SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Izometrija Euklidovog prostoraEuklid Euklid je bio antički
matematičar poznat po svojim delima „Elementi“, „Data“,
„Optika“ i algoritmu za izračunavanje najvećeg zajedničkog delioca
(NZD) koji je po njemu nazvan Euklidov algoritam.
• „Data“ (o uslovima zadavanja nekog matematičkog objekta), • „Optika“ (sa teorijom perspektive), i dr. U odnosu na druge naučne oblasti, geometrija je dostigla zavidan nivo oko 300. god. pne. pojavom dela "Elementi". Tada u matematici geometrija dominira, pa su i brojevi interpretirani geometrijski. Euklid je pokušao da izlaganje bude stogo deduktivno i upravo zbog te doslednosti "Elementi" su vekovima smatrani najsavršenijim matematičkim delom. Mnoge generacije matematičara i drugih naučnika su učili iz ove knjige kako se logički zaključuje i novo povezuje sa ranije utvrđenim činjenicama. Kasnije su "Elementi" analizirani i dopunjavani. Posebnu pažnju su privlačili aksiomi i postulati. U ovoj knjizi su sadržana sva saznanja i otkrića do kojih su došli Euklid i njegovi prethodnici i savremenici u geometriji, teoriji brojeva i algebri. Takođe, dokazane su i 464 teoreme na način koji je i danas besprekoran. Nastanak ideje o definisanju prostoraU grčkoj geometriji nije bilo eksplicitnog pojma prostora. Međutim, implicitno,
pojam prostora je postojao kao epifenomen, kao okvir u kojem se geometrijski
objekti nalaze. U savremenoj geometriji imamo njegovu simboličku kodifikaciju
kao skup svih uredjenih trojki realnih brojeva. Posmatranje spoljašnjeg
prostora kao prebivališta realnih stvari i doživljavanje mentalnog prostora
kao prebivališta zamišnenih stvari nisu naučene sposobnosti, već prirodni
darovi ljudskih bića. Tako, mi nikada ne tražimo od naših đaka objašnjenje
šta je prostor, niti pokušavamo da ga njima sugerišemo. (x, 0, 0) : x Є R, (0, y, 0) : y Є R, (0, 0, z) : z Є R skupa trojki, nazivaju se x-osa, y-osa i z-osa. Za dve tačke A(x1, y1, z1) i B(x2, y2, z2), odsečak AB se definiše kao skup tačaka koji korespondira sledećem podskupu trojki (λx1 + (1 − λ)x2, λy1 + (1 − λ)y2, λz1 + (1 − λ)z2) : λ Є[0, 1] . Onda se dužina ovog odsečka, a time i rastojanje tačaka A i B, definiše kao broj d(A,B) = _(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2. Izostavljamo dodatne detalje koji su poznati čitaocu iz kursa analitičke geometrije i koji se obično uče putem vizuelizacije. Crtež koji predstavlja koordinatni sistem - tri prave koje stoje normalno jedna na drugu, jeste ono čime počinju ovakve lekcije iz analitičke geometrije, pri čemu su tri uzajamno normalne ivice zidova jedne sobe veoma dobra materijalizacija jednog takvog skupa trojki, nazivaju se x-osa, y-osa i z-osa. Za dve tačke A(x1, y1, z1) i B(x2, y2, z2), odseqak AB se definiše kao skup tačaka koji korespondira sledećem podskupu trojki š (λx1 + (1 − λ)x2, λy1 + (1 − λ)y2, λz1 + (1 − λ)z2) : λ Є [0, 1] ć. Onda se dužina ovog odsečka, a time i rastojanje tačaka A i B, definiše kao broj Euklidov prostor je prostor čija se svojstva
opisuju aksiomama apsolutne geometrije i Euklidovim postulatom (aksiomom)
