|
FRAKTALI
Reč fraktal skovao je Benoit Mandelbrot 1975.od latinskog
prideva fractus, što znači razlomljen,slomljen,nepovezan. Teško
je dati preciznu definiciju fraktala i fraktalne geometrije. Čak je i
sam Mandelbrot (kojeg bismo mogli nazvati ocem fraktalne geometrije,iako
su neki takvi objekti bili poznati i puno ranije) bio neodlučan pred tim
problemom,pa je za svoju definiciju fraktala,koju je bio ponudio,rekao
da izuzima neke objekte koji bi se trebalo zvati fraktali. Ta definicija
glasila je: fraktal je skup za koji je Hausdorff-Besicović dimenzija veća
od topološke dimenzije. Definicija koja bi bila nešto bolja i preciznija
je ona da je fraktal objekt koji ima necelobrojnu fraktalnu (Hausdorff-Besicović)
dimenziju. Pre svega,treba naglasiti da je dimenzija jedan od onih entiteta
kojima pridajemo intuitivno značenje,kao što su vreme, prostor, masa itd.,zato
da bi dali preciznu definiciju fraktalnog objekta,treba prvo precizno
definisati dimenziju.
Topološka dimenzija je najbliža intuitivnom ,prirodnom
shvatanju: tačka ima topološku dimenziju 0, prava 1, ravan 2, a prostor
3. Precizna definicija glasi: Skup ima topološku dimenziju 0,ako svaka
tačka ima proizvoljno malu okolinu čiji rub ne seče skup.
Fraktalna dimenzija je vrednost koja nam daje uvid u
to u kojoj meri neki fraktal ispunjava prostor u kojem se nalazi. Postoji
mnogo definicija fraktalne dimenzije i ni jedna se ne može smatrati univerzalnom.
Fraktalnu dimenziju je najbolje objasniti na primeru Cantor-ovog skupa.
Cantorov skup
Taj jednostavni fraktal izum je George Cantor-a ,nemačkog matematičara,
osnivača teorije skupova,koji ga je proučavao još 1872. Kako je sa slike
očigledno, nastaje primenom jednostavnog algoritma: uzmemo jediničnu pravu,zatim
posmatramo skup tačaka na toj pravoj Sk=[0,1],
izbacimo tačke intervala [1/3,2/3] iz skupa
Sk, potom istu operaciju primenimo na
preostala dva odvojena dela prave tj. izbacimo tačke intervala [1/9,2/9]
i [7/9,8/9] i tako dalje. Očigledno je da svaka iteracija
odreže 1/3 skupa koji je ostao od prethodne iteracije.
Dužina skupa u n-toj iteraciji ja tada (2/3)n , ako je
početna dužina jedinična,međutim,svejedno i kada n→∞,skup
ima beskonačno mnogo elemenata.
Fraktali su geometrijski objekti čija je fraktalna dimenzija
strogo veća od topološke dimenzije. Drugim rečima,to su objekti koji daju
jednaki nivo detalja bez obzira na broj iteracija koji koristimo tj. količinu
razdeljivosti. Dakle, fraktale je moguće uvećavati beskonačno mnogo ,a
da se pri svakom novom uvećanju vide neki detalji koji pre uvećanja nisu
bili vidljivi i da količina novih detalja uvek bude otprilike jednaka.
Oni su (barem približno) samoslični tj. sastoje se od umanjenih verzija
samih sebe,ali i suviše nepravilni da bi se opisali jednostavnom geometrijom.
Laički rečeno,oni su "načičkani" do u beskonačnost.
Fraktalne slike nastaju iteracijom – upornim uzastopnim
ponavljanjem nekog računskog ili geometrijskog postupka.
Fraktali su, dakle, slike nastale ponovljenim matematičkim računom ili
geometrijskom konstrukcijom
Osnove
Jedne od najjednostavnijih i najpoznatijih fraktalnih krivih su Kochova
kriva i Kochova pahuljica,koje je predstavio švedski matematičar
Niels Fabian Helge von Koch (1870.-1924.) 1904.godine.Razlika
izmedju krive i pahuljice je u tome što se kod konstrukcije krive počinje
sa pravom,a kod pahuljice sa jednakostraničnim trouglom. Topološka dimenzija
im je 1,a fraktalna
Krećemo od prave (nulta iteracija) koju podelimo na 3 jednaka segmenta,zatim
na srednji segment dodamo još dve prave jednakih dužina (1/3 dužine prvobitne
dužine), tako da zajedno sa srednjim segmentom prave jednakostranični
trougao. Nakon toga uklonimo srednji segment.Sada imamo 4 prave jednakih
dužina i to nazivamo prvom iteracijom.Drugu iteraciju dobijamo tako što
svaku od četiri prave prve iteracije zamenimo umanjenom verzijom cele
prve iteracije.Kochovom krivom nazivamo geometrijski lik koji nastane
kad broj iteracija teži nuli.Skup tačaka početne prave koji ostane "na
kraju" jednak je Cantorovom skupu. Kochova kriva → konstrukcija
Krećemo od prave (nulta iteracija) koju podelimo na
3 jednaka segmenta,zatim na srednji segment dodamo još dve prave jednakih
dužina (1/3 dužine prvobitne dužine), tako da zajedno sa srednjim segmentom
prave jednakostranični trougao. Nakon toga uklonimo srednji segment.Sada
imamo 4 prave jednakih dužina i to nazivamo prvom iteracijom.Drugu iteraciju
dobijamo tako što svaku od četiri prave prve iteracije zamenimo umanjenom
verzijom cele prve iteracije.Kochovom krivom nazivamo geometrijski lik
koji nastane kad broj iteracija teži nuli.Skup tačaka početne prave koji
ostane "na kraju" jednak je Cantorovom skupu.
