|
Blek - Šols diferencijalna jednačina
...ili kako da matematičar postane nobelovac
Kada kažemo Nobelova nagrada, većina nas iz Srbije pomisli
na Ivu Andrića, našeg
zasad jedinog nobelovca. Takođe, pre par godina, gledali smo film o Džonu
Nešu, matematičaru koji je dobio Nobelovu nagradu za ekonomiju. Jedna
od najpoznatijih priča koja okružuje ovu nagradu je, svakako ona koja
kaže da je Alfred Nobel krivio jednog matematičara za neuspeh u ljubavi.
Bio je kivan na njega do kraja života i kada je sastavljao testament,
pa je to ralog zašto ne postoji i Nobelova nagrada za matematiku. Međutim
ova priča nije istinita. A i da jeste, matematičari su pronašli rupu u
zakonu. Naime, Nobelovom nagradom za ekonomiju su do 2007. nagrađena 66
naučnika. Od tog broja, 20 ih je bilo sa univerzitetskom diplomom matematičara.
A ne zaboravimo i na Bertrana Rasela, matematičara i filozofa koji je
dobio Nobelovu nagradu za književnost.
Sad se sigurno pitate koja je veza između ove teme i Nobelove nagrade.
Objašnjenje sledi. Blek – Šols diferencijalna jednačina je samo deo Blek
– Šols modela za određivanje vrednosti opcija. Opcije su vrsta finansijskih
instrumenata. Njima se trguje na berzi na isti način kako se trguje sa
akcijama ili naftom ili smrznutim svinjskim polutkama.
Ova jednačina je jedan od najpoznatijih i najkorišćenijih matematičkih
izraza u finansijskom svetu. Jedan od tvoraca modela, Majron Šols je 1997.
godine, zajedno sa kolegom Robertom Mertonom, dobio Nobelovu nagradu za
ekonomiju. Šolsov kolega, Fišer Blek, je preminuo 1995. godine, te je
uskraćen na osnovu pravila da se Nobelove nagrade ne dodeljuju posthumno.
Za utehu je da su istakli i naglasili njegovu ulogu i značaj.
Stoga ako sanjate o Nobelovoj nagradi, evo jednog od mogućih puteva
do iste!
FINANSIJSKA TRŽIŠTA I INSTRUMENTI
Ekonomisti se slažu da je veoma teško dati jedinstvenu i univerzalnu definiciju
finansijskog tržišta. Najšire posmatrano, finansijsko
tržište postoji svuda gde se obavljaju finansijske transakcije. U okviru
ovog rada finansijsko tržište se može definisati kao mesto na kome se susreću
ponuda i tražnja za različitim oblicima finansijskih instrumenata. Visoko
organizovano tržište na kome se okupljaju posebno ovlašćeni učesnici koji
povezuju kupce i prodavce različitih finansijskih instrumenata nazivamo
berzom. Razlikujemo
- robne ili produktne berze
- finansijske berze
- mešovite berze
Robne berze su specijalizovane za promet odgovarajućih roba ili proizvoda.
Na njima se trguje sa žitaricama, metalima, naftom, zemnim gasom, električnom
energijom i ostalim poljoprivrednim proizvodima kao što su meso, mleko,
južno voće pa čak i sir.
Finansijske berze
su berze na kojima se trguje različitim finansijskim instrumentima. Instrumente
delimo u dve grupe: osnovne i izvedene. Osnovni instrumenti
su akcije, obveznice, valuta i devize. Izvedeni instrumenti su poznatiji
pod imenom finansijski derivati. Ime su dobili zbog toga što
se njihova vrednost izvodi iz vrednosti nekog osnovnog finansijskog instrumenta
koji se nalazi u njihovoj osnovi. Njihova cena zavisi kako od odnosa ponude
i potražnje za njima, tako i od vrednosti osnovnog instrumenta. Finansijski
derivati se smatraju vrlo važnim instrumentom za upravljanje rizicima
na finansijskim tržištima. Oni omogućavaju da se rizik podeli i mnogo
racionalnije kontroliše. Najznačajniji derivati su:
- terminski ugovori – takozvani forvordi(forward)
- likvidni terminski ugovori – fjučersi(futures)
- opcije(options)
Nas će najviše interesovati opcije. Organizovana trgovina opcijama, kao
standardizovanim finansijskim instrumentima, otpočela je u aprilu 1973.