o paralelnim pravama. Aksiome podudarnosti omogućavaju da u geometriji prostora definišemo posebnu klasu transformacija koju nazivamo izometrijskim transformacijama. Definicija: Svaku bijekciju I prostora na sebe nazivamo izometrijskom transformacijom ili izometrijom ako je slika svakog para (A,B) tačaka njemu podudaran par tačaka (I(A), I(B)). Iz definicije neposredno sledi da je identičnost izometrijska transformacija budući da za svake dve tačke A,B prostora važi relacija (A,B) ± (A,B). Teorema: Skup svih izometrija predstavlja grupu u odnosu na proizvod transformacija: Dokaz: Neka su I1 i I2 bilo koje dve izometrije prostora i A i B proizvoljne tačke tog prostora. Neka se tačke A i B izometrijom I1 preslikavaju redom u tačke A1 i B1, a tačke A1 i B1 izometrijom I2 redom u tačke A2 i B2. Tada će biti: I2I1(A) = I2(A1) = A2, I2I1(B) = I2(B1) = B2 i (A, B) ± (A1, B1), (A1, B1) ± (A2, B2) pa je i (A, B) ± (A2, B2). Stoga je i kompozicija I2I1 izometrijska transformacija prostora. Iz (A,B) ± (A1,B1) sledi da je i (A1,B1) ± (A,B) jer je relacija podudarnosti parova tačaka simetrična, pa je i inverzna transformacija I1-1 takođe izometrijska transformacija. U narednoj teoremi navodimo uslove pod kojima je izometrija prostora jednoznačno određena: Teorema: Ako su A,B,C,D četiri nekomplanarne
tačke, a A',B',C',D' četiri tačke prostora takve da je (A,B,C,D)
± (A',B',C',D') tada postoji jedinstvena izometrija prostora
u kojoj se tačke A,B,C,D preslikavaju, redom, na A',B',C',D' Teorema : Tačke sa iste strane neke ravni izometrijom
se preslikavaju na tačke sa iste strane slike te ravni, a tačke sa raznih
strana ravni u tačke sa raznih strana slike te ravni. ORIJENTACIJA PROSTORADa bismo opisali sve izometrije prostora neophodno je nejpre upoznati se sa orijentacijom prostora. Kako je prostor određen sa četiri nekomplanarne tačke, orijentaciju prostora možemo posmatrati uz pomoć orijentacije tetraedra koji je određen sa te četiri tačke. Tetraedar A1A2A3A4 čija su temena uređene četvorke tačaka (A1,A2,A3,A4) zvaćemo orijentisanim. Ako je A2=B1, A3=B2, A4=B3, orijentisane tetraedre A1A2A3A4 i B1B2B3B4 zovemo nadovezanim. Lanac orijentisanih tetraedara je konačan niz orijentisanih tetraedara u kome su svaka dva uzastopna člana nadovezana. Početak lanca je njegov prvi član, a kraj poslednji član lanca. Lanac je zatvoren ako su istovetni njegov početak i kraj. Lanac povezuje tetraedre t i t' ako je t njegov početak, a t' njegov kraj. Par nadovezanih orijentisanih tetraedara A1A2A3A4 i A2A3A4A5 zvaćemo preorijentacijom ako su tačke A1 i A5 sa iste strane ravni A2A3A4 Parnost lanca je broj preorijentacja među parovima uzastopnih tetraedara u tome lancu. Orijentisane tetraedre t i t' zovemo istosmernim (pišemo t ® t'), ako je svaki lanac koji ih povezuje paran, u suprotnom ih zovemo suprotnosmernim (pišemo t « t'). KLASIFIKACIJA IZOMETRIJSKIH TRANSFORMACIJA PROSTORAIzvršimo klasifikaciju svih izometrijskih transformacija prostora. Na osnovu teoreme svaka direktna izometrija prostora može se izraziti kao proizvod dveju osnih simetrija prostora Sm i Sn. U zavisnosti od međusobnog položaja osa m i n razlikujemo nekoliko mogućnosti:a) ako
ose m i n pripadaju ravni p, a n i m su ravni koje sadrže i upravne su
na p. 1. Ako su m i n istovetne ravni n i m će biti istovetne pa će kompozicija
