|
Istorija matematike kroz razvoj broja π
Najverovatnije da ni jedan simbol u matematici nije izazvao toliko znatiželje
i čuđenja kao broj π Grcko slovo p koristi se u matematici kao simbol
kojim obelezavamo odnos izmedju obima kruga i njegovog precnika. Ako pogledamo
unazad, kroz vekove, tesko je odrediti granicu od koje počinje pominjanje
ove konstante. Činjenica da je odnos obima kruga i prečnika kruga konstantan
bila je poznata toliko dugo da je to nemoguće pratiti. Medjutim , jedno
je sigurno, toliko angazovanja, truda, enrgije i volje , gotovo da nijedan
matematicki ‘problem’ (izum) nije izmamio iz ljudi. Ovom ‘misterijom’
bavili su se svi veći umovi , ona je učestvovala u izgradnji istorije
matematike, od vremena starih Grka i pre, pa sve do danasnjih dana, kada
je pojava računara bacila u senu mnoge druge matematičke nedoumice.
Priča o broju p pokazala se kao najprofesionalnija, najozbiljnija strana
matematike. Iznenađuje izrazito velik broj potvrdjenih matematickih veličina
koje su direktno ili indirektno povezane sa ovim brojem. Tako je vremenom
p postao deo ljudske kulture i obrazovane moći. Vreme o kome govorimo
meri se sa preko 25 000 godina.
Ako pokušamo da pratimo izračunavanje ovog broja kroz vreme, ustvari ćemo
se baviti istorijom matematike.On će nas provesti kroz geometriju,
analizu, numeričku analizu, algebru i teoriju brojeva.
Vekovima su matematičari pokušavali da tačno , do poslednje
decimale, izračunaju broj p. Sada znamo da taj broj ne moze ‘tačno’
da se izračuna i to ne zbog nemogućnosti današnjih računara već zbog posebne
osobine ovog broja. Ali ipak ‘trka za njegovim decimalama’
se nastavlja, čak iako je poznato da sa relativno malo decimala mozemo
izračunati obime gigantskih krugova, npr. poluprečnika udaljenost Zemlja-Sunce.I
pored novih saznanja o ovom broju, koja su razotkrila sve njegove tajne,
senka zaborava nije ga prekrila. Dakle, p jos uvek pleni svojom snagom
i kao da prkosi ljudima i vremenu.
BROJ π KROZ VEKOVE
“I sali more, deset lakata od jedne ivice do druge: to je bilo sa svih strana oko njega, i njegova visina je bila pet lakata: a unaokolo mu bjese 30 lakata.”(I Car 7. 23)
Ovo su manje poznati stihovi, citirani iz Biblije, na osnovu kojih jasno
možemo videti da se za vrednost p uzima broj 3. Na listi detaljnih opisa
velikog hrama Solomona, izgrađenog oko 950 godine pre nove ere takođe
se pojavljuje p=3. To naravno nije sasvim tačna vrednost i nije čak ni
mnogo tačna za vreme u kom je zapisana, jer su u to vreme Egipćani
i Mesopotamci vec znali da p ima vrednost od 25/8=3.125 i Ö10= 3.162
. Doduše u odbranu Solomonovim zanatlijama treba primetiti da su pojedini
predmeti, koji su opisani, bili takvog oblika da veliki stepen geometrijske
preciznosti nije bio moguć, niti neophodan.
Najranije vrednosti p, ukljućujući “biblijsku” vrednost 3, su skoro sigurno dobijene putem merenja. U Egipatu, u kome su potrebe navodnjavanja i organizovane poljoprivredne proizvodnje bili najveći podsticaj za razvoj matematike, iz sačuvanih papirusa saznajemo da su imali razvijene sisteme za računanja i odgovarajuću simboliku i da su vesto baratali sa razlomcima.
Najpoznatiji sacuvani papirus takozvani Rhind papyrus, odnosno ‘Rindov papirus’ (prikazan na fotografiji), koji potiče iz otprilike 1650 godine pre nove ere, pokazuje da su Egipćani prilikom računanja površina i zapremina oblih figura koristili za broj p aproksimaciju 4(8/9)2=3.16.
Pisao ga je pisar Ahmes ali on nije bio i autor ovog matematičkog spisa . Ahmes je napisao: “ Oduzmite 1/9 prečnika a nad ostatkom konstruišite kvadrat, on će imati istu površinu kao krug.”
U Ahmesovom papirusu za p je izračunata približna vrednost sa greškom na drugoj decimali:
≈ 3.1605
Ahmes je za sobom ostavio svitak dug oko 5 metara
koji predstavlja najstariju matematičku raspravu pronađenu do danas.
Ovaj spis preuzima stariji papirus pisan oko 2000. godine pne.
Papirus je otkriven u 19. veku u hramu u kom je sahranjen Ramzes
Staroindijsko delo “Salvasutri” izlaže matematička pravila do kojih se došlo u to vreme. Tu se nalaze neke interesantne aproksimacije pomoću osnovnih razlomaka, kao što je( u našoj simbolici):
p=4*(1- 1/8+1/(8*29)–1/(8*29*6)+1/(8*29*6**))2=18*93-2*Ö2)=3,0888
Pomenimo
rezultate koje su dobili matematičari iz Indije. Baudhajana je uzeo 49/16
kao vrednost p, a Ariabhata (oko 530 godine) 62832/20000 što je jednako
3.1416. On je pokazao da ako je a strana pravilnog poligona od n strana
upisanog u krug jediničnog precnika, i b strana pravilnog poligona od
2n strana upisanog u isti krug, tada je b2=1/2-(1/2)*(1-a2) ½. Polazeći
od strane upisanog pravilnog sestougaonika, on je našao strane poligona
od 12, 24, 48, 96, 192 i 384 strane. Obim poslednjeg je Ö9.8694, odakle
je dobijena navedena aproksimacija. Brahmagupta je dao Ö10, što je jednako
3,162277… Do te vrednosti je došao upisujući i opisujući u krug precnika
1 pravilne poligone koji imaju 12, 24, 48 i 96 stranica i zakljucio je
da kako bi se broj stranica povećavao tako bi se obim priblizavao Ö10.
