela beskonačno napredujući niz prirodnih brojeva
u sistemu matematike, osnovnom na toj prvobitnoj intuiciji, jezik služi
samo kao pomoć pamćenju i komunikaciji i ne može sam od sebe stvoriti
nov matematički sistem; naše riječi i formule imaju značenje samo ukoliko
su podržavane bitno nejezičkom djelatnošću duha.Najposle, formulacija
jednog teorema ima smisao samo ako označava mentalnu konstrukciju nekog
matematičkog entiteta ili pokazuje nemogućnost entiteta u pitanju. Brauerovo
shvaćanje dokaza kao bitno mentalnog korisno je kao korektiv za usko formalističko
objašnjenje koje bi htjelo interpretirati dokaz u danom formalnom sistemu,
iako je njegov psihologizam filozofski sporan - L. Vitgenštajn je svojim
radovima učinio više nego sumnjivom tezu da je jezik samo nebitni pratilac
misli, potreban samo za svrhe pamćenja i komunikacije. U intuicionizmu
nisu toliko važne njegove psihologističke crte koliko njegov naglasak
na konstruktibilnosti i oblik matematike koji određuje njegov kriterijum
smisaonosti".
Navela sam ovako dug Priorov citat zbog njegove jasnoće i sadržajnosti.
Bitnost ljudskog razlikovanja dvojstva, "mnogo", "drugog",
zaista je bitna za intuitivno shvatanje prirodnog broja i tu su, čini
nam se, intuicionisti u osnovi u pravu. Ali, potcenjivanje značaja jezika
koje zatim dolazi izgleda prenagljeno i ne vidi se po čemu nedvosmisleno
proističe iz prethodnih premisa. Kada su došli do "mentalne konstrukcije
nekog matematičkog entiteta", intuicionisti će odjednom, čini se
bez prave potrebe, apsolutizovati tu mentalnu konstrukciju u smeru Kantovog
konceptualizma. Ne vidi se dovoljno zašto ono što je "zdravo"
u intuicionističkom shvatanju konstruktibilnosti mora biti naslonjeno
na kantijanski subjektivizam. Ali, dajmo reč S. Barkeru :
"Čitavo učenje da brojevi i skupovi počinju da postoje zahvaljujući
čistoj intuiciji procesa brojanja suviše je neodređeno i podložno kritici,
ako se uzme sasvim doslovno. Šta bi trebalo da bude ta "čista intuicija"?
Kakav dokaz imamo da duh u "čistoj intuiciji" može da broji
samo konačnom brzinom? Zar duh ne bi mogao da broji beskonačno brzo u
"čistoj intuiciji" i tako da "konstruiše" transfinitne
brojeve? Neobičnost ovog učenja jasno dolazi do izražaja kada se setimo
da je ono posledica Kantove teorije, a verovatno i Brauerove, da zakoni
brojeva važe samo za stvari koje duh intuitivno saznaje, a ne za stvari
kakve su po sebi. Shvatanje da se broj ne može primeniti na stvari kakve
one zaista jesu po sebi znači da stvari u stvarnosti nisu ni jedne ni
mnoge. To je suviše blizu protivrečnosti da bi bilo plauzibilno."
Iz ovog Barkerovog citata može se zaključiti da intuicionisti, u svojoj
matematičkoj praksi tako trezveni, uvođenjem kantijanstva s nedovoljno
jasnom argumentacijom dolaze do apsurda u tretiranju "stvari po sebi".
Ako, dakle, posmatramo ovaj pravac u smislu opredeljivanja oko toga da
li on znači "uvoz" filozofije u matematiku ili obrnuto, možemo
zaključiti sledeće: opažajuci izvesne logičke teškoće u matematici (koje
nisu toliko apsolutne koliko se to može učiniti na prvi pogled) oni daju
svoje varijante koje su matematički interesantne i koje svakako znače
vredan prilog razvitku matematičkih nauka. Tražeći obrazloženje za svoje
postupke oni, nedovoljno motivisano i "prekoračujući ovlašćenja"
koja im matematika daje zovu u pomoć konceptualističku filozofiju. To
jeste neka vrsta "uvoza filozofije" u matematiku, ali ne inicijativom
filozofije koja bi u matematici tražila svoju potvrdu, nego nastojanjem
matematičara da dublje obrazlaže svoju matematičku reformu, koja bi i
bez naručite pomoći filozofije, posebno konceptualističke, imala svoga
smisla.