godine u Čikagu, gde je formirana i prva berza finansijskih opcija pod
imenom Chicago Board Options Exchange ili CBOE.
Opcija je finansijski instrument koji predstavlja ugovor između prodavca
i kupca u kome je sadržano pravo, ali ne i obaveza kupca da se kupi ili
proda neka aktiva u određenom vremenskom periodu ili na tačno utvrđeni
trenutak u budućnosti, po ceni koja je određena u momentu sklapanja ugovora.
Lice koje prodaje opciju naziva se emitentom (engl.
Writer), cena po kojoj se aktiva može kupiti/prodati je cena izvršenja
(engl. Strike price), termin u kome opcija dospeva je dan dospeća
opcije, a cena koju kupac opcije plaća je premija (engl.
Option premium).
S obzirom na pravo koje daje njenom imaocu, opcije delimo na dve vrste:
kupovne i prodajne. Kupovna ili call opcija
daje pravo njenom imaocu da kupi određenu aktivu po unapred određenoj
ceni. Prodajna ili put opcija daje pravo njenom imaocu da proda
aktivu po unapred određenoj ceni. S aspekta mogućnosti izvršenja ugovora
razlikujemo američke i evropske opcije. Američke se
mogu realizovati u bilo kojem momentu do dana dospeća opcije uključujući
i taj dan, dok se evropske opcije mogu realizovati samo na dan dospeća.
Robne opcije mogu da podrazumevaju pravo na kupovinu/prodaju zemljišta,
poljoprivrednih proizvoda, metala, energenata, graševinskih objekata i
slično. U SAD finansijske opcije obuhvataju opcije na akcije, opcije na
berzanske indekse kao i valutne i kamatne opcije.
Kao što smo rekli na početku,derivati a samim tim i opcije, se koriste
da bi se smanjio rizik pri trgovanju. U engleskom jeziku se to označava
rečju hedging što bi u slobodnom prevodu značilo zaštita od rizika.
Pomoću opcija moguće je smanjiti, pa čak i eliminisati rizik promene cena
pojedinih roba, hartija od vrednosti, kamatnih stopa, deviznih kurseva,
tržišnih indeksa, itd. Opcije mogu obezbediti veću stabilnost investicija
u hartije od vrednosti, ali i druge oblike aktive.
Zapravo na berzi derivata postoje dve vrste igrača hedžeri i špekulanti.
Hedžeri(engl. hedgers) su igrači koje interesuje roba. To mogu
biti farmeri, rudarske kompanije, pekari, juveliri itd. Špekulanti(engl.
speculators) trguju derivatima isključivo da bi na njima ostvarili zaradu.
Oni trguju derivatima ali nikada ne koriste robu koja je predmet ugovora.
U zavisnosti od kretanja cena neke robe, špekulanti kupuju ili prodaju
ugovore. Stoga ako na tržištu opcija, Pera njima trguje radi zaštite od
rizika pada tržišne cene svoje osnovne investicije, tada Peru nazivamo
hedžerom. Ali ako Pera na ovom tržištu trguje opcijama radi ostvarenja
dobiti od očekivanih promena kao što su porast cene nafte ili pad kursa
američkog dolara, a koje drugi investitori izgleda ne očekuju, tada Peru
nazivamo špekulantom.