SnSm biti identičnost. 4. Ako su m i n mimoilzne prave, tada je na osnovu teoreme 10.2. izometrija I zavojno kretanje prostora. Ako je I neka indirektna izometrija tada postoji tačka P tog prostora koja nije invarijantna u transformaciji I. Neka je I(P) = P' i neka je p medijalna ravan duži PP'. U kompoziciji SpI tačka P je invarijantna, pa kako je ta kompozicija direktna izometrija prostora ona će biti ili identičnost ili osna rotacija. Ako je SpI identičnost, I je ravanska refleksija. Pretpostavimo da je SpI = Rs,w. Prava s ne pripada ravni p, jer bi u suprotnom I bila ravanska refleksija. Obeležimo sa m ravan koja sadrži pravu s, a upravna je na p, a sa n ravan takvu da je Rs,w = SmSn. Tada je I = SpSmSn. Tada je I = SpSmSn = SpSn, gde je p presek međusobno upravnih ravni p i m. Prava p ne pripada n jer bi u suprotnom izometrija I bila refleksija. Obeležimo sa s ravan koja sadrži p i upravna je na n, a sa t ravan koja sadrži p i upravna je na s. Tada je: [ 3. str. 189.] I = SpSn = StSdSn = SdStSn. S obzirom na međusobni položaj ravni n i t upravnih na s razlikujemo sledeće slučajeve: [1 str. 201.] 1. Ako se ravni n i t seku I je po definiciji rotaciona refleksija
prostora Time smo dokazali sledeće tvrđenje: Teorema: Ako nije identičnost, direktna izometrija euklidskog prostora je ili rotacija, ili translacija, ili zavojno kretanje. Ako nije ravanska refleksija, indirektna izometrija euklidskog prostora je ili rotaciona ili klizajuća refleksija. DIREKTNE I INDIREKTNE IZOMETRIJE PROSTORATeorema: Izometrijom prostora se istosmerni tetraedri preslikavaju na istosmerne tetraedre, a suprotnosmerni na suprotnosmerne tetraedre. Dokaz: Neka je I izometrija kojom se tretraedar ABCD preslikava na tetraedar A'B'C'D'. Ako je PQRS proizvoljan tetraedar i P'Q'R'S' njegova slika u izometriji I, a L lanac orijentisanih tetraedara koji povezuje tetraedre ABCD i PQRS, a tada slika svakog od orijentisanih tetraedara toga lanca orijentisani tetraedar, pa je slika toga lanca neki lanac L'. Kako se izometrijom tačke sa iste strane neke ravni slikaju u tačke sa iste strane slike te ravni, a tačke sa raznih strana ravni u tačke sa raznih strana slike te ravni, broj preorijentacija među parovima uzastopnih orijentisanih tetraedara lanaca L i L' će biti isti, pa su ti lanci iste parnosti. Odatle sledi da su tetraedri ABCD i PQRS istosmerni ako i samo ako su njihove slike A'B'C'D' i P'Q'R'S' u izometriji I istosmerni orijentisani tetraedri. Iz ovog tvrđenja neposredno sledi da postoje dve izometrije prostora: direktne izometrije, koje ne menjaju orijentaciju prostora i indirektne izometrije koje je menjaju. Da bi smo ustanovili da li je neka izometrija prostora direktna ili indirektna dovoljno je utvrditi da li dve odgovarajuće četvorke nekomplanarnih tačaka određuju istosmerne ili suprotnosmerne tetraedre. Iz teoreme sledi da je direktna (indirektna) izometrija prostora jednoznačno određena ako su zadata tri para odgovarajućih nekolinearnih tačaka. Specijalno, direktna izometrija koja ima tri invarijantne nekolinearne tačke predstavlja koincidenciju. Kompozicija dveju direktnih ili dveju indirektnih izometrija prostora uvek predstavlja direktnu izometriju tog prostora, dok kompozicija sastavljena iz jedne direktne i jedne indirektne izometrije uvek predstavlja indirektnu izometriju prostora. Sledeće teoreme nam omogućavaju uvođenje pojma orijentacije prostora: Teorema: Za svaka dva orijentisana tetraedra t i t' postoji lanac L koji ih povezuje. Teorema: Zatvoreni lanci su parni. Teorema: Lanci koji imaju zajednički početak i kraj su iste parnosti. Teorema: Relacija istosmernosti orijentisanih tetraedara
je relacija ekvilalencije koja familiju orijentisanih tetraedara razlaže