Euclid of Alexandria (rođen je oko 325 godine pre nove ere, a umro je oko 265 godine p. n.e. u Aleksandriji, Egipat), čuveni osnivač Aleksandrijske škole, govorio je za krug da je to linija, t.j. “dužina bez širine”. On u svom XII dokazu ukazuje na postojanje broja p, odnosno kaze:
“Odnos kuržnog obima i kuržnog prečnika isti je kod svih krugova.”
Mi pretpostavljamo da je on znao da je p veće od 3 i manje od 4 ali to nije eksplicitno naveo.
Prve teoretske kalkulacije po svoj prilici napravio je Arhimed sa Sirakuze (287-212 pre n.e.). On je dobio priblizno da je
223/71 < p < 22/7 .
Ako
uzmemo aritmrticku sredinu njegovih dveju granica dobićemo 3.1418, dakle
grešku od 0.0002.
Pre nego iznesemo kako je Arhimed došao do
svog računa, primetićemo da je starim Grcima bilo poznato da se povećavajući
broj stranica upisanih i opisanih mnogouglova u i oko datog kruga i izračunavanjem
njihovih obima dobijamo vrednosti koje se ‘priblizavaju’ vrednosti
obima kruga sa donje, odnosno gornje strane. Arhimed je još znao, ono
što mnogi ljudi iz tog vremena nisu, da p nije jednako 22/7, i nije imao
dileme da treba otkriti pravu vrednost.
Ovako je glasio Arhimedov argument (dokaz):
Posmatrajmo krug poluprecnika 1, u koji ćemo upisati pravilan poligon sa 3*2n-1 stranica, sa poluobimom bn , i opisani poligon sa 3*2n-1 stranica, sa poluobimom an. Slučaj kad je n=2 nalazi se na fotografiji sa desne strane. Efekat ove procedure je bio formiranje jednog rastućeg niza
b1, b2, b3, ...
i jednog opadajućeg
a1, a2, a3, ...
s tim što je za oba niza granica(limes) p.
Koristeći trigonometrijsku notaciju, mozemo videti da su nam poluobimi dati sa
an = K tg(p/K), bn = K sin(p/K),
gde je K = 3 *2n-1. Isto tako, imamo da je
an+1 = 2K tg(p/2K), bn+1 = 2K sin(p/2K),
i uz vrlo jednostavan trigonometrijski račun mozemo pokazati da je:
- .
. . (1/an + 1/bn) = 2/an+1
- .
. . an+1bn = (bn+1)2.
Arhimed je počeo od
a1 = 3 tan(p/3) = 33 i
b1 = 3 sin(p/3) = 33/2,
računao je a2 koristeći (1), onda b2 koristeći (2), zatim a3 koristeći (1), potom b3 koristeći (2), i tako sve dok nije izračunao a6 i b6. Njegov zakljucak je bio b6 < p< a6.
Veoma je vazno naglasiti da je korisćenje trigonometrije ovde vrlo neistorijski, naime Arhimed nije imao pomoć algebarskih i trigonometrijskih notacija i morao je da izvede (1) i (2) čistim geometrijskim sredstvima. Osim toga on čak nije imao pomoć ni od danasnje notacije putem decimalnih brojeva, tako da računanje a6 i b6 iz (1) i (2) bio je, bez sumnje, totalno netrivijalan zadatak. Dakle, bilo je poprilično izvanredan podvig i za divljenje je, mašta uma koji je sproveo ovaj račun i uopste nije za čudjenje da se on zaustavio na poligonu sa 96 stranica, već se treba zapitati kako je dospeo tako daleko. Prema njegovoj želji na nadgrobnoj ploči su mu urezana dva geometrijska tela lopta i valjak.
Arhimed je zaslužan za prve dve decimale broja pi koje, verovatno, svi znaju:
π≈ 3,14
Primetićemo kako se zaraza zvana p , protezala od Evrope do Azije kroz milenijume.U Kini , pisac sačuvanih komentara “9 knjiga” Liu Hui našao je pomoću upisanih i opisanih mnogouglova da je
3.141024
< p < 3.142704
Dva veka kasnije taj račun je popravio Tsu Ch’ung Chi( rodjen je 430 godine, a umro je 501 godine). Bio je kineski matematičar i astronom. On je dao racionalnu aproksimaciju 355/113 za p koja je tačna do 6 decimalnih mesta. Ovaj razlomak je vrlo zgodan za pamcžćenje: dovoljno je napisati po dva puta prva tri neparna broja 1, 1, 3, 3, 5, 5 zatim uzeti poslednja tri za brojiilac i prva tri za imenilac. On je takodje dokazao
3.1415926<p<3.1415927
Fantastičan rezultat za koji bi bilo lepo da imamo više detalja ali Tsu Ch’ung Chi-eva knjiga, koju je napisao njegov sin, je izgubljena. Nije lako poverovati da je do tog rezultata došao crtanjem dijagrama u krupnoj razmeri. Na osnovu Tsu Ch’ung Chi-eva razlomka zasnovana
A je sledeca geometrijska konstrukcija:
1/8 Nacrtajmo četvrtinu kruga
B jediničnog poluprečnika i na duži D 1/2 AC postavimo tačku B tako da je
7/8 AB=1/8, BC=7/8. Iz tacke D na
duži BG izabrane tako da je
C E F G DG=1/2 spustimo normalu DE
Sl.Geometrijska konstrukcija na CG i konstruisemo duz BE.
broja p na 6 decimala
Na kraju povucimo duž DF paralelno sa BE. Može se pokazati da je FG=16/113, ili 0,1415929… Kako je 335/113= 3+ 16/113 , ako na trostruku vrednost poluprečnika kruga dodamo duž FG dobićemo duž čija se dužina razlikuje od p za manje od milionitog dela.
Claudius
Ptolemy rođen je oko 85 godine u Egiptu, a umro je oko 165
godine u Aleksandriji, Egipat. Između ostalih svojih brilijantnih izuma,
dobio je, koristeci tetivu kruga i opisani 360-ugao, pribliznu vrednost
za p
p= 308’30’’=3+8/60+30/3600=3 17/120 = 3.14167
Ovu vrednost objavio je u svom “Velikom zborniku”, jednom od najvećih dela rimskog aleksandrijskog perioda, koji je još poznatiji pod arapiziranim nazivom “Almagest”.