ODREĐIVANJE VREDNOSTI OPCIJA
Od pojave opcija, određivanje njihovih cena predstavlja jednu od najatraktivnijih oblasti finansijske teorije ali i primenjene matematike. Sa uvećavanjem novih vrsta opcija, razvijane su i nove matematičke metode kao i modeli za određivanje cene. Standardne metode određivanja vrednosti akcija ili obveznica se ne mogu primeniti na opcije jer njihova vrednost zavisi od vrednosti osnovnog instrumenta iz koga su izvedene kao i rizika koji taj instrument nosi sa sobom. Na primer, vrednost opcije na akcije direktno zavisi od kretanja cene same akcije. Kako se te promene dešavaju često, uz postojanje visokog rizika i neizvesnosti, neophodno je bilo razviti posebne modele i tehnike.
Osnovni faktori koju utiču na cenu opcija su:
- Cena aktive koja se nalazi u osnovi opcije. U slučaju da cena aktive raste, raste i potražnja za kol opcijama, a samim tim i njihova tržišna cena. Kod put opcija, situacija je obrnuta – rast cene aktive usloviće pad cene prodajnih opcija, pošto će opasti tražnja za njima jer niko neće hteti da kupi pravo po strajk ceni koja je fiksna dok tržišna cena aktive raste, a samim tim i mogućnost da se proda po višoj ceni.
- Strajk cena. Ova cena je izvesnija nego cena aktive jer je fiksirana i poznata unapred do datuma dospeća. Ukoliko je strajk cena viša i cena put opcije će bit viša dok će niža strajk cena obarati cenu put opcija. Sa druge strane viša strajk cena će usloviti nižu cenu kol opcija i obrnuto, niža strajk cena će voditi višoj tržišnoj ceni kol opcija.
- Datum dospeća opcije. Uticaj roka izvršenja na cenu opcija je veoma kompleksan. U slučaju američkih opcija(put i kol), ako je rok dospeća duži i cena opcije će biti veća jer postoji dovoljno vremena za povoljna cenovna kretanja tako da je dugoročna opcija vrednija od kratkoročne. Kada se govori o evropskom tipu opcija, napred navedeno pravilo ne mora da važi već se može desiti da su kratkoročne vrednije od dugoročnih opcija.
- Volatilnost aktive tj. rizik cenovnih kolebanja aktive. U nestabilnim tržišnim prilikama investitori će pokazati veću sklonost za držanjem opcija u svom portfelju i to kao za potrebe hedžinga tako i iz špekulativnih namera. Upravo zato, ako je predviđena volatilnost cena aktive veća, veća će biti i cena opcija i obrnuto.
- Bezrizična kamatna stopa. U uslovima rasta kamatnih stopa, cena put opcije će opadati, dok će u isto vreme cene kol opcija rasti.
- Dividenda. Isplaćena dividenda utiče na smanjenje cene akcija u periodu nakon isplate dividende, a samim tim utiče i na visinu cene opcija. Upravo zato, vrednost kol opcija je negativno korelirana sa visinom dividende, dok je vrednost put opcije pozitivno korelirana
Da bi neki subjekt pribavio opciju, neophodno
je da za to plati određenu cenu. Cena opcije se zove premija i formira
se na tržištu kao posledica sučeljavanja ponude i potražnje, a pod uticajem
gore navedenih faktora. nameće se logično pitanje da li je moguće utvrditi
vrednost opcije koja stoji u osnovi same tržišne vrednosti opcije? To
je veoma složen zadatak uzevši u obzir činjenicu da opcija sama po sebi
ne donosi nikakv prinos, te se isti i ne može koristiti za utvrđivanje
vrednosti opcije. Naime, opcija daje samo pravo na kupovinu određene aktive
koja će u budućnosti doneti neki prinos tako da sledi da je vrednost opcije
dvostruko posredna – zavisi od prinosa koji nosi aktiva iz osnove opcije.