na dve klase ekvivalencije. RAVANSKA REFLEKSIJA PROSTORATeorema nam kazuje da postoji izometrija prostora koja ostavlja invarijantnim tri nekolinearne tačke, tj. izometrija prostora koja ostavlja invarijantnim sve tačke jedne ravni. Tu izometriju prostora zovemo ravanskom refleksijom. Definicija: Ravanskom refleksijom ili ravanskom simetrijom prostora sa osnovom p zovemo neidentičku izometriju prostora kojoj je svaka tačka ravni p invarijantna. Obeležavamo je sa Sp. Ravan p zovemo osnovom ili ravni refleksije. Važno je napomenuti da ravanska refleksija van ravni p nema invarijantnih tačaka. Neka su A,B,C tri nekolinearne tačke ravni p i neka je X' slika proizvoljne tačke X u ravanskoj refleksiji Sp. Tada je: AX ± AX', BX ± BX', CX ± CX'. Teorema: Ako se ravaskom refleksijom Sp
tačka X preslikava u tačku X' tada je ravan p
medijalna ravan duži XX'. Teorema: Ravanska refleksija prostora je indirektna izometrija. Dokaz: Neka je Sp neka ravanska refleksija
i neka su A,B,C tri nekolinearne tačke ravni p. Sa D' obeležimo tačku
takvu da je D' = Sp(D). Tada je D ¹ D' i p je medijana ravan
duži DD'. Stoga su tačke D i D' sa raznih strana ravni p pa su odgovarajući
tetraedri ABCD i ABCD' suprotosmerni što znači da je ravanska refleksija
Sp indirektna izometrija Teorema: Ravanska refleksija prostora je involuciona transformacija.s Dokaz: Neka je X proizvoljna tačka prostora i neka je Sp neka ravanska refleksija tog prostora. Obeležićemo sa X' i X'' tačke takve da je Sp(X) = X' i Sp(X') = X''. Ako X Î p tada je X = X' i X' = X'', pa je i X = X''. Ako X Ï p tada je X ¹ X' i X' ¹ X'', pa je osnova p ravanske refleksije Sp medijalna ravan svake od duži XX' i X'X''. Tada je X = X''. Ovim smo dokazali da je Sp2 = e (sa e označavamo identičnost), pa je Sp involuciona transformacija prostora. Teorema: Ako indirektna izometrija prostora poseduje dve razne invarijantne tačke tada ona predstavlja ravansku refleksiju i pri tom osnova ravanske refleksije sadrži ove tačke. Dokaz: Neka je indirektna izometrija prostora i neka
su A i B dve proizvoljne tačke tog prostora. Kako je I indirektna,
a e direktna izometrija prostora, biće I ¹ e. Stoga postoji tačka
P takva je da je I(P) = P' i P ¹ P'. Pri tom je (P,A) ¹ (P',
A) i (P,B) ¹ (P', B) i tačke A,B se nalaze u medijalnoj ravni p duži PP'.
Kako su Sp i I indirektne izometrije kompozicija SpI
predstavlja direktnu izometriju prostora koja ostavlja invarijantnim tačke
A,B,P, pa ona predstavlja konicidenciju. Stoga je Teorema: Neka su Sa i Sb dve ravanske refleksije sa raznim osnovama. Tačka X je invarijantna u kompoziciji SaSb ako i samo ako pripada obema osnovama tih refleksija. Dokaz: Ako X pripada osnovama a i b ona će biti invarijantna u svakoj od tih refleksija, dakle i u njihovoj kompoziciji. Obrnuto, neka je SaSb(X) = X i pretpostavimo da je
Sb(X) = Y, pri čemu je X ¹ Y. Tada mora biti Sa(Y) =
X. Odatle sledi da su a i b dve razne medijalne ravni duži XY što je nemoguće,
pa je X = Y. Dokaz: Neka je P proizvoljna tačka ravni p. Kako je I(p) = p' tački P će u izometriji I odgovarati tačka P' = I(P) i P' Î p'. Odatle neposredno sledi da je SpI-1(P') = I-1(P'), pa je ISpI-1(P') = II-1(P') = (P'). Dakle u kompoziciji ISpI-1 svaka tačka ravni p je
invarijantna, pa kako je ta Dokaz:Neka je SbSa = SaSb,
tj. SbSaSb = Sa (1). Ako je a' = Sb(a)
iz prethodne teoreme sledi da je SbSaSb = Sa'.