AbuJa'far
Muhammadibn MusaAl-Khwarizmi,
rodđen je oko 780 godine u Bag dadu(danasnji Irak), a umro je oko 850.
Ostace zapamćen po tome sto je slučajno dao svoje ime algoritmu, dok je
reč ‘aljabar’ koja se
javlja kao naslov jedne njegove knjige preteča danasnje reci ‘algebra’.
U ‘algebri’ ovog starog arapskog matematičara o izračunavanju
obima kruga čitamo ove redove: “Najbolji način je da se prečnik
pomnoži sa 3 1/7. To je najbrži i najlakši nacin. Alah zna za bolje.”
Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi je rođen
oko 1380 u Kasanu, Iran, a umro je 22 juna 1429 u Samarkandu, (današnji
Uzbekistan).U julu 1424 godine on je objavio “Raspravu o obimu kruga”,
rad u kome je izračunao 2p do devet decimala u sistemu brojeva čija je
osnova 60 (sistemu koji su za zapis brojeva koristili stari Vavilonci,
a koji je i do danas opstao u upotrebi pri izražavanju vremena i merenju
uglova). Ako njegov račun prevedemo na današnji dekadni sistem zapisa
brojeva vidimo da je vrednost p bila izrazena sa 16 decimalnih mesta.To
je bilo dostignuće daleko ispred svega što je do tad postignuto, čak i
u usporedbi sa antičkim Grcima
(Arhimed) ili u odnosu na Kineze (Tsu Ch’ung
Chi). Takođe važno je napomenuti da je tek nakon 200 godina Ludolph van
Ceulen uspeo da nadvisi al-Kashi-a brizljivim računom sa 20 decimala.
François Viète, rođen je 1540 u današnjem Vendeu,
Francuska, a umro je 13 decembra 1603 u Parizu. Iako nikad nije bio profesionalni
matematicar, on je ipak ‘očitao lekciju ‘ matematčarima. Tako
se, tokom 1592 godine on bavio problemima tadašnjih tvrdnji da se može
izvršiti kvadratura kruga, podela ugla na tri dela i konstrukcija kocke
duplo veće zapremine u odnosu na datu, korišćenjem samo lenjira i šestara.
Rec je o tri klasicna matematička ‘problema’ kojima su se
ljudi bavili vekovima. Za nas je zanimljiv problem kvadrature kruge, koji
se ne moze resiti samo jednim lenjirom i šestarom, premda je zaista teško
pokazati da treće ne postoji i nemogućnost je konacno dokazana tek 1882
godine. Viète je pokazao da su ‘dokazi’ koji su objavljeni
ranije u toku te godine bili pogrešni. Nakon ovoga on objavljuje knjigu
“Supplementum geometriae” (1593), u kojoj
se bavi opisom ova tri klasicna matematicka ‘problema’, ali
i pokazuje konstrukciju tangente u svakoj tacki Arhimedove spirale. Takođe,
u ovoj knjizi, on je izračunao p do 10 decimale koristeći poligon sa 6*216
= 393216 stranica. On je takođe predstavio p u vidu beskonačnog proizvoda,to
je, kako je danas poznato, najranije predstavljanje broja p kao beskonacčog.
Izrazen u našoj simbolici ovaj proizvod izgleda ovako:
2/p=cos(p/4)*cos(p/8)*cos(p/16)*cos(p/32)
Adriaan van Roomen, rodjen je 29 septembra
1561 u Louvainu, Belgija, a umro je 4 maja 1651 u Mainzu, Nemačka. Jedan
od njegovih najinpresivnijih rezultata bio je izračunavanje broja p sa
16 decimalnih mesta. On je to uradio 1593 godine koristeći 230 -stranicni
poligon. Roomen-ovo interesovanje za p bilo je direktna posledica njegovog
prijateljstva sa Ludolph van Ceulen-om.
Ludolph van Ceulen rođen je 28 januara 1540
godine u Hildsheimu, Nemačka, a umro je 31 decembra 1610 u Lejdenu, Holandija.
Postao je slavan zbog njegovog izračunavanja broja p sa 35 decimalnih
mesta, do koga je došao koristeći poligon sa 262 stranica. Proveo je veći
deo svog života ra.unajući p i zato ne čudi istorijski podatak da je 35
decimala broja p ugravirano na njegovoj nadgrobnoj ploči u crkvi St. Peter’s
Church u Lajdenu. Poznato je da je u Nemackoj broj p dugo zvan Ludolfov
broj, upravo njemu u čast.
Evropska renesansa dovodi do novog pogleda na ceo novi matematiči svet. Kao jedan od prvih efekata ovog ponovnog buđnja jeste svakako pojavljivanje matematicke formule za p. Jedna od najranijih bila je Wallis-ova formula, kojom je on utvrdio da se broj p moze približno predstaviti pomoću beskrajnog proizvoda
2/p = (1*3*3*5*5*7*. ...)/(2*2*4*4*6*6* ...)
John
Wallis je rođen23 novembra 1616 godine u Ashordu,Kent u
Engleskoj, a umro je 28 oktobra 1703 u Oksfordu. U svojoj knjizi“Aritmetika
beskonacnih veličina (Arithmetica infinitorum) (1656)
između ostalog objavio gore pomenutu formulu za broj p. Ovaj profesor
geometrije na Oksfordu u svojoj knjizi počinje da primenjuje umesto antičke
geometrije, “novu” antimetiku (algebru). Wallis je bio prvi
matematičar kome je uspelo da algebra preraste u analizu Otkrio metod
računanja vrednosti p pronalazeći površinu kvadranta kruga.Neka svedočenja
govore da je sličan metod korišćen u Japanu krajem 17 veka.Kvadrant kao
deo kruga ima površinu od p/4. Nalazeći tu površinu , može se doći do
vrednosti p.