Cena opcije se sastoji iz dva dela: stvarna ili suštinska vrednost(engl.
intrinsic value) i vremenska vrednost ili vremenska opcija (engl.
time value of options or time premium). Stvarna vrednost opcije
predstavlja finansijski rezultat koji bi njen imalac ostvario njenom trenutačnom
realizacijom. U slučaju da za imaoca opcije postoje nepovoljna cenovna
kretanja na tržištu, on opciju neće realizovati jer bi u suprotnom ostvario
negativan rezultat, iz čega sledi da minimalna stvarna vrednost opcije
ne može biti negativna. Odnosno, stvarna vrednost put opcije predstavlja
pozitivnu razliku između tekuće tržišne vrednosti i strajk cene.
Vremenska vrednost opcije predstavlja razliku između trenutne tržišne
vrednosti i stvarne vrednosti opcije. Ona zavisi od kupčevih očekivanja
o budućem(do roka dospeća opcije) cenovnom kretanju aktive koja se nalazi
u osnovi opcije. Ako kupci očekuju takve promene cena koje će uzrokovati
rast stvarne vrednosti opcije, oni će biti spremni da plate više za takvu
opciju. S obzirom da su mogućnosti za takva cenovna kretanja veća što
je rok dospeća opcije duži, vremenska premija će biti veća što je rok
izvršenja duži.
Danas u literaturi postoji više teorija koje pokušavaju da utvrde cenu
opcija.Među njima se izdvajaju dva najznačajnija modela – binomni i Blek
- Šols model. Oba polaze od činjenice da se vrednost opcije menja sa svakom
promenom cene akcije iz osnove opcije, tako da je nemoguće utvrditi očekivani
novčani tok od opcije čijim diskontovanjem bi se utvrdila vrednost opcije.
Zato se vrednost opcija utvrđuje indirektnim putem – formiranjem finansijskog
instrumenta ili portofolija koji će donositi isti prinos kao i opcije
pa stoga i njegova cena mora biti jednaka ceni opcije. Treba naglasiti
da su modeli razvijeni za opcije koje u osnovi imaju akcije, ali se utvrđivanje
cena opcija na neku drugu aktivu(obveznice, indekse, valutu i sl.) radi
na veoma sličan način.
Pre nego što nastavimo dalje, neophodno je upoznati se sa jednom od osnovnih
ideja na kojoj se zasniva teorija određivanja vrednosti finansijskih derivata
– arbitražom. U ekonomiji i finansijama, arbitraža podrazumeva
iskorištavanje cenovne razlike između dva ili više tržišta. Šta to konkretno
znači? Trgovci mogu ostvariti velike zarade ako istovremeno kupuju jeftiniji,
a prodaju skuplji ugovor. Razlika u ceni je mali deo dolara, ali ovi trgovci
trguju istovremeno velikim brojem ugovora pa zbog toga ostvaruju značajne
rezultate. veliki broj trgovaca u istom trenutku donosi iste odluke, pa
njihova kupovina ili prodaja može izazvati promene na tržištima na kojima
trguju.
U akademskom smislu, arbitraža je transakcija koja uključuje negativan
tok novca(cash flow) u nekom verovatnom ili privremenom stanju i pozitivnitok
novca(cash flow) u najmanje jednom stanju. Pojednostavljeno, to su transakcije
koje donose profit ali bez rizika. Ako tržište ne dozvoljava profitabilnu
arbitražu, za cene se kaže da čine arbitražni ekvilibrijum tj. da na tom
tržištu ne postoji arbitraža. Ova pretpostavka se koristi u skoro svim
modelima kvantitativnih finansija i samo tako je moguće izračunati jedinstvenu
bezrizičnu(risk free)vrednost finanasijskih derivata. Ova pretpostavka
je jedna od polaznih u Blek – Šols modelu.