(2). Iz jednakosti (1) i (2) sledi da je Sa= Sa', pa
je a = a', tj. a = Sb(a). Odatle zaključujemo da su ravni a i
b istovetne ili međusobno upravne. Teorema: Svaka izometrija prostora može se predstaviti kao kompozicija najviše četiri ravanske refleksije prostora. Dokaz: Neka je I proizvoljna izometrija prostora i A,B,C,D četiri nekoplanarne tačke, a A1,B1,C1,D1, redom, slike tih tačaka u izometriji I. Ako je A = A1, B = B1, C = C1, D = D1, I je identičnost pa, ako je p proizvoljna ravan, biće I = SpSp. Pretpostavimo stoga da nisu sve tačke A,B,C,D invarijantne u izometriji I već da se bar jedna od njih, na primer A, tom izometrijom preslikava u tačku koja je od nje različita. Ako je S1 refleksija kojom se A i A1 preslikavaju jedna na drugu, u kompoziciji S1I će tačka A biti invarijantna. Ako su u toj kompoziciji i B,C,D invarijantne tačke, biće I = S1. Pretpostavimo da u izometriji S1I bar jedna od tačaka
B,C,D na primer B, nije invarijantna već da se preslikava na B2, a C i
D redom na C2 i D2, i sa S2 obeležimo refleksiju kojom se B i
B2 preslikavaju jedna na drugu. Tada je pa tačka A pripada osnovi p2 refleksije S2. Stoga su u kompoziciji
S1S2I tačke A i B invarijantne. Ako su invarijantne
i C i D, ta kompozicija je identičnost pa je tada I = S1S2. (A,C) ± (A1,C1) ± (A,C2) ± (A,C3) i (B,C) ± (B1,C1) ± (B2,C2) ± (B,C3), pa tačke A i B pripadaju osnovi p3 refleksije S3. Stoga su tačke
A,B,C invarijantne u kompoziciji S3S2S1I.
Ako je invarijantna i tačka D, ta kompozicija je identičnost pa je tada
Pretpostavimo da u izometriji S3S2S1I
tačka D nije invarijantna već da se preslikava na D4, i sa S4
obeležimo refleksiju kojom se D i D4 preslikavaju jedna na drugu. Tada
je pa tačke A,B,C pripadaju osnovi p4 refleksije S4. Stoga su tačke A,B,C,D invarijantne u kompoziciji S4S3S2S1I. Dakle, ta kompozicija je identičnost pa je tada I = S1S2S3S4. OSNA ROTACIJA I OSNA SIMETRIJA PROSTORADefinicija: Neka su Sa i Sb dve ravanske
refleksije euklidskog prostora kojima se osnove a i b seku duž prave s.
