|
Hipokrat sa Hiosa
-kvadriranje lunula-
Hipokrit
sa Hiosa svakako je jedan od značajnijih grčkih matematičara
pre Euklida. Pretpostavlja se da je rodjen na
Hiosu oko 470. godine kao I da je živeo do 410. godine pre nove ere. Kako
navodi Heat on je prva osoba za koju je poznato da je sačinila “knjigu
elemenata”. Ona je izgubljena, ali je Simplikije (oko 530.pne) u
svojim komentarima Aristotelove fizike naveo fragment iz Eudemusove “Istorije
geometrije” u kojem se opisuje Hipokratova kvadratura izvesnih “lunula”
ili luna. Ovo je jedan od najdragocenijih izvora za istoriju Grčke matematike
pre Euklida.
Za istoričare i druge koji su o Hipokritu pisali naročito je bila zanimljiva
priča o Hipokratovom boravku u Atini za vreme druge polovine V veka pre
nove ere (možda od 450-430.god. p.n.e.). Naime, nakon sto su ga na jednom
od njegovih trgovačkih putovanja orobili gusari, zatekao se u Atini. Za
vreme tog boravka, družeći se sa filozofima stekao je takav stepen znanja
iz geometrije da je pokušao da pronađe način za kvadriranje kruga.
Pored ovoga njemu se pripisuje još jedno važno otkriće. On je, naime prvi
primetio da se problem dupliranja kocke može svesti na problem nalaženja
dve glavne proporcionale u kontinualnoj proporciji između dve prave linije.
To će kasnije inspirisati Arhitu koji ce nam ponuditi jako interesantna
rešenja problema dupliranja kocke.
Prvi podaci o tome kako se Hipokrat bavio problemom kvadrature kruga
dolaze od Aleksandra iz Afrodizija. On, naime, govori o tome da je Hipokrat
najpre posmatrao jadnakokraki trougao i lunule sastavljene od polukruga
opisanog oko trougla i polukrugova opisanih nad kracima (slika1).
Hipokrat, po navodima Aleksandra, zaključuje da je suma površina ove dve
lunule jadnaka površini trougla. Naime, pod pretpostavkom da je AB
prečnik kruga, D njegov centar, a AC i CB stranice u
isti krug upisanog kvadrata, možemo opisati polukrug AEC nad
stranicom AC kao prečnikom.
(slika 1) |
Kako je AB²=2AC²
i kako su krugovi (a stoga i polukrugovi)
u istom odnosu kao i njihovi prečnici, imaċemo
(polukrug ACB)=2(polukrug AEC)
ali i (polukrug ACB)=2(kružni isečak ADC)
sledi da je (polukrug AEC)=(kružni isečak ADC)
Odavde dobijamo (lunula AECF)=ΔADC. |
On dalje posmatra jednakokraki trapez kojeg čine prečnik kruga, recimo
AB, i tri susedne ivice BD, DC, AC, u taj krug upisanog,
pravilnog šestougla (slika2).
(slika 2) |
Uočavajuci lunule sačinjene od polukrugova nad
stranama šestougla i polukruga opisanog oko
trapeza, on dokazuje da je suma površine
polukruga nad jednom stranom šestougla i
površine tri lunule jednaka površini trapeza. |
Jer, pošto je
AB²=4AC²=AC²+AC²+CD²+DB²
A krugovi su u istom odnosu kao i kvadrati njihovih prečnika, dobijamo
da je
(polukrug ACDB)=4(polukrugAEC)
=(suma polukrugova AEC AEC.CFD,DGB) te je
(trapez ABCD)=(suma tri lunule)+(polukrug AEC)
Zbog toga, zaključuje on, ukoliko bi bilo moguċe kvadrirati tri lunule,
bilo bi moguċe kvadrirati i polukrug, a time i krug. Ovo je bila Hipokratova
ideja vodilja koja ga je usmerila ka izučavanju kvadriranja lunula ograničenih
lukovima krugova.
Nešto podrobnije podatke podatke o tome na koji je način Hipokrat kvadrirao
lunule ograničene lukovima krugova sreċemo kod Simplikija, jednog od poslednjih
neoplatoničara, a inače i najučenjeg i najpouzdanijeg Aristotelovog
“komentatora”. On je, naime, iz čuvene Eudemove “Istorije
geomterije” (334. god. stare ere) verno preneo fragment koji se
bavi baš ovim problemom, ali dodajuċi pritom i izvesna objašnjenja. U
tom fragmentu, izmedju ostalog, ističe i to da je Hipokrat bio prvi koji
je izložio problem kvadriranja lunula. Zahvaljujuċi ovom fragmentu, koji
je u skorije vreme i “očišċen” od Simplikijevih dodataka,
u prilici smo da upoznamo Hipokratovo rešenje.