BLEK – ŠOLS MODEL
Maja 1973. godine u časopisu Political Journal objavljen je rad po nazivom
Pricing of Options and Corporate Liabilities. Rad je imao dva
autora: Majron Šolsa(Myron Scholes) i Fišera Bleka(Fischer Black). U tom
trenutku, izraz Blek – Šols model za određivanje vrednosti opcija nije
postojao. Ovaj izraz je skovao Robert Merton koji je u časopisu Bell Journal
of Economics and Management Science objavio rad pod nazivom Theory
of Rational Option Pricing. U svom radu Merton je dodatno opisao
i proširio matematičko shvatanje koje su izneli Blek i Šols u svom radu.
Interesantno je kako su Blek I Šols objavili svoj rad. Naime, oni su rad
poslali svim uglednim ekonomskim časopisima ali su bili odbijeni od strane
svakog od njih sa obrazloženjem da nisu u mogućnosti da provere tačnost
njihovih navoda. Tek su u časopisu Political Journal odlučili da rizikuju
jer je u aprilu te iste godine otpočelo trgovanje sa opcijama na CBOE.
Naravno, rizik se isplatio i ovaj rad je postao jedan od najpoznatijih
i najcitiranijh radova. Takođe model se veoma dobro pokazao i u trgovanju
s tim što su se neke polazne pretpostavke morale značajno ublažiti. Model
je postao veoma popularan jer je lak za izračunavanje a pri tom ne zahteva
poznavanje investitorove sklonosti ka riziku.
Vrednost evropske kol opcije u momentu dospeća je
f = max(S – X, 0), kada je t = T
a put opcije je
f = max(X – S, 0), kada je t = T,
gde je X ugovorena cena akcije, T je vreme isteka opcije, a S je cena akcije u trenutku t = T. Kako se opcije mogu prodavati i kupovati tokom svog trajanja, osnovni problem je odrediti cenu opcije. Kao osnovni model procesa kretanja cena akcija uzima se proces geometrijskog Braunovog kretanja(Vinerov proces), odnosno pretpostavlja se da je proces kretanja cena akcija St gde je 0 ≤ t ≥ T. To je opisano sledećom linearnom diferencijalnom stohastičkom jednačinom
dSt = μ Stdt + σ St dWt
gde je μ realan broj koji predstavlja povećanje cene akcije, σ > 0 je koeficijent volatilnosti, a S0 je realan pozitivan broj koji predstavlja početnu cenu akcije. Proces Wt je jednodimenziono Braunovo kretanje na filtriranom prostoru verovatnoće. Ako rešimo datu jednačinu dobijamo
Odavde sledi da prinosi od cena akcija imaju lognormalnu raspodelu. Za svako fiksirano t, slučajna promenljiva St = f(Wt) je invertibilna funkcija koja za domen i kodomen uzima polje realnih brojeva. Stoga važi da je filtracija generisan procesom St cene akcije poklapa sa prirodnom filtracijom procesa Wt. Ovo znaći da je informaciona struktura modela zasnovana samo na posmatranju cena akcija. Primenom Itove formule na funkciju f = f(St, t), dobija se Blek – Šols parcijalna diferencijalna jednačina
U slučaju da je funkcija f cena evropske kol opcije, rešenja za kol opciju su data sa
a za put opciju važi
gde su
Obično se stavlja da je t sadašnji trenutak, odnosno da je t = 0.
Blek –Šols jednačina se može prilagoditi slučaju kada akcija koja je u osnovi opcije isplaćuje dividende. Akcija koja prihod od dividendi isplaćuje po godišnjoj stopi q, mora imati totalni prinos kao i akcija koja ima sve ostale karakteristike iste, ali ne isplaćuje dividende. Stopa prinosa akcije koja isplaćuje dividende će biti manja za q. ako sa neprekidnim prinosom od dividendi q cene akcije poraste sa S0 u početnom momentu na ST u momentu T. Ako se pretpostavi da akcija donosi neprekidan prinos od dividendi po godišnjoj stopi q, moguće je izvesti odgovarajuću Blek – Šols jednačinu za cenu derivata koji zavisi od takve akcije
U slučaju evropskih kol i put opcija na akciju koja prihod od dividendi isplaćuje neprekidno po godišnjoj stopi q, cene se određuju na sledeći način:
gde se vrednosti d1 i d2 izračunavaju na sledeći način:
Ovaj rezultat dobio je Robert Merton u svom gore pomenutom radu.