1.4. Nominalizam
"Nominalizam" postoji kao teorija sholastičke filozofije, a
u skladu sa ovom je i nominalistički pravac u matematici. Po nominalistima,
univerzalije nemaju realnost - to su samo reči, imena. Realnost se priznaje
samo pojedinačnim fizičkim objektima. U matematici su nominalistička shvatanja
na određen način srodna intuicionističkim, u smislu "osiromašenja"
nekih oblasti klasične matematike. S druge strane, nominalizam ima jednu
"realističniju" crtu, svojim pouzdanjem u pojedinačne predmete,
koje, u nekom smislu, izgleda bliže priznanja njihovog objektiviteta,
u smislu adekvatnosti objektivnoj stvarnosti. Odricanje realiteta opštijim
pojmovima, s druge strane, dopušta i "provalu" formalizma, kada
se "imenima" ipak počne manipulisati."Imena" konstituišu
jedan "čisto" ljudski svet koji onda pogoduje subjektivizmu
i previše se odvaja od inače priznatih pojedinačnih predmeta. Reč je,
ipak , o idealističkoj filozofiji - prizna se objektivna realnost, ali
onda dolazi do prevelikog udaljavanja od nje. Nominalisti nailaze na bitne
teškoće kada treba dati koliko - toliko koherentnu teoriju prirodnih brojeva.
Ovo zbog toga što korespondiranje prirodnih brojeva pojedinačnim objektima
uvek ostaje na konačnom - prelazak na beskonačnost ne izgleda ničim opravdan.
1.5. Realizam
"Realizam" u matematici, a i u filozofiji šire, nije ono što
mu ime kaže. Suprotan je intuicionizmu jer, slikovito rečeno, priznaje
egzistenciju, odn. realnost svemu što se samo zamisliti može. Matematički
pojmovi, "idealni" matematički objekti, postojeći su isto onako
kao i bilo koji objekt čija se egzistencija može čulno verifikovati. Rasel
je izraziti predstavnik ovog pravca. "Realizam" bi, znači, bio
u tome što se granice realnosti znatno šire. Ovakav je, međutim, "realizam"
bitno udaljavanje od materijalističkog shvatanja sveta - ni religiozna
mitologija ne odriče (baš naprotiv) "realnost" svojim konstrukcijama.
"Realističko" shvatanje u matematici pogoduje formalizmu koji
ne vodi mnogo računa o poreklu i prirodi pojmova kojima operiše, zadovoljavajući
se "pravilima igre" i njihovim ko- mbinacijama. Samo je naizgled
protivrečna česta pozitivistička nastrojenost kod predstavnika "realističkog"
pravca, budući da preterana širina koju oni imaju prema stvarnosti, u
stvari, izražava jednu ravnodušnost u odnosu na ontološku pro- blematiku
matematičkih "bića", koja se, međutim, u matematici ne da izbeći,
pri čemu joj se ne sme prilaziti tako kao da je sama sebi cilj.
1.6. Formalizam
"Formalizam" je stanovište u matematici koje zauzimaju mnogi
"realisti", ali ne samo oni, a koje od matematike čini svojevrsnu
"pasijans" problematiku,svodeći je na "pravila igre",
operisanje entitetima sasvim nezavisno od porekla i ciljeva. Kako piše
Barker[3]:"Na taj način će gledište formalista biti da ne postoji
značenje ili istinitost matematičkih sistema; ti sistemi uopšte ne sadrže
iskaze, već samo znake. Jedna vrsta sistema nije nikad "tačnija"
od drugih (pretpostavljajući da su obe pravilno formalizovane). Kada se
uredi kao formalizovani sistem, teorija skupova intuicionista čini različitu
igru znacima od teorije Zermela ili Fon Nojmana, ali su sve to dobre igre.
Koju treba igrati? Ako se pokaže da jedna od njih, u dužem vremenskom
periodu, ima pouzdanije i plodnije primene u nauci nego druge, onda je
to razlog da joj damo prednost".
Ove poslednje tvrdnje, očigledno, nisu lišene osnove, samo su postavljene
suviše aprioristički - kao da treba prosto "liferovati" teorije
pa posle gledati kako se koja slaže sa realnošću, ako je to slučaj - kao
da uvid u stvarnost nije važna ako ne i presudna motivacija pri kreiranju
"pravila igre".