Hipokrat za osnovni stav uzima onaj koji kaže da su slični odsečci kruga
u istom odnosu kao i kvadrati njihovih osnova. To objašnjava time da su
kvadrati prečnika dva kruga u istom odnosu kao i njihove površine. Kako
primeċuje Waerden, još uvek je otvoreno pitanje da li je Hipokrat ovo
strogo dokazao. Hipokrat takodje ističe da je odnos površina krugova jednak
odnosu površina sličnih odsečaka ako su ti slični odsečci, odsečci koji
čine isti deo kruga. Waerden primecuje da je ovde korišċen isti koncept
proporcionalnosti kao i u Pitagorejskoj teoriji brojeva: četiri veličine
su proporcionalne ako je prva isti deo ili umnožak druge, kao sto je treċa
četvrte.
LUNULA ČIJA JE SPOLJNA GRANICA POLUKRUG
Hipokrat je najpre pokušao da kvadrira lunulu čija je spoljna granica
polukrug. Stoga on najpre posmatra jednakokrako-pravougli trougao i oko
njega opisuje krug. Zatim nad osnovicom konstruiše odsečak sličan onim
koje od opisanog kruga odsecaju katete trougla (slika 3). On
primeċuje da je suma površina odsečaka nad katetame jednaka površini odsečanka
nad osnovicom. Ako, sada, deo trougla koji leži iznad odsečka nad osnovicom
dodamo odsečcima nad katetama dobiċemo lunulu čija je površina jednaka
površini posmatranog trougla.
(slika 3) |
Waerden napominje da se ovakvo kvadriranje slaže sa prvim koje pominje
Aleksandar pri čemu se u oba slučaja govori o lunulama kod kojih je spoljna
granica polukrug, a unutrašnja kružni isečak.
LUNULA ČIJA JE SPOLJNA GRANICA VEĊA OD POLUKRUGA
Baveċi se ovim problamom Hipokrat razmatra i slučaj kada je spoljna
granica lunule veċa od polukruga. On konstruiše trapez čije su tri stranice
jednake medju sobom, dok je kvadrat četvrte stranice, duže od dveju paralelnih,
tri puta veci od kvadrata bilo koje druge . Dalje opisuje krug oko trapeza
i nad veċom stranicom konstruiše odsečak sličan odsečcima koje od kruga
odsecaju ostale stranice (slika 4). Dokazom sličnim kao i u prethodnom
slučaju dobije se da je površina tako dobijene lunule jednaka površini
trapeza. Eudem ne navodi kako teče kvadriranje lunule, veċ to ostavlja
čitaocu.
Da je odsečak o kome je reč veċi od polukruga on dokazuje na sledeċi način:
(slika 4) |
Najpre konstuiše dijagonalu trapeza AD.
Koristeċi stav da je kvadrat stranice trougla
Koja se nalazi naspram tupog ugla veċi od
sume kvadrata druge dve strane,zaključuje da
je AD²>AC²+CD²=2AB²
(jer je u trouglu ADC ugao C tup)
|
Sa druge strane, dobijamo
BD²=2AB²+AB²<AD²+AB² koristeċi da je BD²=3AB²
Sada iz poslednje nejednakosti, koristeċi stav da je ugao naspram stranice
trougla čiji je kvadrat manji od sume kvadrata druge dve stranice - oštar,
Hipokrat zaključuje da je u trouglu ABD ugao kod temena A
oštar. Upoznat sa konceptom “ugla upisanog u segment kruga”,
kao i sa tim da su uglovi upisani u isti luk jednaki, a da manji krug
odgovara manjem luku, Hipokrat ċe zaključiti da je odsečak veċi od polukruga.
LUNULA ČIJA JE SPOLJNA GRANICA MANJA OD POLUKRUGA
Hipokrat se bavio i slučajem kada je spoljna granica lunule manja od
polukruga. On konstruiše najpre krug sa prečnikom AB i centrom
u K i pravu CD koja polovi poluprečnik BK i
normalna je na njega (slika 5). Zatim konstruiše duž EF
čija je tačka E na krugu a tačka F na pravoj CD i koja
leži na pravoj koja prolazi kroz tacku B i čiji je kvadrat 3/2
puta veċi od kvadrata poluprečnika.
