SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ARHIMED
Arhimed, jedan od najgenijalnijih matematičara
svih vremena, rodio se 287.godine pre nove ere u Sirakuzi. Podstaknut
znanjem svog oca, Fidija, koji je inače bio astronom i matematičar, Arhimed
je išao kroz život uvek iznova tragajući za novim znanjem. Njegov duh
tražio je učenje koje mu niko nije mogao pružiti u Sirakuzi. Zato Arhimed
kreće na školovanje u Aleksandriju, tadašnji kulturni centar sveta. Radeći
u Aleksandrijskoj biblioteci, tada najvećoj riznici knjiga u Sredozemlju,
Arhimed je izučio i usavršio mnoga znanja iz različitih oblasti nauke.
Upoznao je puno mladih, sposobnih matematičara među kojima je bio i Eratosten,
budući Arhimedov prijatelj. Međutim, u Aleksandriji Arhimed nije postao
ono što je želeo i što su najčešće postajali daroviti matematičari, pesnici
i medicinari - dvorski čovek koji će kroz svoja dela veličati vladajuću
kuću. Njega je pre svega i jedino zanimala matematika. O sferi i cilindruPoznatu teoremu iz stereometrije, koja se može dobiti iz osobine ravnoteže,
otkrio je Arhimed i uključio je u svoje čuveno delo “O sferi
i cilindru”.
Ovo je bila jedna od najomiljenijih Arhimedovih teorema i na njegov zahtev
bila je ugravirana na njegov nadgrobni spomenik. Dokaz: Neka su dati valjak i kupa prečnika osnove r i visine 2r i sfera prečnika r. Kupa i sfera su upisane u valjak. Ovako dobijeno telo presečemo nekom ravni na proizvoljnoj visini. Presek te ravni sa valjkom i kupom su dva koncentrična kruga. Prečnik kruga valjka je r, a prečnik kruga kupe označimo sa x. Površinu koju dobijemo kada od kruga valjka oduzmemo krug kupe označimo sa , gde je . Od sredine valjka odmerimo dužinu i na toj visini konstruišemo ravan koja je paralelna sa ravni osnove. U preseku te ravni i sfere dobijamo krug perčnika po Pitagorinoj teoremi. Površinu tog kruga označimo sa i ta površina iznosi . Iz ovih jednakosti vidimo da je za svako . Sada ćemo za prvu presečnu ravan uzeti ravan osnove tela. Sledeća ravan kojom ćemo preseći telo je ravan na visini od osnove tela, naredna na visini (<) i tako dok ne stignemo do druge osnove tela primenjujući gore navedeni postupak Zbir svih dobijenih površina približno je jednak dve trećine zapremine valjka, a zbir svih površina približno je jednaka zapremini sfere. Što su delta-iksovi manji tačnost je veća. Znamo da je pa je . Ovim je dokaz završen. Merenje krugaKnjiga “Merenje kruga” nije sačuvana u originalnom izdanju i sastoji se iz samo tri proporcije. U njoj saznajemo da je Arhimed, primenjujući „metod iscrpljivanja”, prvi u istoriji matematike odredio približnu vrednost broja , a time i dužinu kružnice. To je učinio tako što je određivao odnos obima upisanih i opisanih pravilnih mnogouglova i prečnika odgovarajuće kružnice. Bitno je da kružnica bude jedinična jer je samo u tom slučaju površina kruga koju ona određuje jednaka . Računanje počinje koristeći graničnu vrednost √3, koju uzima kao poznatu, tj. . Arhimed je prvi razmatrao slučaj opisanog poligona.
OD - bisektrisa ugla AOC,
Ako je AH = AG, onda je <GOH=<FOA=p/24, pa je GH luk pravilnog 96-tougla. OA : AC [ = √3 : 1] > 256: 153 Pošto OD polovi <COA, onda je CO : OA = CD : DA I OD2 : AD2 = (OA2 + AD2) : AD2 Sada, kao što
smo našli odnos OD : AD iz OC : CA i OA, analogno dobijamo odnos OA :
AE i OE : AE iz OD : DA i OA : AD. Na kraju dobijamo odnos Izučavajuci upisani poligon, Arhimed dobija analogan sled aproksimacija.
Neka tačke A, B, C obrazuju polukrug i neka je <BAC =p /2. Kako je
prava BG obrazuje luk upisanog 96-tougla. Uočimo sledeću sličnost: Ali, AC : CB < 1351 : 780 Odavde je AB2 : BD2 < (29112 + 7802) : 7802 Kao što smo našli odnos AB : DB i AB : BD i AC : CB, analogno dobijamo odnos AE : EB i AB : BE iz AB : BD i AD : DB i na kraju odnos AB : BG. Razlikujemo dva slučaja i u njima dva uslova a0,a1,a2,...,an i b0,b1,b2,...,bn
gde je b1 = √(a12 + c2), U prvom slucaju a0 = 265, b0 = 306, c = 153, U prvom slucaju, odnos a4 : c je zapravo odnos OA : AG = 2OA : GH,
. Arhimedov zavrtanj i Arhimedova spirala
kružno obavijena oko centralne cilindrične osovine formirajući zavojnicu poput vadičepa. Jedan kraj cevi je potopljen u vodu dok je osovina zavrtnja nagnuta pod dovoljno velikim uglom u odnosu na vertikalu. Prava se zatim okreće oko ose pomoću ručice na gornjem kraju osovine. Ukoliko je nagib osovine dovoljno veliki, voda će teći kroz cev i izlaziti na gornjem kraju. Arhimedov zavrtanj se koristio u starom Egiptu za navodnjavanje polja kao i za isušivanje močvarnih predela. Takođe je često korišćen za pražnjenje vode iz trupa broda.