Formalizam se, međutim, ne javlja samo kao idejno stanovište u tumačenju
matematike, nego i kao efektivan pristup nekim matematičkim problemima,
posebno problemu neprotivrečnosti matematičkih teorija. Ovaj pristup A.
Prior objašnjava na sledeći način: "Teorija sama mogla bi da sadrži
simbole za transfinitne kardinalne brojeve i druge idealne elemente, ali
to ne bi bila prepreka za dokaz konsistentnosti, u takvom jednom dokazu
od nas se samo traži da te simbole tretiramo kao opažajno date predmete
i da pokažemo da se oni neće nikad pojaviti u nekoj formuli čija je negacija
takođe dokaziva. S druge strane, Hilbert je vjerovao da se beskonačni
pojmovi, iako su dopustivi u samoj matematici, ne smiju trpjeti u teoriji
dokaza koja treba da osigura konsistentnost". Kao što se vidi "formalističko"
stanovište je srodno "realističkom" u krajnjoj liniji - ono
je svojevrsno "produžena ruka" realističkog stanovišta u njegovoj
matematičkoj operacionalizaciji, sa još naglašenijim pozitivističkim akcentom.
Finitnost u algoritmima svedoči o matematičkoj skrupuloznosti. Iako Hilbertov
program, vezan za problema- tiku neprotivrečnosti, nije doživeo potpun
uspeh, on je ipak doneo lepih uzgrednih matematičkih plodova.
1.7. Logisticizam
"Logisticizam" je idejni pravac koji, u različitim vidovima,
svodi matematiku na logiku, ili bar njene delove. I pored suštinske i
duboke srodnosti, logika i matematika, međutim, nisu identične ni sa gledišta
metoda ni sa gledišta objekata istraživanja. Može se reći da je srodnost
u toliko veća ukoliko logika više teži egzaktnosti a matematika formalizaciji.
Ono što u matematici pripada intuiciji, kao i sve ono što matematiku posredno
ili neposredno potičući iz spoljašnjeg sveta inspiriše i koriguje, ne
podleže potpunoj formalizaciji. S druge strane, ni logika se ne može svesti
samo na formalnu logiku ukoliko želi da bude dijalektička, da obuhvata
"celu istinu". Uočljivo je da u današnjoj formalnoj logici matematička
logika zauzima sve vidnije mesto. Kao i mnoga jednostranost logisticizam
u "čistom" vidu vodi formalizam, ali se I tu ne mogu osporiti
značajni matematički rezultati, važni i za matematiku i za logiku, do
kojih su došli predstavnici ovog pravca.
1.8. Konvencionalizam
"Konvencionalizam" je svojevrstan "izvoz" matematike
u oblasti šireg važenja. Učenje da su matematičke teorije (što se kod
konvencionalista odnosi uopšte na zakone prirodnih nauka) samo dogovori,
manje ili više "zgodne" ili "udobne" za primenu u
praksi, a da su u osnovi naše, subjektivne konstrukcije, oštro je kritikovao
Lenjin u svom znamenitom delu Materijalizam i empiriokriticizam, klasifikujući
ga kao subjektivni idealizam. Čuveni matematičar, fizičar i filozof Anri
Poenkare jedan je od najviđenijih predstavnika ovoga pravca. S obzirom
na zaista veliku ulogu konvencije u matematici, ipak je ovde mogućnost
zloupotrebe pri prenošenju u druge oblasti i moguća i velika, možda veća
nego kod svih ostalih pobrojanih "izama". Kada se ovakvi konvencionalistički
stavovi prenesu u politiku i moral, oni mogu poslužiti kao pravdanje svake
proizvoljnosti, nedoslednosti, raznih ogrešenja, sve do zločina. Konvencionalizam,
kada se potencira do apsurda, relativizira svaku čvrstinu i pouzdanost
- promenimo samo konvenciju i sistem aksioma, proglasimo, po dogovoru,
da se "rase" dele na "niže" i "više", pa
će se moći pravdati i hitlerovske dušegupke.