(slika 5) |
Kako primeċuje Waerden, Hipokrat ovde primenjuje jednu, kod grčkih matematičara
često korišċenu konstrukciju. Ona predstavlja zapravo konstukciju duži
sa datom dužinom (u ovom slučaju je to duž EF), čije krajnje
tačke leže na zadatoj pravoj ili krivoj (ovde su to prava CD
i krug) i čiji produžetak prolazi kroz zadatu tačku (u ovom slučaju tačku
B). Waerden takođe napominje da nije siguran da li je ovu konstrukciju
Hipokrat izveo šestarom i lenjirima ili je koristio neku posebnu vrstu
lenjira kod koje je duž EF fiksirana i kojeg je moguċe pomerati
i rotirati oko tačke B dok tačke E i F ne budu
na krugu i pravoj CD, ali smatra da je Hipokrat morao unapred
konstruisati duž EF koja je glavna proporcionala poluprečnika
AK i 3/2 AK. Znao je, stoga, da konstruiše glavnu proporcionalu
x između dve date duži а i b, a takođe je znao
i to da je kvadrat x² jednak pravougaoniku ab.
Nastavljajuċi dalje konstrukciju, Hipokrat konstruiše pravu EG
paralelnu pravoj AB i spaja tačku K sa tačkama E
i F. Sa G označava presečnu tačku pravih KF
i EG a zatim spaja i tačku B sa tačkama F i
G. On sada zaključuje da ċe produžetak duži BF proċi
kroz E kao i da je BG=EK. Ako je tako onda je oko trapeza
EKBG moguċe opisati krug.
U unutrašnjosti trapeza sada je moguċe konstruisati kružni odsečak oko
trougla EFG. Dobijena lunula biċe po površini jednaka pravolinijskoj
figuri sačinjenoj od tri trougla (EFK, GFB, KFB). Suma površina
odsečaka nad EF i FG jednaka je sumi površina odsečaka
nad EK, KB i BG (pošto je svaki od prva dva odsečka 3/2 puta
veċi od svakog od preostala tri). Odatle sledi da je površina lunule jednaka
površini te pravilinijske figure.
Hipokrat dalje dokazuje da je spoljna granica ove lunule manja od kruga.
Pošto je EF²=3/2AK² i KB²>2BF² ¹) sledi da je
KE²>2KF² i EF²=3/2EK² a odavde i da je
EF²>EK²+KF²
Odavde na osnovu ranije pominjanog stava dobijamo da je u trouglu EKF
ugao kod temena K tup, pa je i odseċak u koji je upisan manji
od polukruga.
Naravno trebalo je pronaċi i način na koji bi se mogla kvadrirati lunula
zajedno sa krugom. Hipokrat nam nudi interesantno rešenje.
On najpre konstruiše dva kruga sa zajedničkim centrom u K, takva
da je kvadrat prečnika spoljnog šest puta veċi od kvadrata prečnika unutrašnjeg.
U unutrašnji krug upisuje šestougao sa temenima A, B, C, D, E, F
redom. Neka su G, H i I tačke u kojima duži KA,
KB i KC produžene iz centra K dodiruju spoljni krug. Nad
GI Hipokrat konstruiše odsečak sličan odsečku nad stranicom GH
šestougla (slike 6).
(slika 6)
Pošto je GI²=3GH² i GH²=6AB² sledi da je odsečak nad
GI jednak sumi odsečaka nad GH i HI kao i odsečaka
nad stranicama manjeg šestougla. Odavde, zaključuje Hipokrat, površina
trougla GHI mora biti jednaka sumi površina lunule i odsečaka
nad stranicama manjih šestougla. Kada i jednoj i drugoj strani ove jednakosti
dodamo površinu šestougla sledi da je suma površine trougla i šestougla
zajedno jednaka sumi površina lunule i unutrašnjeg kruga.
Trigonometrija nam omoguċava da pronađemo sve tipove Hipokratovih lunula
koje se mogu kvadrirati pomoċu pravih i krugova. Neka, recimo, ACB
bude spoljna a ADB unutrašnja granica jedne takve lunule. Neka
su takodje r, r' poluprečnici, a, O O' centri dva luka
i α,α' polovine uglova zahvaċenih tim lukovima redom (slika
7).
(slika 7) |
Sada je (površina lunule)=(razlika segmenata ACB, ADB)
=(oblast OACB-ΔAOB)-(oblast O'ADB-ΔAO'B)
=r²α-r'²α'+1/2(r'²sin2α'-r²sin2α)
Takođe imamo i da je rsinα=1/2AB=r'sinα'...............................(1)
Pod pretpostavkom da se lunula može kvadrirati imamo najpre da je
r²α=r'²α'
Pretpostavimo da je α=mα'. Dobiċemo da je r'=√m·r
Odavde sledi da je površina lunule jednaka 1/2 r²(msin2α'-sin2mα')
te ostaje da se reši jednacina (1) koja sada postaje sinmα'=√msinα'
Ovaj izraz se svodi na kvadratnu jednačinu gde m uzima vrednosti
2, 3, 3/2, 5, 5/3.