Na slici je obojena sivom bojom oblast na kojoj je Wallis radio
U modernom matematičkom izražavanju, ono na čemu je Wallis radio bi izgledalo ovako:
Dakle, Wallis je korišćenjem indukcije i interpolacije došao do onoga što je poznato pod nazivom: Wallisova formula . Wallisova formula je neobična po tome što je prva predstavila p kao beskonačan broj, a pri tom ne koristivši iracionalne brojeve, kao kvadrtni koren.
Jedna od najpoznatijih formula za broj p takođe je deo evropske renesanse,a glasi
(*)….p/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ....
Ova
formula se često pripisuje Leibniz-u, mada je neki pripisuju
i škotskom matematičaru James Gregory.
Gottfried Wilhelm von Leibniz rođen je 1 jula 1646 u Lajpcigu,Nemacka, a umro je 14 novembra 1716 u Hanoveru,Nemačka. Njegovi engleski prijatelji, pričali su mu o Merkatorovoj kvadraturi hiperbole- jedan od ključeva koji je poslužio Njutnu pri pronalasku diferencijalnog računa. Na temelju toga Leibniz je pronašao metodu beskonačnih redova, koju je razvio.Jedan od njegovih pronalazaka je ,kao što smo već napomenuli i formula (*). Ova formula nije praktičan način izračunavanja vrednosti p (3,1415926…) , ali je upadljiva jednostavna veza izmedju p i svih neparnih brojeva.
James
Gregory rođen je novembra 1638 u Aberdenu, Škotska, a umro
je oktobra 1675 u Edinburgu,Škotska.Radio je kao bibliotekar u Univerzitetskoj
biblioteci.U svom radu” Geometrijski radovi “ukazao je na
činjenicu “šta možemo izračunati.”Na taj način je uveo nizove
u izračunavanje broja π. Njegov niz za arc tg x,
j= tgj-(1/3)*tg3j+(1/5)*tg5j otkriven 1671 godine,daje za x=1
p/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ....
Obe ove formule , Wallis-ova i nazovimo je Leibniz – Gregory-va, dramatično su i zadivljujuce otkriće, posto su s jedne strane kompletno aritmetičke u svom karakteru, dok je poznato da p potiče iz geometrije. One pokazuju iznenađujući rezultat koji beskonačan proces moze da dostigne i deo su puta koji vodi do bogastava i izobilja moderne matematike.
Sa tačke gledišta računanja vrednosti p, uzgred, nema nikakve koristi od ovih formula. U Gregory -vim nizovima , na primer, da bismo dobili četiri decimalna mesta, tačno izračunata, potrebna nam je greška manja od 0.00005=1/20000, a to znači da nam je potrebno 10000 članova niza. Uzgred, Gregory je pokazao uopšteniji rezultat
(3) . . . tg-1 x = x - x3/3 + x5/5 - ... (-1< x < 1)
u kome se prvi niz dobija kao rezultat, ako stavimo x=1. Tako koristeći činjenicu da je
tg-1(1/Ö3) = p/6, dobijamo
p/6 = (1/Ö3)(1 - 1/(3*3) + 1/(5*3*3) - 1/(7*3*3*3) + ...
niz koji konvergira mnogo brže. Deseti član je 1/(19*39Ö3), koji je manji od 0.00005, i tako mi imamo najmanje 4 decimalna mesta korektno izračunata nakon samo 9 članova niza.
Jos bolja ideja je koristiti formulu
(4) . . . p/4 = tg-1(1/2) + tg-1(1/3)
i onda računati dva niza koji se dobijaju ako u (3) x zamenimo u prvom slučaju sa 1/2 i u drugom slučaju sa 1/3. Uskoro uviđamo vrlo brzu konvergenciju, ustvari mi mozemo postaviti formulu koja bi glasila otprilike ovako
p/4 = tg-1(1/a) + tg-1(1/b)
za a i b veliko. Godine 1706 Masin je pronašao formulu:
(5) . . .p /4 = 4 tg-1(1/5) - tg-1(1/239)
U stvari ova formula i nije tako teška za dokazivanje , ako poznajete dokaz formule (4) onda ovde nema nekih većih poteškoca oko (5). Smisliti to je svakako sasvim druga stvar.
Sa ovakvom formulom ostaje još samo jedna poteškoca u izračunavanju p , a to je savršeno dosadan proces računanja. Potrebno je reći, da je par ljudi bilo dovoljno lucidno da odvoje beskrajno mnogo vremena i priušte ovaj dosadan i u potpunosti beskoristan račun. Jedan od njih, englez William Shanks,(rodjen 25 januara 1812 godine u Northumberland-u u Engleskoj, umro je 1882 godine u Durhamu, Engleska) koristio je Mašinovu formulu da izračuna p do 707 decimalnog mesta, i objavio je rezultate svog mnogogodisnjeg rada 1813 godine. Shanks je dostigao besmrtnost zbog veoma čudnog razloga koji ćemo sada objasniti.
1873: Shanks izračunava 707 mesta od kojih je 527 tačno
Shanks je znao da je p iracionalan broj posto je to dokazao 1761 Lambert. Ubrzo nakon Shanks-ovog računa pokazano je od strane Lindemann-a da p je transcedentalan , odnosno, p nije rešenje nijedne polinomske jednakosti sa celim koeficijentima.
Georg Freiherr von Vega rođen je 23 marta 1754 u Zagorici, kraj Ljubljane (Slovenija), a umro je 26 septembra 1802 u Beču (Austrija). On je izračunao p do 136 decimale. Svoj rad objavljuje 1789 godine. Ostaće zapamćeno u istoriji matematike da se taj rekord održao 50 godina.
Carl
Louis Ferdinand von Lindemann rođen je 12 aprila 1852 u Hanoveru,
današnja Nemačka, a umro je 6 marta 1939 u Minhenu, Nemačka. Njegovi glavni
radovi bili su iz oblasti analize i geometrije. Svoju slavu postigao je
dokazom da je p transcedentalan. Ustvari ovaj rezultat do kog je došao
Lindemann pokazao je da “kvadratura kruga”, klasični matematicki
problem postavljen još za vreme anticke Grčke, nije moguća. Problem kvadrature
kruga, jedan od tri klasična problema grčke matematike, vekovima je privlačio
interesovanje mnogobrojnih ‘matematičara’.Čak je broj (netačnih)
dokaza kvadrature kruga postao toliko veliki da je 1775 Pariska Akademija
smatrala da je neophodno doneti rezoluciju po kojoj neće pregledati više
nijedno resenje. Lindemann, svoj rad objavljuje u časopisu “Über
die Zahl p” (1882).