1.9. Matematizam
U poslednje vreme se sve više govori o "matematizmu", kao što
smo već u početku naglasili - utoliko više ukoliko se širi "matematizacija"
ostalih nauka. U preteranosti "matematizam" priznaje se samo
ono što se matematizira i smatra se da matematizacija nema granica. Slične
stavove zastupao je veliki Lajbnic, koji je inače svojim genijem bitno
doprineo matematizaciji mnogih oblasti koje su dotle izgledale nedostupne
svakoj egzaktnosti. Lajbnic kaže: (citirano prema A. Prioru): "Dok
sam još bio dječak koji poznaje samo običnu logiku, i nije učio matematiku,
dolazila mi je misao, ne znam po kom instinktu, da se može pronaći analiza
ideja iz koje bi na nekakav kombinatorni način istine mogle nastajati
i ocjenjivati se pomoću brojeva." Takozvana "gedelizacija"
svakako je jedno od ostvarenja ove Lajbnicove težnje. Ali, kada je reč
o moći i ograničenjima matematike, dajemo reč velikom sovjetskom matematičaru
Kolmogorovu: "Principijalno, oblast primena matematičke metode neograničena
je: svi oblici kretanja materije mogu se matematički izučavati. Međutim,
uloga i značaj matematičke metode različiti su u različitim slučajevima.
Nikakva određena matematička shema ne iscrpljuje svu konkretnost realnih
pojava; zato proces saznanja konkretnog teče uvek u borbi dveju tendencija:
s jedne strane, izdvajanja oblika izučavanih pojava i logičke analize
tih oblika, s druge stane, otkrivanja momenata koji se ne uklapaju u ustanovljene
forme, i prelaza na razmatranje novih formi, gipkijih i koje bolje obuhvataju
pojave. Ako se sve teškoće izučavanja bilo kog kruga pojava sastoje u
ostvarivanju druge tendencije, ako je svaki novi korak vezan za kvalitativno
nove strane pojave, tada matematička metoda odstupa na zadnji plan; tada
dijalektička analiza sve konkretnosti pojave može biti samo pomračena
matematičkom shematizacijom. Ako, nasuprot tome, relativno proste i stabilne
forme proučavanih pojava obuhvataju te pojave sa velikom tačnošću i potpunošću,
no zato već u granicama tih fiksiranih formi niču dovoljno teški i složeni
problemi, koji zahtevaju specijalna matematička istraživanja, posebno,
stvaranje specijalne simbolike i specijalnog algoritma za svoje rešenje,
to mi dolazimo u sferu gospodstva matematičkog modela."
Jednostavno govoreći, matematika "uspeva" pri relativnoj stabilnosti
pojmova, a glavni zadatak joj je da objašnjava njihove uzajamne odnose.
Jasno je da ovakav iskaz može predstavljati samo jedno od bližih objašnjenja
u vezi sa namenom matematike, a ni izbliza njenu definiciju.
2. Korišćenje matematičkih rezultata
Pokušaji filozofskog idealizma i drugih jednostranih filozofskih pravaca
da rezultate prirodnih i matematičkih nauka koriste za svoje sopstveno
opravdanje ne mimoilaze, kao što smo upravo videli, ni matematiku. Ipak,
rekli bismo da je fizika više zloupotrebljavana u smislu, recimo, takvih
paničnih krilatica kao što je ona poznata "materija iščezavanja",
kojom su "duhovi" direktno uvođeni na poprište. Kada je reč
o matematici, njena su jednostrana tumačenja, sve u svemu, išla više u
smeru agnosticizma i pozitivizma. Konvencionalizam ostaje kao najizoštreniji
vid moguće zloupotrebe matematike u vanmatematičke svrhe. Pokušaji obaranja
dijalektike pod izgovorom da matematika, uzor egzaktnosti, ističe neprotivrečnost
kao uslov bez koga se ne može, mogu se smatrati, razvojem matematike same,
obesnaženim do kraja.
I matematika je trpela nasilje raznih dogmatskih sputavanja, iako možda
ne u onako drastičnom vidu kao što se to dešavalo kod nacističkog proglašavanja
nekih oblasti savremene fizike za "jevrejsku izmišljotinu" ili
staljinističkog za "buržoasku nauku". Današnje reakcije na preterani
larpurlartizam, tamo gde se on javlja, sasvim su drugoga tipa. Matematika
već ima dugo, vekovno iskustvo. Prebrodila je krize, videla da je kriza
u stvari stalna, ali da se kroz nju dolazi do novih uspeha. Ona sve više
nalazi pravu ravnotežu između onoga što znači, kroz apstrakciju, njenu
stvaralačku slobodu nezavisno od toga čemu služi i onoga što joj se, kao
sve novi i novi zahtevi realnog života, neprestano nameće kao zadatak.