Hipokratove lunule odgovaraju prvim trima vrednostima promenljive m,
ali je i u druga dva slučaja kvadriranje moguċe. Heat napominje da je
Clausen (1840) dao rešenja za poslednja četiri slučaja (jer je tada bilo
poznato samo Hipokratovo prvo rešenje), a postoje podaci da je svih pet
rešenja dato mnogo ranije u delu Martina Johana Walleniusa (1766). Interesantno
je napomenuti i to da je Viète proučavao slucaj kada je m=4 koji
nas naravno vodi do jednačine treċeg stepena.
Zahvaljujuċi sačuvanim fragmentima Eudemove “Istorije geometrije”
mi smo danas u moguċnosti da sagledamo kako su tekle misli drevnih antičkih
matematičara, a među njima i Hipokrata sa Hiosa. Problem kvadrature kruga
jedan je od tri najveċa problema koji su okupirali grčke matematičare
i tek ċe u devetnaestom veku, algebarskom metodom, biti dokazano da se
ovi problemi ne mogu rešiti konstrukcijama pravih i krugova, ali ono što
je kod ovih fragmenata svakako jako interesantno jeste to što svedoče
o velikim saznanjima koja su antički matematičari posedovali. S tim u
vezi analizirajuċi ovaj Hipokritov fragment, može se uočiti da je on nesumnjivo
poznavao izuzetne principe elementarne geometrije koji ċe se sresti kasnije
i u velikim Euklidovim “Elementima” u I, II, III i IV knjizi.
On naime očito poznaje osnovne osobine pravilnog šetougla poput one da
je kvadrat nad dijagonalom tri puta veċi od kvadrata nad stranicom ili
one da je stranica šetougla jednaka poluprecniku.Takođe pokazuje izuzetno
poznavanje odnosa između upisanih uglova i lukova, zatim koncepta sličnosti,
te zna da su površine sličnih figura proporcionalne kvadratima homologih
stranica. On zna da konstruiše pravilan šestougao, da opiše krug oko trougla
i svestan je toga da se krug može opisati oko jednakokrakog trpeza i ne
samo da poznaje Pitagorinu teoremu za pravougli trougao, veċ i njeno uopštenje
za tupougle i oštrougle trougle.
On poseduje izuzetnu demonstrativnu tehniku i kako primeċuje Waerden ima
veoma visoke zahteve za strogošċu u dokazu. Naime, on nije zadovoljan
samo time da konstruiše lunulu i iz crteža zaključi da je spoljna granica
veċa ili manja od polukruga, vec želi da to i strogo dokaže.
Hipokratovi “Elementi” nemaju slavu besprekornih Euklidovih.
Neċe je imati ni Leonovi, Hermotimovi, Eudijevi, ali ono u čemu je njihov
značaj jeste da svedoče o tome da su velika matematička saznanja nastajala
i pre Euklida. Stoga je i ovaj fragment za nas jako dragocen. On ne sadrži
neko izuzetno otkriċe, besprekorno rešenje ili dokaz. Međutim, u njemu
se svakako kriju neke matematičke istine koje su, možda nagnale i velikog
Euklida da ih prikupi i sistematizuje i za vekove unapred utemelji geometriju.
Zbog toga ih pamtimo i o njima i danas pišemo.
LITERATURA:
- T.L.HEATH, A History of Greek Mathematics, vol. I-II, Dover, New
York, 1981.
- B.L.van der WAERDEN, Science Awakening, P.Noordhoff, Groningen,
1954.
- Z.LUČIĆ, Euklidska i hiperbolička geomretrija, Grafitti i Matematički
fakultet, Beograd,1994.
- M.RADOJČIĊ, Opšta matematika, Naučna knjiga, Beograd, 1950.
Linkovi nekih interesantnih web stranica sa ovom tematikom:
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Hippocrates.html
http://plato-dialogues.org/tools/char/hipchios.html
http://jwilson.coe.uga.edu
http://www.maths.uwa.edu.au/~schultz/3M3/L3Hippocrates.html
http://plato-dialogues.org/tools/char/hipchios.html
http://plato-dialogues.org/tools/loc/chios.html
http://scienceworld.wolfram.com/biography/HippocratesofChios.html
http://users.ncia.net/~bobmead/hippoc2.html
http://www.mathpages.com/home/kmath171.html
http://www.geocities.com/vidkid_allison/leonardo/leo_lunkey.html
http://www.988.com/Biographer/Chios.html
http://www.geometry.net/Scientists/Hippocrates_of_Chios.html
PROČITAJ
/ PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:
|
|
preuzmi
seminarski rad u wordu » » »
Besplatni
Seminarski Radovi
|
|