Osnom rotacijom prostora oko prave s za ugao
w, nazivamo transformaciju Rs,w određenu relacijom Rs,w
= SbSa. Pravu s zovemo osom, a ugao w (koji je jednak
dvostrukom uglu koji zahvataju ravni a i b) zovemo uglom osne rotacije
Rs,w. Ako su ravni a i b međusobno upravne takvu rotaciju nazivamo
osnom simetrijom prostora i obeležavamo sa Ss. Teorema: (Dalamberova): Svaka direktna izometrija prostora koja ima najmanje jednu invarijantnu tačku je identičnost ili osna rotacija. Dokaz: Neka direktna izometrija I istavlja
invarijantnom tačku O. Tada postoji tačka X čija je slika, Y = I(X),
od nje različita. Tada postoji medijalna ravan a duži XY. Tačke O i X
će biti invarijantne u kompoziciji SaI, pa je na osnovu
teoreme 4.4, SaI = Sb, tj. I = SaSb,
pri čemu b sadrži tačke O i X. Kako X pripada ravni b, ali ne i ravni
a, te dve ravni su različite i seku se, jer obe sadrže tačku O. Dakle,
I predstvlja osnu rotaciju prostora. Teorema: Osna rotacija Rs,w i ravanska refleksija Sp euklidskog prostora su komutativne transformacije ako i samo ako je prava s upravna na ravni p. Dokaz: Neka je SpRs,w = Rs,wSp. Taka je SpRs,wSp.= Rs,w (1). Neka je Rs,w= SnSm. Ravni n i m se seku duž prave s, pod uglom Ð(m,n) = w/2. Obeležimo sa n' i m' ravni takve da je Sp(m) = m' i Sp(n) = n' seku duž prave s pod uglom Ð(m',n') = w'/2. Primenom teoreme 4.5 nalazimo da je SpRs,wSp = Sp(SnSm)Sp
= (SpSnSp)(SpSmSp)
= Sn'Sm' = Rs',w' (2) Pretpostavimo sada da je prava s upravna na ravni p. Obeležimo sa s' pravu koja je u ravanskoj refleksiji Sp odgovara pravoj s, a sa w' ugao koji u toj refleksiji odgovara uglu w. Tada će prave s i s' biti istovetne, a uglovi w i w' podudarni i istosmerni, pa je Rs,w = Rs',w'. Iz (2) nalazimo da je SpRs,w= (SpRs,wSp)Sp
= Rs',w'Sp+ = Rs,wSp Primer: Dokazati da je kompozicija sastavljena iz tri osne refleksije SpSqSr prostora kojima su ose upravne na nekoj ravni p, predstavlja takođe osnu refleksiju kojoj je osa upravna na ravni p. Rešenje: Neka ravni a, b, g sadrže redom prave p, q, r i međusobno su paralelne i neka su a', b', g' ravni takve da je Sp = SaSa', Sq = SbSb', Sr = SgSg'. Ravni a', b', g' su takođe međusobno paralelne i upravne na svakoj od ravni a, b, g. Ravni a, b, g pripadaju nekom pramenu paralelnih ravni, pa je SgSbSa= Sd, gde jed takođe ravan tog pramena. Slično a', b', g', pripadaju nekom drugom pramenu ravni, pa je Sg'Sb'Sa' = Sd', gde je d' ravan tog pramena, pa je stoga d' upravna na d. Tada je: SrSqSp = (SgSg')(SbSb')(SaSa')
= SgSbSgSb'SaSa'
= ROTACIONA REFLEKSIJA I CENTRALNA SIMETRIJA PROSTORADefinicija: Rotacionom refleksijom prostora
nazivamo kompoziciju triju ravanskih Sp, Sa,
Sb, pri čemu se ravni a i b seku duž neke prave s koja je upravna
na ravni p i obeležavamo je sa Rp;s,w. Dakle, Rp;s,w
= SpSaSb. Ravan p zovemo osnovom,
pravu s osom, a ugao w (koji zahvataju ravni
a i b) uglom rotacione refleksije Rp;s,w.
Ako su ravni a i b međusobno upravne rotacionu refleksiju Rp;s,w
zovemo centralnom simetrijom prostora i obeležavamo
je sa So, gde je O tačka prodora prave s kroz ravan p. Teorema: Svaka indirektna izometrija prostora sa jedinstvenom invarijantnom tačkom je rotaiciona refleksija. Dokaz: Neka je I indirektna izometrija prostora i neka se njome tačka P slika u neku drugu tačku Q. Ako je O jedina invarijantna tačka transformacije I, biće (O,P) ± (O,Q), pa tačka O pripada medijalnoj ravni a duži PQ. Kompozicija SaI je direktna izometrijska transformacija u kojoj su tačke P i Q invarijantne. Po teoremi 6.1. ova izometrija predstavlja ili identičnost ili osnu roraciju Rs,w čija osa s sadrži tačke O i P. Ako bi izometrija SaI bila identičnost I bi bila ravanska refleksija, pa bi pored tačke O posedovala još invarijantnih tačaka. [3, str. 185.] Zbog toga je SaI = Rs,w. Kako tačka O pripada pravoj
s i ravni a, a tačka P samo pravoj s, prava s prodire ravan a u tački
O. Ako je uz to s upravna na a, I će po definiciji biti rotaciona
refleksija. Ako s nije upravna na a obeležimo sa b ravan koja sadrži s
i upravna je na a, a sa g ravan takvu da je Rs,w = SbSg.