U ovom smislu sve joj manje smetaju jednostrani idejni komentari.
3. Vera u svemoć matematike
Veliki biolig Čarls Darvin izrazio je, u svom životopisu, žaljenje što
se nije bolje upoznao sa matematikom, jer mu se činilo da ljudi koji vladaju
tom naukom imaju neko "naročito shvatanje". Iako je dobro vladao
Euklidovim Elementima, osecao je bespomoćnost
pred osnovnim načelima algebre - činilo mu se da nikad ne bi mogao da
ih shvati do kraja. Ipak je i kasnije povremeno prelistavao matematičke
tekstove, sa svojevrsnom nostalgijom, iako bez dovoljno razumevanja. Bio
je primer onoga što se naziva "strahom od matematike", koju
je inače visoko cenijo.
Iako su prošla vremena Teodosijevog i Justinijanovog kodeksa u kojima
su matematičari izjednačeni sa zločincima i vračarama, a matematika zabranjena
kao "veština dostojna osude", iako se u mnogim stručnim, i ne
samo stručnim, krugovima otišlo i u suprotnu krajnost - veru u svemoć
matematike, ipak su i danas u vezi sa ulogom matematike i njenim mestom
u okviru integralnog pogleda na svet žive mnoge nedoumice i nepoznavanja.
U jednom nedeljnom listu piše o Bertranu Raselu, kao dobitniku Nobelove
nagrade za književnost, sa naročitim naglaskom na Raselovoj svestranosti.
Ipak, nijednom rečiju nije spomenuto da je Rasel bio i matematičar, iako
je on to bio na najvišem nivou, tako da će, vrlo verovatno, baš po svojim
matematičkim rezultatima prvenstveno i ostati u istoriji nauke. Spomenuto
je da je bio sklon prirodnim naukama i to dokumentovano činjenicom da
je bio lični prijatelj Alberta Ajnštajna. Da je pri tome napisao i jednu
od najboljih popularizacija Ajnštajnove teorije - nije rečeno.
Ovakvo pisanje o Raselu, i ne samo o njemu, uopšte nije retkost. Zato
se, izgleda, ne treba preterano plašiti ponavljanja i navođenja opštih
mesta, nego koristiti svaku priliku za potenciranje nekih osnovnih činjenica
o matematici. Na upornost i tvrdokornu rasprostranjenost zablude može
se odgovoriti samo suprotnom upornošću, ali bolje argumentovanom i ubedljivije
logički strukturiranom - tek tada se stvaraju neki od preduslova za razbijanje
tako okorelih nerazumevanja.
4. Poznavanje matematike formira sliku sveta
Ne padajući u nepotrebne lamentacije, recimo koju reč povodom Darvinove
misli o "naročitom shvatanju matematičara". Do koje mere poznavanje
matematike formira sliku sveta?
Već i iz dosada izloženog se vidi da nema jednoznačnog usmerenja kome
bi u ovom smislu matematičko obrazovanje vodilo svakog mislioca bez razlike.
Mislim da vrhunski matematički rezultati umonogome relativiziraju mnoga
priprosta verovanja i dovode u pitanje brojne predrasude o apsolutnoj
tačnosti, o tome da je u matematici sve prosto i jasno ("kao dva
i dva - četiri"), da je matematika nauka u kojoj je odgovor uvek
"da" ili "ne". Proces neeuklidske geometrije, teorije
skupova, matematičke logike značio je u mnogome "kopernikanski obrt".
Došlo je, reklo bi se, do ambisa, do krajnjih mogućih granica ljudske
misli. A ipak su i te granice pređene. Najjapstraktnije teorije pokazale
su se veoma pogodnim za primene. Ono što je na prvi pogled ličilo na krizu
matematičke i ljudske misli uopšte, sve više je postajalo novo, snažno
oruđe u savladavanju prirode.
U činjenici da neprotivrečnost matematike u celini ni do danas nije dokazana
može se videti i svojevrsna objektivna dijalektika. Za formalizovane elementarne
teorije brojeva, rekli smo već, dokazano je da su protivrečne ako su potpune,
a da neprotivrečnost povlači za sobom nepotpunost. Čim težimo sveobuhvatnosti,
totalitetu, odgovoru na sva pitanja, protivrečnost se javlja kao neminovnost.
Neprotivrečnost se ostvaruje samo u teorijama užeg dometa. Pa ipak je
težnja ka potpunosti legitimna tendencija koja dovodi do dubljih saznanja.