Vrlo brzo posle Shanks-ovog računa čudna statistička zanimljivost primećena je od strane De Morgan, koji je pronašao da u poslednjim od tih 707 decimala postoji čudan nedostatak sedmica. On je to pomenuo u svojoj knjizi “Skup paradoksa” 1872 godine i radoznala javnost je na nju podsećana do 1945 godine kada je Ferguson otkrio da je Shanks napravio grešku na 528 mestu, nakon čega su sve njegove decimale bile pogrešne. 1949 upotrebljen je kompjuter da izračuna p do 2000 mesta. U ovom i svim kasnijim kompjuterskim računanjima broj sedam ne razlikuje se mnogo od očekivanog, i zaista doslednost decimala je do sad prošla sve statisticke testove slucajnosti.
Treba da kažemo nešto i o poreklu zapisa p . Oughtred je 1647 koristio
simbol d/p za odnos prečnika kruga i obima kruga. Gregory David (1697)
je koristio p/r za odnos obima kruga i njegovog prečnika. Prvi koji je
koristio p sa njegovim sadašnjim značenjem bio je Velški matematičar William
Jones (rođen 1675,Vels, a umro je 3 jula 1749 u Londonu) 1706,kada je
on koristio 3.14159 …=p. Euler(15 aprila 1707, Basel, Švajcarska-18 septembra
1783 Sankt Petesburg, Rusija) je prihvatio ovaj simbol 1737 i ubrzo to
je postao standardni način zapisa.
A zašto baš π ?
Zato što je to početno slovo grčke reči περιφέρεια
što znači obod, a matematički obim (dužina) kružne linije .
Hronološki prikaz računanja broja π
|
matematičar |
datum |
dec.
mesta |
komentar |
1 |
Rhind papyrus |
2000 p.n.e. |
1 |
3.16045 (= 4(8/9)2) |
2 |
Archimedes |
250 p.n.e. |
3 |
3.1418 |
3 |
Vitruvius |
20 p.n.e. |
1 |
3.125 (= 25/8) |
4 |
Chang Hong |
130 |
1 |
3.1622 (= 10) |
5 |
Ptolemy |
150 |
3 |
3.14166 |
6 |
Wang Fan |
250 |
1 |
3.155555 (=142/45) |
7 |
Liu Hui |
263 |
5 |
3.14159 |
8, |
Tsu Ch'ung Chi |
480 |
7 |
3.141592920 (= 355/113) |
9 |
Aryabhata |
499 |
4 |
3.1416 (=62832/2000) |
10 |
Brahmagupta |
640 |
1 |
3.1622 (= 10) |
11 |
Al-Khwarizmi |
800 |
4 |
3.1416 |
12 |
Fibonacci |
1220 |
3 |
3.141818 |
13 |
Madhava |
1400 |
11 |
3.14159265359 |
14 |
Al-Kashi |
1430 |
14 |
3.14159265358979 |
15 |
Otho |
1573 |
6 |
3.1415929 |
16 |
Viète |
1593 |
9 |
3.1415926536 |
17 |
Romanus |
1593 |
15 |
3.141592653589793 |
18 |
Van Ceulen |
1596 |
20 |
3.14159265358979323846 |
19 |
Van Ceulen |
1596 |
35 |
3.1415926535897932384626433832795029 |
20 |
Newton |
1665 |
16 |
3.1415926535897932 |
21 |
Sharp |
1699 |
71 |
|
22 |
Seki Kowa |
1700 |
10 |
|
23 |
Kamata |
1730 |
25 |
|
24 |
Machin |
1706 |
100 |
|
25 |
De Lagny |
1719 |
127 |
samo 112 tačno |
26 |
Takebe |
1723 |
41 |
|
27 |
Matsunaga |
1739 |
50 |
|
28 |
von Vega |
1794 |
140 |
samo 136 tačno |
29 |
Rutherford |
1824 |
208 |
samo 152 tačno |
30 |
Strassnitzky, Dase |
1844 |
200 |
|
31 |
Clausen |
1847 |
248 |
|
32 |
Lehmann |
1853 |
261 |
|
33 |
Rutherford |
1853 |
440 |
|
34 |
Shanks |
1874 |
707 |
samo 527 tačno |
35 |
Ferguson |
1946 |
620 |
|
|
BUFFON-OV EKSPERIMENT I DRUGE ZANIMLJIVOSTI
VEZANE ZA BROJ π
Upoznaćemo
se sa jednom zanimljivom statističkom neobicnosću o računanju broja p,
koja se zove Buffon-ov eksperiment sa ‘iglama’. Georges Louis
Leclerc Comte de Buffon (rodjen je 7 septembra , umro je 16 aprila 1788
u Parizu, Francuska) , direktor Pariskog kraljevskog vrta, ostaće dakle
upamćen po svom eksperimentu . Legenda kaze da je on prvo bacao parčiće
francuskog hleba sa svog ramena na popločani pod i brojao je broj slučajeva
kada bi parče palo na liniju između ploča. Kasnije nastaje eksperiment,
tzv. problem igle, za koji su se mnogi interesovali, pošto je pružao mogućnost
da se eksperimentalno odredi vrednost broja p na taj način sto se igla
baca na ravan koja je pokrivena paralelnim i podjednako udaljenim pravama,
brojeći koliko puta igla padne tako da seče neku od tih pravih.
Iscrtajmo na podu sobe niz paralelnih duzi tako da međusobno rastojanje tih duži bude jednako dužine igle.Ne pomerajući se izvodimo nasumično ispuštanje igle na pod.Odnos broja igala koje ne seku paralelne duži i one koje seku paralelne duzi je π/2.