Kvadratura paraboleNajraniji zabeleženi primer konvergentnog geometrijskog reda čija je suma bila poznata je red :Ovaj red je koristio Arhimed (oko 225.god. pre nove ere) u svojoj kvadraturi parabole. Arhimed metodom beskrajnog uzastopnog približavanja dolazi do površine (do takozvane kvadrature) odsečka parabole. Ta metoda je dobila svu svoju vrednost tek pronalaskom infinitezimalnog (diferencijalnog i integralnog) računa. Beskrajnim približavanjem dolazimo do tzv. graničnih vrednosti , a pojam granične vrednosti ili granice je osnovni stub infinitezimalnog računa i uopšte „više matematike“. U tim stvarima Arhimed je, dakle, jedan od prethodnika infinitezimalnog računa. Evo kako on dolazi do kvadrature parabole. Da bi dobio površinu odsečka omeđenog tetivom , Arhimed povuče prvo duž kroz središte tetive , paralelno osi parabole. Označimo površinu trougla slovom . Ona se lako izračunava čim su date tačke i na paraboli. Ako na tetivama i sagradimo analogno trouglove i , polazeći od središta i tih tetiva, imamo dva nova trougla, oba manja od prvoga. Jednostavnim geometrijskim posmatranjem nalazimo da je površina svakog od ta dva trougla , dakle, da je površina oba zajed no . Da bi dobio površinu odsečka parabole Arhimed nastavlja započeto raspolovljavanje
tetiva beskrajno i dobija tako, između lukova parabole i dvaju trouglova
i ,
prvo četiri još manja trougla kojima je ukupna površina, kao što se odmah
uviđa, opet četvrtina površine prethodana dva trougla, tj. Zatim dobija osam još manjih trouglova s ukupnom površinom
Arhimedov zadatak - Krznarski nož Krznarski nož ima oblik figure koju određuju tri polukruga
koji se dodiruju kao na slici i čiji su centri kolinearni. Dokazati da
je površina krznarskog noža jednaka površini kruga čiji je prečnik
upravan na pravu određenu centrima polukrugova, a pruža se, kao na slici,
od tačke
dodira manjih polukrugova do preseka
sa najvećim polukrugom. Sada je : Arhimedova smrtArhimedova smrt poznata je, u okvirima koji su do nas stigli, zahvaljujući Plutarhovom životopisu vojskovođe Marcellus. Poginuo je od mača rimskog vojnika u rodnom gradu Sirakuzi, koja je odolevala Rimljanima zahvaljujući spravama i mašinama, koje je Arhimed sastavio od poznatih jednostavnih alata. Kada je Sirakuzu, nakon dve godine, zauzeo Marcellus, Plutarh kaže, da je rimski vojskovođa dao nalog da se zaštiti Arhimed. Rimski vojnik ga nije prepoznao i ubio ga je 212. godine pre nove ere. Legenda kaže da je Marcellus bio ogorčen na vojnika koji je ubio Arhimeda.Prema Valeriju Maksimu, prilikom zauzeća Sirakuze, Arhimed je mirno crtao geometrijske slike i doviknuo rimskom vojniku: „Noli turbare circulos meos” („Nemoj kvariti moje krugove”). Vojnik, smatrajući da ove reči vređaju moć pobednika, odsekao mu je glavu i Arhimedova krv poprskala je njegov znanstveni rad. Ali ovo je samo legenda jer je teško poverovati da se Arhimed mogao razumeti s Rimljaninom jer je on govorio grčki, a vojnik latinski. Pored toga Rimljani su zverski kažnjavali pobeđene, a naročito je Marcellus u tome bio svirep. On je čak naređivao da se pobiju žene i deca kada bi neki grad narušio ugovor koji je imao s Rimom. Sirakužani nisu smeli održavati grob svog velikog mislioca. Njega je jedva pronašao Ciceron i to zahvaljujući crtežu lopte i valjka koji se nalazio na spomeniku iznad nekoliko stihova urezanih velikom matematičaru u spomen. „Odmah sam rekao predstavnicima Sirakuze koji su me pratili da je pred nama bez sumnje Arhimedov nadgrobni spomenik. I zaista, čim su pozvali ljude da iseku korov i da nam prokrče put i čim smo približili ovom stubu, videli smo u njegovom podnožju natpis. Deo uklesanih stihova mogao se još pročitati, sve ostalo je satrlo vreme.” I tako, jedan od najslavnijih gradova Grčke, koji je nekada dao svetu toliko velikana, nije više znao čak ni gde se nalazi grobnica najgenijalnijeg njegovog građanina se dok se nije pojavio čovek iz malog grada Arpina, da bi im pokazao taj grob! Zanimljivo je da je Arhimedova želja bila da na njegovom grobu bude podignut spomenik, na kojem će biti dva geometrijska tela: valjak i lopta. Malo ljudi je bilo sposobno da razume Arhimeda, a mnogi su imali koristi od njegovog znanja. Zato nije nikakvo čudo što je jedan matematičar čak iz XVII veka rekao: „Arhimeda više hvale nego sto ga čitaju, više se ponose njime nego što ga razumeju”. Jedinstveni zaključak koji se može izvući o radu i delu Arhimeda je da je on najveći matematičar i naučnik antičkog doba i jedan od tri najveća matematičara svih vremena zajedno sa Isakom Njutnom i Karl Fridrih Gausom. Arhimed se izdigao do veličine koja je nadvisila sve druge naučnike antike. Literatura:
preuzmi seminarski rad u wordu » » »
|