Dijalektički je protivrečna ova stalna težnja ka neprotivrečnosti, koja
ne dovodi do Sveznanja, ali koja nije ni obrtanje u krugu – uvek na putu
do zvezda kroz trnje.
Matematika, koegzistencijom međusobno suprotnih teorija u smislu euklidske
i neeuklidske geometrije, teorija sa potvrdnim ili odričnim odgovorom
na Zermelovu hipotezu ili hipotezu kontinuuma, čak istovremenom primenljivošću
tih suprotnih teorija, pruža lepe, prirodne primere jedinstva suprotnosti,
koji nisu samo zgodno konstruisane sheme sa ciljem da se dokazuje dijalektika,
nego pojave bitne za glavnu maticu matematike.
Veoma osobeni matematički pristup komunikaciji sa objektivnom stvarnošću
sastavni je, neodvojivi deo onih temelja na kojima se, u najširem smislu,
može konstituisati materijalistički pogled na svet. Iako operiše apstraktnim
pojmovima, matematika je daleko od svakog voluntarizma (pri čemu unutar
i van nje ne nedostaju pokušaji da se i njoj nametnu voluntaristički tokovi,
sami sobom zadovoljni).
Rezultati teorije o rešivosti matematičkih problema pokazuju da u matematici
nije sve u "ili - ili+" nego i te kako i u onom dijalektičkom
"i jedno i drugo". Egzistencija umesno postavljenih pitanja
na jeziku date teorije, na koja u okviru iste teorije nema odgovora, svedočanstvo
je o prožetosti matematike dubokim dilemama.
Izložili smo kako ni matematika nije imuna od zastranjivanja raznih vrsta.
Prenaglašavanje jedne komponente u odnosu na druge i u odnosu na celinu
stvari i u matematici, kao i u svakoj drugoj disciplini, znači odstupanje
od duha nauke same, kome je imenentan odgovarajući sklad, ma koliko uslovan,
dijalektičan i dinamičan on bio i koji je više nezadrživa težnja harmonijom,
nego harmonija sama.
5. Matematička misao
Platonizam, konceptualizam, nominalizam, intuicionalizam, realizam,
lo- gisticizam, formalizam, konvencionalizam, matematizam, koje smo ukratko
analizirali, predstavljaju neke od putanja kojima se ljudska, matematička
misao kretala u cilju saznavanja sebe same, ko je, šta je i kuda se uputila.
Uvek se polazilo od nekih ispravnih zapažanja, od objektivno prisutnih
pojava i iskustva, dolazilo u tako izabranom smeru do važnih zaključaka
koji su se ugrađivali u nove, proširene i produbljene temelje nauke, ali
se onda zalazilo u stranputicu, kadgod se htelo zatvoriti oči pred kontraargumentom
i kontraprimerom, kadgod se hteo uokviriti krug, proglasiti da je apsolut
dostignut.
Od svih spomenutih matematičkih "izama" izdvojili smo konvencionalizam
kao, u izvesnom smislu, društveno najrelevantniji, ako bude iskorišćen
za pravdanje raznih antihumanističkih ideoloških konstrukcija. Iako smo
u raznim prilikama isticali "stihijski materijalizam" jednog
Poenkarea, ne pripisujući mu nikakve mizantropske namere, jer ih kod njega
nije bilo, nikako nismo zatvorili oči pred hladnom amoralnošću koju i
danas svakodnevno srećemo, a čija konvencionalističko – pozitivistička
obojenost želi da deluje kao ledena nepristrasnost, "čista"
naučnost, potpuna objektivnost. Ma koliko mi bili daleko od vulgarno materijalističkog
traganja za bukvalnim prisustvom klasnog interesa iza svakog pravca u
nauci i filozofiji, ma koliko bili svesni da već u ličnostima klasika
marksizma Marksa, Engelsa i Lenjina
imamo eklatantne primere prevazilaženja vlastite klasne pozicije, ipak
ne možemo previđati vrlo često poklapanje pozitivističke orjentacije u
teoriji sa konzervativizmom u životnoj političkoj praksi, pri čemu se
pozitivizam zna kamuflirati na vrlo različite načine, često praznom emfazom
u prilog značaja nauke koja spolja liči na oduševljenje za budućnost čovečanstva,
a u stvari je samo dimna zavesa pred zloupotrebom nauke u nehumane svrhe.