Ako je p presečena prava ravni a i b biće Neka je d ravan koja sadrži p i upravna je na g, a q ravan koja sadrži p i upravna je na d. Tada je Sp = SdSq, pa kako su ravni g i q upravne na d i sadrže tačku O biće I = SdSqSg
= SdRd;t,j. Dokaz: Ako je direktna izometrija prostora identičnost, ona se može predstaviti kao kompozicija I = SpSp, gde je p bilo koja prava. Pretpostavimo da I nije identičnost. Tada postoji tačka P i tačka Q takva da je I(P) = Q i P ¹ Q. Neka je a medijalna ravan duži PQ. Kompozicija SaI je indirektna izometrija sa invarijantnom tačkom P, pa je ona po prethodnoj teoremi ravanska ili rotaciona refleksija prostora. Ako je SaI = Sb i ako je p ravan koja je
upravna na a i na b, a p i q presečne prave ravni p sa ravnima a i b tada
je Teorema: Kompozicija triju centralnih simetrija prostora predstavlja takođe centralnu simetriju tog prostora. Dokaz: Neka su date tri centralne simetrije SA, SB, SC prostora. Ako je pri tome A = B ili B = C, tada neposredno sledi da kompozicija SCSBSA predstavlja takođe centralnu simetriju. Neka je A ¹ B ¹ C i neka je p ravan koja sadrži tačke A, B, C i a, b, c prave koje su u tim tačkama upravne na p. Tada je SCSBSA = (SpSc)(SbSp)(SpSa) = Sp(ScSbSa) Kako su prave a, b, i c upravne na p kompozicija ScSbSa
predstavlja osnu simetriju Sd kojoj je osa d upravna na ravni
p (primer 6.1.). Neka je D prodorna tačka prave d na ravni p. Tada je Teorema. (Šal-Hjelmsleva): Središta duži koje spajaju odgovarajuće tačke neke indirektne izometrije prostora pripadaju jednoj ravni. Dokaz: Neka je P tačka prostora koja se indirektnom izometrijom I slika u tačku Q i neka je O središte duži PQ. Kompozicija SoI je direktna izometrija u kojoj je tačka P invarijantna, pa je na osnovu Dalamberove teoreme ona ili identičnost ili osna rotacija Rs,w, pri čemu tačka P pripada pravoj s. Ako je kompozicija SoI identičnost biće I = So, pa dokaz sledi neposredno. Ako nije, obeležimo sa p ravan koja sadrži O i upravna je na s, sa X proizvoljnu tačku prostora različitu od P, a sa Y sliku tačke Y u transformaciji I. Dokažimo da središte S duži XY pripada ravni p. Tada važi, SoI = Rs,w i I(X) = Y. Ako je So(Y) = Z, biće Rs,w(X) = SoI (X) = So(Y) = Z, pa medijalna ravan s duž XZ sadrži pravu s. Prava OS je upravna na s, pa je upravna i na pravoj s koja joj pripada. Odatle sledi tačka S pripada ravni p. Napomenimo još na kraju da se prava koja sadrži centar centralne simetrije slika tom simetrijom u sebe, a prava koja ne sadži centar simetrije u njoj paralenu pravu. Takođe, ravan koja sadrži centar centralne simetrije tom simetrijom se slika u sebe, a ravan koja ne sadži centar simetrije se slika u njoj paralelnu ravan.
preuzmi seminarski rad u wordu » » »
|