Ako prinos od dividendi nije konstantan, prethodne jednačine važe, ali
se prihod od dividendi q izračunava kao prosečni prihod od dividendi na
godišnjem nivou koji se dobija tokom trajanja opcije. Blek – Šols jednačina
ne zavisi od promenljivih povezanih sa sklonosti prema riziku. Zbog toga,
može se koristiti risk-neutralno izračunavanje. U risk-neutralnom svetu,
stopa prinosa od akcije mora bit jednaka ne rizičnoj kamatnoj stopi r.
Dividenda donosi prihod po stopi q, pa je stopa povećanja cene akcije(appreciaton
rate) jednaka r – q. Dakle, proces kretanja cena akcija u risk-neutralnom
svetu je
Veoma je interesantno kako odrediti vrednost opcije u čijoj
osnovi leži inostrana valuta. U osnovi takvog opcionog ugovora stoji odrđen
broj jedinica inostrane valute. Inostrana valuta ima osobinu da onaj ko
je poseduje, može da zaradi kamatu po ne rizičnoj kamatnom stopi rf
koja preovlađuje u stranoj zemlj. Stoga se ona može posmatrati kao aktiva
koja donosi poznati prihod od dividendi. Prihod od dividendi je u ovom
slučaju ne rizična kamatna stopa u stranoj zemlji. Najčešće valute kojima
se trguje su američki i kanadski dolar, britanska sterling funta, švajcarski
franak, euro i japanski jen.
Za odrešivanje vrednosti cene opcija na inostranu valutu, posmatra se
proces Qt kretanja trenutne stop razmene valute. U risk-neutralnom svetu
ovaj proces zadovoljava sledeću stohastičku jednačinu
gde je rd domaća ne rizična kamatna stopa, rf je strana
ne rizična kamatna stopa, a σQ je volatilnost stope razmene valute. Ovaj
proces je isti kao i u procesu kretanja cena akcija u risk neutralnom
svetu samo što je q = rf. To sledi iz toga što se inostrana valuta može
posmatrati kao aktiva koja donosi poznati prihod od dividendi gde je prihod
od dividendi u ovom slučaju ne rizična kamatna stopa u stranoj zemlji.
Vlasnik inostrane valute prima ”prinos od dividendi” jednak
ne rizičnoj kamatnoj stopi ff u inostranoj valuti. Na osnovu toga se dobijaju
izrazi za odrešivanje cena evropskih kol i put opcija:
gde je S0 vrednost stope razmene u momentu t = 0. Dalje je
LITERATURA
- Paul Wilmott, S. Howison, J. Dewyne – The Mathematics of Financial Derivatives, Cambridge Universitz Press, 1995.
- Dejan Erić – Finansijska tržišta i instrumenti, Čigoja štampa, Beograd 2003.
- Dragić Stojadinović – Nobelova nagrada za ekonomiju, Akademska štampa, Beograd, 2005.
- Dora Seleši – Modeli finansijske matematike, seminarski rad, Institut za matematiku i informatiku, PMF Novi Sad, 2002.
- S. Janković, Z. Lozanov – Crvenković, M. Merkle – Finansijski derivati u čijoj su osnovi inostrane valute, Simpozijum o operacionim istraživanjima, Herceg Novi, 2003.
- Don M. Chance – Analysis of Derivatives for the CFA program, Association for Investment Management and research, 2003.
PROČITAJ
/ PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:
|
|
preuzmi
seminarski rad u wordu » » »
Besplatni
Seminarski Radovi
|
|