Bilo je matematičara (kao Basel) za koje svet van matematike nije postojao,
ali i takvih čija raznovrsnost upravo zadivljuje. Njutn i Lajbnic su blistavi
prestavnici ove svestranosti: Njutn kao fizičar, matematičar, astronom,
hemičar, filozof, istoričar, ekonomist, Lajbnic kao matematičar, filozof,
fizičar, hemičar, biolog, geolog, psiholog, pravnik, medicinar, istoričar,
krećući se u svim ovim oblastima ne amaterski nego kreativno, ostvarujući
u njima dubok trag. Naš Mihajlo Petrović, matematičar koji je poznavao
i nekoliko drugih prirodnih nauka, čuveni je ribar i ribarski stručnjak,
pasionirani putnik i putopisac, poznavalac književnost, filozof i muzičar.
Kao što je rekao Vajerštras, "onaj ko u sebi nema nešto i poetskog,
neće nikad biti potpun matematičar".Veza između matematike i poezije
kod Pola Valerija odraz je njegovih svesnih nastojanja i njegove stvaralačke
prirode u kojoj su se ove sklonosti suštinski preplitale.
Naročito je sklonost ka filozofiji prisutna kod matematičara. Dekart je
sanjao o takvoj nauci koja bi bila neka vrsta univerzalne matematike.
Laplas razmišlj o iluzornoj, univerzalnoj formuli sveta. Pitagora u vezi
sa pojmom broja zasniva čitavu mističnu filozofiju sa određenim kultom
i ritualom. Poljski matematičar Vronski osnovao je "mesijanizam"
kao specifičan filozofski smer. Veliki Poenkar, predstavnik konvencionalizma,
bio je loše filozofske srece ako se njegov pravac gleda u celini, ali
su pojedinačne njegove gnoseološke zasluge neosporne. Paskal je svojom
mističnom filozofijom, čije su mnoge dubine ipak priznate, širem krugu
čak poznatiji kao filozof. Opšti pogled na matematičare kao filozofe kao
da daje utisak bilo jedne težnje ka totalitetu, sveobuhvatnosti, bilo
sveopštoj dedukciji, bilo konvencionalnom shvatanju raznih kategorija,
čemu, i jednom, i drugom, i trećem, možemo delimično tražiti poreklo i
u matematičkim navikama autora.
Raznovrsna je i angažovanost matematičara van matematike, posebno u oblasti
društvenih delatnosti. Bilo ih je koji su hteli i znali da sagrade svoju
kulu od slonove kosti, ali i onih čije je učešće imalo vidne rezultate.
Izvrsni francuski matematičar Penleve postao je predsednik vlade. Dva
sekretara KPJ, Filip Filipović i Sima Marković, bili su matematičari.
Francuski matematičar Loran Švarc, predstavnik teorije distribucija, jedne
od najapstraktnih oblasti, čije je poreklo iz prakse neosporno, predstavnik
u isto vreme larpurlartističke matematičke pasijans - filozofije, istaknuti
je predstavnik francuske levice, dugogodišnji Sartrov saradnik i član
Raselovog suda u vezi sa Vijetnamom. Analogno Balzaku, Koši, koji u svom
delu predstavlja nezadrživu težnju novom, u političkim shvatanjima ostaje
najkonzervativniji rojalista - pristalica starije grane Burbona, kome
je čak Luj Filip suviše levi, tako da 1830. emigrira, da se vrati tek
posle garancije francuske vlade da se ne mora politički angažovati (garancija
koja se, po pravilu, ne daje nikome, ali koja svedoči o izvanrednom Košijevom
ugledu).