Na slici je dato kako izgleda to nasumično bacanje igle
Verovatnoća da ce igla duzine k<a, gde je a rastojanje između dve paralelne prave, pasti tako da seče neku od pravih je 2k/pa. Da bismo rešili ovaj problem , koji pripada oblasti geometrijske verovatnoće, poslužićemo se slikom (a). Neka je C središte igle. Označimo sa x rastojanje tačke C do najbliže prave i sa a ugao koji igla zaklapa sa familijom paralelnih pravih. Tacka (a,x) može se nalaziti u pravougaoniku
D={(a,x)| 0< a <p Ù 0< x< a/2}
Da bi igla sekla jednu od pravih, tačaka (a,x) mora se nalaziti u oblasti
D1= {(a,x)| 0<x<(k/2)*sin a Ù 0<a<p}
Trazena verovatnoća p jednaka je količniku površina oblasti D1 i D (kao sto slika (b) pokazuje). Ove površine su jednake SD=ap/2 i
SD1= 0òp (k/2)*sin a da= (K/2)*cos a/0p=k
Te je p= SD1/ SD= 2k/pa.
Ako se eksperiment ponovi všse stotina puta, odnos povoljnih ishoda m (t.j. preseka igle i prave) i ukupnog broja eksperimenata n daje vrednost koja je priblizno jednaka gornjem razlomku, t.j. 2k/pa@m/n. Odavde je p@(n/m)*(2k/a).
Buffon tvrdi da se na taj način, bez ikakvih predstava o geometriji, pa cak i o krugu, moze odrediti broj p ako se bacanje igle strpljivo ponavlja mnogo puta. Ovaj eksperiment izazvao je mnogobrojne diskusije među matematičarima koje su pomogle u razumevanju verovatnoće.
Jedan broj matematičara je pokušao da izračuna p bacajuci ‘igle’. Godine 1850 Volf je izvšsio 5000 bacanja i dobio vrednost 3.1596, Smit (1855) je našao 3.1553 (3204 eksperimenta), Foks(1894) je dobio 3.1419 (1120 eksperimenata). Najspektakularniji rezultat dobio je Lazzerini (1901), kada je bacio 34080 i dobio da je
p=355/113 = 3.1415929
što se sasvim slucajno poklapa sa vrednosću koju je pronasao Tsu Cung Ci. Ovaj rezultat je sumnjivo dobar, i igra je prekinuta kod neobičnog broja bacanja. Povodom ovog poslednjeg rezultata A.N.Zajdel je u popularnom časopisu Sovjetske Akademije nauka “Kvant” (br. 5, 1983) napisao članak pod naslovom “Obmanailizabluda” u kome je izrazio sumnju u Lazzerini-ev rezultat. Naime, zbog neizbežnih grešaka pri merenju dužina a i d (makar to bio i hiljaditi deo milimetra), neidealnosti površine na koju se baca igla, raznih uticaja okoline, i nemogućnosti da se u potpunosti očuva isti kompleks uslova u toku čitavog ogleda, veoma je teško očekivati grešku manju od 0.001. U ovom radu Zajdel je pokazao da je greška pri eksperimentalnom određivanju broja p srazmerna reciprocnoj vrednosti korena iz broja eksperimenata. Prema ovom “zakonu 1/Ön”, da bi dobio vrednost broja p navedenu gore, Lazzerini bi morao da vrši eksperimente citavih 4 000 000 godina!
Kendall i Moran komentarisali su da se dobar rezultat postiže ako se zaustavi eksperiment u odgovarajućem momentu. Ali ako se unapred odredi broj bacanja, onda to nije nimalo podesan način izracuvanja broja p. Kendall i Moran komentarisali su da bi bilo bolje da odsečemo veliki krug od drveta i uzmemo metar da bismo pronašli obim kruga i njegov prečnik.
Još
vise nameštajući eksperiment , Gridgeman, u članku kojim se ismevao Lazzerini-u
i ostalima, našalio se koristćci igle brižljivo birane duzine k=0.7857
(a=1), bacajući ih dvaput, i pogadjajući liniju jedanput. Njegova procena
rezultata za p bila je na taj način data sa
2 x 0.7857 /p = 1/2
odakle je on dobio krajnje pohvalnu vrednost za p=3.1428. On naravno nije bio ozbiljan!
Gotovo je potpuno neverovatno da je definicija p , korisćena, kao jedan od izgovora, za rasisticki napad 1934 na eminentnog matematicara Edmund Georg Hermann Landau (rođen 14 februara 1877 u Brlinu, umro je 19 februara 1938 u Berlinu, Nemačka). Landau je definisao p u svom udzbeniku objavljenom u Göttingen-u te godine, metodom koja je danas jedva upotrebljiva, odnosno rekavšida je p/2 vrednost x između1 i 2 za koju cos x nestaje. Ova u najmanju ruku akademska rasprava dovela je do otpušanja Landau sa katedre u Göttingen-u.
Ludwig
Georg Elias Moses Bieberbach (rođen4 decembra,Goddelan,
Nemačka, umro je 1 sept 1982), eminentni teoretičar brojeva koji je ponižavao
samog sebe svojim rasistickim pogledima, dao je objašnjenje za Landau-ovo
otpuštanje:
“Prema tome hrabro odbacivanje od strane Gotingenskog studentskog udruženja koje je veliki matematičar, Georg Hermann Landau, iskusio izazvano je, u konačnoj analizi, činjenicom da je ne-nemacki stil ovog coveka u njegovim istraživanjima i predavanjima nepodnošljiv nemačkoj svesti. Ljudi, koji su osetili kako pripadnici druge rase prevarom nameću njima strane ideje, moraju odbaciti profesore druge kulture.”
Godfrey
Harold Hardy (rođen 7 februara 1877 , umro je 1 decembra
1947 u Engleskoj) odmah je replicirao Bieberbachu u objavljenom članku
o posledicama ove ne-nemacke definicije p:
“ Ima mnogo nas, mnogo Engleza i mnogo Nemaca, koji kažemo neke stvari tokom rata koje jedva da ozbiljno mislimo i sada nam je žao kada ih se setimo. Zabrinuti zbog svoje sopstvene pozicije, iz strah od zaostajanja za nadolazecom bujicom gluposti, odlučujemo se da po svaku cenu ne budemo prevaziđeni,sve ovo mogu biti prirodni ali ne i naročito herojski izgovori. Reputacija profesora Bieberbach–a ne dopušta takva objašnjenja njegovih izjava, i pronalazim da on zaista veruje da je to istina.”
Nije samo u Nemačkoj p predstavljalo problem. U USA vrednost p izrodila je vatrenu političku debatu. U državi Indiani godine 1897 Predstavnički dom blagonaklono gleda(dopušta) predlog zakona od strane delegata koji ih upoznaje sa novom matematičkom istinom.
“Ako bude prihvaćeno od strane opšteg sabora drzave Indiane:
Pronađeno je da je površina kruga jednaka kvadratu četvtrine obima kruga,
kao sto je i površina kvadrata jednaka kvadratu jedne strane.”
Senat Indiane pokazao je malo više razuma i odlozio je na neodređeno
usvajanje ovog ukaza. Kad bismo zaželeli da, na primer, izračunamo obim
Zemljinog ekvatora s tacnosću do 1 cm pod pretpostavkom da znamo tačnu
dužnu njegovog prečnika, onda bi nam za to bilo potpuno dovoljno da broj
p uzmemo na svega devet decimala. Ako pak uzmemo dvaput više decimala
(tj. 18), mozemo da izračunamo obim kruga čiji je poluprečnik jednak odstojanju
Zemlje od Sunca, i to s greskom koja nije veća od 0,0001 mm (tj. Koja
je 100 puta manja od debljine dlake).
Apsolutnu nekorisnost čak i prve stotine decimala broja p neobčno jasno
je pokazao ruski matematičar Grave.
On je izračunao da, ako zamislimo loptu čiji je poluprečnik jednak odstojanju
Zemlje od Sunca, tj. 132*1010 km, tu loptu napunimo mikrobima smatrajući
da u svakom kubnom milimetru ima po 1 bilion (1010 )mikroba i zatim sve
te mikrobe poređamo duž jedne prave linije tako da je rastojanje svaka
dva susedna mikroba opet jednako rastojanju Zemlje od Sirijusa, tada bi
se, ako se pri tom broj p uzme na 100 decimala, uzimajući taj fantastični
odsečak (tj. Rastojanje izmedju dva susedna mikroba) za prečnik kruga,
obim tog gigantskog kruga mogao izračunati s mikroskopskom tacnosću- 1/1000000
mm. Tačno kaze francuski astronom Arago da “ u smislu tačnosti mi
ne bismo dobili ništa ako bi između obima kruga i njegovog prečnika postojao
odnos koji bi se mogao izraziti racionalnim brojem”.
Za obicno računanje s brojem p potpuno je dovoljno upamtiti prve dve decimale
(3,14), a za tačniji račun prve četiri decimale (3,1416;za poslednju cifru
uzimamo 6 umesto 5 zato sto za ovom dolazi cifra veća od 5).
Zanimljivo je da su na engleskom govornom području napravili šaljivu rečenicu
koja služi da se zapamti redosled brojeva u zapisu p. Naime broj
slova u svakoj reči ove recenice oznacava broj na toj poziciji
u zapisu vrednosti p.
“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard...:”
3.14159265358979323846264...
BROJ π U ERI KOMPJUTERA
Simbolični matematički programi kao sto su Maple ili Mathematica
mogu da izračunaju 10000 decimala broja p u momentu, i jos 20 000- 1 000
000 decimala u toku noći (rang zavisi od platforme koju poseduje sam računar).
Moguće je pronaći zapis od 1,25 miliona decimala broja p preko sajta (
anonymous ftp ) wuarchive.wustl.edu, u fajlu pi.doc.Z i pi.dat.Z koji
se nalaze u poddirektorijumu doc/misc/pi. Braca Chudnovsky
iz Nju Jorka su izračunali 2 biliona decimala broja p na kućnom
(homebrew) računaru.
Trenutni rekord broju izračunatih decimala delo je Yasumasa Kanada i Daisuke Takahashi sa Univerziteta u Tokiju. Reč je o 206 biliona decimala p (206,158,430,000 decimalnih mesta).
Evo kako je svoj račun p predstavio Yasumasa Kanada, sa Univerziteta u Tokiju.
Postoje tri esencijalne metode za računanje brojne vrednosti p sa mnogo decimala:
1.Jedna od najstarijih u upotrebi je uz pomoć rastućeg niza
tg-1(x)=x-x3/3+x5/5-…
zajedno sa formulom kao što je
p= tg-1(1/5)-4* tg-1(1/239).
Taj račun daje oko 1.4 decimale po članu.
2.Druga formula koja je u upotrebi dolazi od Aritmeticke-Geometrije kroz račun. Odlčcan pregled tih formula je dat u knjizi “p i AGM”. Njihova prednost je u tome sto udvostručuju broj decimala po iteraciji. Na primer, da bi se postiglo 1 000 000 decimala , oko 20 iteracija je sasvim dovoljno. Mana je zato sto su nam potrebni FFT tip udvostručavanja da bi smo dobili razumnu brzinu, i ovo nije baš tako jednostavno za programe.
3. Treca dolazi od teorije kompleksnog množenja eliptičkih krivih, i otkrivena je od S. Ramanujan. Ovo daje velik broj prelepih formula ali najkorisnija je nedostajala Ramanujan i otkrivena je od strane Chudnovsky’s. Ona glasi ovako (pomalo modifikovana radi lakseg programiranja):
Set k_1 = 545140134; k_2 = 13591409; k_3 = 640320; k_4 = 100100025; k_5 = 327843840; k_6 = 53360;
Then pi = (k_6 sqrt(k_3))/(S), where
S = sum_(n = 0)^oo (-1)^n ((6n)!(k_2 + nk_1))/(n!^3(3n)!(8k_4k_5)^n)
Velika prednost ove formule je u sledećem
1)Ona konvergira linearno, ali vrlo brzo (preko 14 decimalnih mesta po članu)
2)Način na koji je napisana, sve operacije za izračuinavanje S su napisane vrlo jednostavno za programiranje. Upravo zbog toga konstanta 8k_4k_5 koja se pokazuje kao imenilac je napisana na ovaj način umesto 262537412640768000. Tako je Chudnovsky’s uspeo da izračuna nekoliko biliona decimala.