Teškoće ovladavanja matematikom vezane su za njen neprekidni rast, koji
je doveo i do permanentne krize u nastavi. Jer, mnogo više novog i značajnog
se javlja nego što, izgleda, staro zaslužuje da bude odbačeno. I ovde
dolazi do izražaja ona stara istina da je ontogeneza rekapitulacija filogeneze,
pa je, izgleda, i pojedinačnom umu lakše da u učenju matematike pođe od
pojmova koje je čovečanstvo srelo u svojoj mladosti. Čini nam se da je
pogodno poslužiti se sledećim citatom britanskog matematičara Brodbenta:
"Kao temelj velikog dela naše današnje nauke i tehnike, i, potpuno
isto toliko važna kao velika stvaralačka umetnost, kao univerzalni jezik,
kao temeljni način mišljenja, matematika je sastavni deo naše moderne
kulture, i tu tvrdnju teško da bi mogao ko da porekne. Možda tu tvrdnju
ponekad dočekuju sa smehom? Šta - kažu kritičari - hoćete li ozbiljno
da tvrdite da Lebegov integral ima isto tako veliku i isto tako duboku
privlačnost i metso u našoj kulturi kao, recimo, Izgubljeni raj ili Vatikanska
Afrodita? Mogli bismo odgovoriti da je prebrojavanje glava vrlo loš način
procenjivanja vrednosti umetničkog dela. Ali postoji i bolji odgovor,
naime, smela tvrdnja da ja verujem da isto toliko ljudi može da ceni i
odista ceni Lebegov integral koliko ih ceni Izgubljeni raj, jer pri tom
ocenjivanju ja nameravam da isključim sve one koji će vam spremno reći
da je Milton veliki pesnik, a Izgubljeni raj veliki spev, iako nikad nisu
pročitali nijedno pevanje tog speva, niti ikada nameravali da ga pročitaju,
niti bi čak razumeli i jedan red kada bi to i učinili. Ne, izmerite oba
polja obaveštenog precenjivanja i siguran sam da se neće mnogo razlikovati
međusobom."
6. Ulaženje u drukčiji način mišljenja
Ako ima matematičara koji u svom pogledu na svet pokazuju priličnu skučenost,
onda se uzroci ne mogu naći u matematici samoj, nego su složeniji. Ima
matematičara urođenih u svoju nauku na način koji se ne može nazvati larpurlartističkom
u nekom programiranom smislu, gde nije reč ni o uživanju radi uživanja,
nego o nekoj vrsti pasivne opsednutosti, gde van toga prosto ništa ne
postoji, a sam taj rad kao da ne daje naročite stvaralačke impulse. Takvi,
ali i mnogi pravi matematičari u znatnom stepenu su lišeni komunikativnosti
i obilato doprinose neinformisanosti o matematici, koja je široko rasprostranjena,
čak i kod mnogih od kojih se to ne bi moglo očekivati. Naći će se intelektualac
koji (u doba kada se teško prebrojavaju i nove matematičke discipline,
a o desetinama hiljada novih naučnih radova da i ne govorimo) misle da
se na fakultetu uči samo srednjoškolska matematika, ali na veoma uporan
način, tako da bi diplomirani matematičar bio onaj ko ume da reši sve
srednjoškolske zadatke. Ovome je krivo i sporo menjanje programa - u osnovnoj
i srednjoj školi doskora se predavao samo deo matematike, dok se u većini
drugih predmeta ipak daje nauka u celini, mada na nivou koji odgovara
uzrastu.
Ima kod matematičara prezira prema svakoj "priči" van matematičkih
formula, kao nečemu što hoće da ruši matematičku strogost. Kao da strogost
i ta "priča" ne mogu da koegzistiraju jedna uz drugu, i to tako
da jedna bez druge ne ide. Ima i straha od profanacije, nekog neopitagorejskog
samozadovoljstva u stajanju u najužem krugu.
Potrebno je, znači, višestrukim i višestranim naporima rušiti pregrade,
graditi mostove, upoznavati se međusobno. To ne ide bez napora, to izlaženje
iz sopstvene ljušture, jer ulaženje u drukčiji način mišljenja, naravno,
nije uvek lagodno ni glatko. Živimo, međutim, u vremenu u kome veća otvaranja
u svim pravcima nemaju ozbiljnije alternative.
Literatura:
[1] Stojković Andrija: Filozofija, matematika i prirodne nauke ,1963.
[2] Šikić Zvonimir: Novija filozofija matematike ,1987.
[3] Barker Stefan: Filozofija matematike ,1973.
[4] V.N.Trostnikov: Što su konstruktivni procesi u matematici: povjesni,
matematički i filozofski aspekt ,1983.
[5] E.Stipanić: Istorija i filozofija matematike, Dijalektika 4, Beograd
1977.
[6] A.N.Vajthed: Nauka i moderni svet (prevod sa engleskog na srpskohrvatski),
Nolit, Beograd 1976.
[7] J.Hintikka: The philosophy of mathematics, Oxford university press,
London 1969.
PROČITAJ
/ PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:
|
|
preuzmi
seminarski rad u wordu » » »
Besplatni
Seminarski Radovi
|
|