Jedna interesantna nova metoda predložena je od David Bailey, Peter Borwein and Simon Plouffe. Ona moze da izračuna n heksadecimalnu decimalu p efikasno bez prethodne ( n-1) decimale. Metoda je bazirana na formuli:
pi = sum_(i = 0)^oo (1 16^i) ((4 8i + 1) - (2 8i + 4) - (1 8i + 5) - (1 8i + 6))
za O(n) vreme i O(log N) prostoru.
Evo kako izgleda 160 karaktera C programa, koje je napisao Dik T. Winter u CWI, koji racuna p do 800 decimalnih mesta.
inta=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;
main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5; for(;d=0,g=c*2;c=14,
printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a, f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}
Putem interneta (e-mail) Yasumasa Kanada komentarisući
svoj prethodni rekord, od oko 50 biliona decimala, napisao sledeće :
“ Dragi π ljudi,
Došao je momenat kada mozemo
objaviti novi svetski rekord vezan za p.
Potrajalo je duže od našeg
očekivanja. Skoro dve godine je prošlo
od kad smo dobili novi svetski rekord
sa 6,4 biliona decimala. Sada, imamo osam puta veći
rekord od 6,4 biliona koji se nalazi
u tekstu koji mozete dobiti putem anonymous ftp na 'www.cc.u-tokyo.ac.jp'
Yasumasa Kanada, Racunski centar,Univerzitet u Tokiju.”
20 septembra 1999 godine Yasumasa Kanada objavio je novi rekored. Ovoga puta tzv. ‘Kanada laboratorija’(Kanada Laboratory), objavila je da su stigli do famoznog broja od 206,158,430,000 decimalnih mesta. I ovaj put svoj račun izveli su koristeći dve razlicite metode. Tacnije oni su izračunali
3*236=206 158 430 208decimalnih mesta, od čega im se račun poklopio za 206 158 430 16decimale.
Evo još jedna zanimljivost vezana za broj p. 707 decimala je ispisano
na frizu okrugle sobe, posvećene broju p, u Palati otkrića u Parizu Palata
je bila sazidana za veliku Svetsku izlož bu 1900.godine , baš kada je
podignut i Ajfelov toranj.
Na sledećoj slici je soba broja π u palati otkrića.
Izračunavanje π
pomoću kompjutera
Matematičar |
Daum |
Dec.mesta |
Tip kompjutera |
Ferguson |
Jan 1947 |
710 |
Desk calculator |
Ferguson |
Sept 1947 |
808 |
Desk calculator |
Smith, Wrench |
1949 |
1120 |
Desk calculator |
Reitwiesner |
1949 |
2037 |
ENIAC |
Nicholson, Jeenel |
1954 |
3092 |
NORAC |
Felton |
1957 |
7480 |
PEGASUS |
Genuys |
Jan 1958 |
10000 |
IBM 704 |
Felton |
Maj 1958 |
10021 |
PEGASUS |
Guilloud |
1959 |
16167 |
IBM 704 |
Shanks, Wrench |
1961 |
100265 |
IBM 7090 |
Guilloud, Filliatre |
1966 |
250000 |
IBM 7030 |
Guilloud, Dichampt |
1967 |
500000 |
CDC 6600 |
Guilloud, Bouyer |
1973 |
1001250 |
CDC 7600 |
Miyoshi, Kanada |
1981 |
2000036 |
FACOM M-200 |
Guilloud |
1982 |
2000050 |
|
Tamura |
1982 |
2097144 |
MELCOM 900II |
Tamura, Kanada |
1982 |
4194288 |
HITACHI M-280H |
Tamura, Kanada |
1982 |
8388576 |
HITACHI M-280H |
Kanada, Yoshino, Tamura |
1982 |
16777206 |
HITACHI M-280H |
Ushiro, Kanada |
Okt. 1983 |
10013395 |
HITACHI S-810/20 |
Gosper |
Okt. 1985 |
17526200 |
SYMBOLICS 3670 |
Bailey |
Jan. 1986 |
29360111 |
CRAY-2 |
Kanada, Tamura |
Sept. 1986 |
33554414 |
HITACHI S-810/20 |
Kanada, Tamura |
Oct. 1986 |
67108839 |
HITACHI S-810/20 |
Kanada, Tamura, Kubo |
Jan. 1987 |
134217700 |
NEC SX-2 |
Kanada, Tamura |
Jan. 1988 |
201326551 |
HITACHI S-820/80 |
Chudnovskys |
Maj 1989 |
480000000 |
|
Chudnovskys |
Jun 1989 |
525229270 |
|
Kanada, Tamura |
Juli 1989 |
536870898 |
|
Chudnovskys |
Aug 1989 |
1011196691 |
|
Kanada, Tamura |
Nov 1989 |
1073741799 |
|
Chudnovskys |
Aug 1991 |
2260000000 |
|
Chudnovskys |
May 1994 |
4044000000 |
|
Kanada, Tamura |
June 1995 |
3221225466 |
|
Kanada |
Aug 1995 |
4294967286 |
|
Kanada |
Oct 1995 |
6442450938 |
|
Kanada, Takahashi |
Aug 1997 |
51539600000 |
HITACHI SR2201 |
Kanada, Takahashi |
Sept 1999 |
206158430000 |
HITACHI SR8000 |
|
Literatura:
- http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html
- http://www.cecm.sfu.ca/personal/jborwein/pi_talks.html
- E.T.Bell: “Matematika- kraljica i ropkinja nauke”
- J.Pereljman: “Zanimljiva geometrija”, Drustvo
matematicara, fizicara i astronoma SR Srbije, Beograd, 1978.
- Mrmak Mirjana: “Broj p
- i na racunaru”, clanak “Matematicki list”,
XX, 5, Beograd 1986.
- Mica Mirkovic: “Poceci. Matematika starog Vavilona,
Egipta i Kine”, clanak “Matematicki list”,
XXIV, 2, Beograd 1989
PROČITAJ
/ PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:
|
|
preuzmi
seminarski rad u wordu » » »
Besplatni
Seminarski Radovi
|
|