Kochova kriva, prva iteracija
Kochova kriva, druga iteracija
Kochova kriva, treća iteracija
Kochova pahuljica se stvara na isti način kao Kochova kriva,ali tako što se uzmu tri početne prave i stave tako da obrazuju jednakostranični trougao. Sa svakom od prava učinimo isto što i sa nultom iteracijom Kochove krive da bi smo dobili prvu iteraciju.
Kochova pahuljica → konstrukcija:
Kochova pahuljica se stvara na isti način kao Kochova kriva,ali tako
što se uzmu tri početne prave i stave tako da obrazuju jednakostranični
trougao. Sa svakom od prava učinimo isto što i sa nultom iteracijom Kochove
krive da bi smo dobili prvu iteraciju.
Kochova pahuljica, nulta iteracija
Kochova pahuljica, prva iteracija
Kochova pahuljica, druga iteracija
-stvaranje Kochove pahuljice-
Još jedan od poznatih fraktala je trougao Sierpińskog,
koji je opisao poljski matematičar Wacław Franciszek
Sierpiński 1915. godine. Njegova fraktalna dimenzija je
.
Nulta i prve četiri iteracije trougla Sierpińskog
Da bi konstruisali trougao Sierpińskog, počinjemo od
jednakostraničnog trougla(nulta iteracija) koji se zameni trima trouglovima
upola manje dužine stranice(prva iteracija). Zatim se postupak ponovi
sa svakim trouglom (druga iteracija) i tako u beskonačnost.
Podela
Postoje razni načini klasifikacije fraktala.Jedan od načina je svrstati
ih po stupnju samosličnosti.Potpuno samoslični fraktali
su oni koji sadrže kopije sebe koje su slične celom fraktalu.Primeri ove
grupe su svi geometrijski fraktali kao što su trougao Sierpińskog,
Kochova kriva, Hilbertova kriva, Cantorov skup itd. Ako
fraktal sadrži male kopije sebe koje nisu slične celom fraktalu,nego se
pojavljuju u iskrivljenom obliku,govorimo o kvazi samosličnom
fraktalu. To su Mandelbrotov i Julijin skup i sl. Moguće
je i da fraktal ne sadrži kopije samog sebe,ali da neke njegove osobine
(npr. fraktalna dimenzija) ostaju iste pri različitim procenama. u tom
slučaju govorimo o statističkoj samosličnosti,a tipičan
primer je Perlinov šum.
Fraktale je moguće klasifikovati i po načinu njihovog nastanka.Sistemi
iteriranih funkcija nastaju korišćenjem homotetije,translacije ili rotacije
kopije i mogućim zamenjivanjem nekog elementa kopijom. Fraktali
definisani rekurzivnim relacijama određeni su
rekurzivnom formulom koja određuje da li određena tačka prostora(npr.
kompleksne ravni) pripada skupu ili ne. Slučajni fraktali
nastaju crtanjem grafova nekih stohastičkih procesa npr. Brownovog gibanja.Zanimljivo
je da i prva i druga podela daje isti rezultat- sistemi iteriranih funkcija
daju potpuno samoslične fraktale,fraktali definisani rekurzivnim relacijama
su kvazi samoslični,a slučajni fraktali su statistički samoslični.Zbog
jednostavnosti,za te tri skupine se koriste nazivi geometrijski, algebarski
i stohastični fraktali. Ta podela izgleda ovako:
1.geometrijski fraktali
- na pravi - Cantorov skup
- u ravni - Cantorova prašina, Kochova kriva, trougao Sierpińskog,
tepih Sierpińskog, Apolonijeva mreža, beskonačno guste krive: Peanova
kriva, Hilbertova kriva, kriva Sierpińskog, zmajolika kriva
- u trodimenzionalnom prostoru - Oktaedarski fraktal, Dodekaedarski fraktal,
Ikosaedarski fraktal, zatim analogoni nižedimenzionalnim fraktalima:
Cantorov oblak, Kochova površina, tetraedar Sierpińskog
2.algebarski fraktali
Julijin skup, Mandelbrotov skup, goreći brod 3.stohastični fraktali
bifurkacijski dijagram, Lorenzov atraktor, Brownovo
gibanje i Brownovo drvo, Perlinov šum
Primena
Najčešća primena fraktala je u računarskoj grafici. Najjednostavniji primer
je stvaranje terena,posebno planina. Planina se stvara tako što se horizontalno
položenom trouglu svaki vrh povisi ili snizi za slučajno odabranu vrednost.
Tada se dobijenom trouglu spajaju polovine stranica,te se tako dobijaju
četiri nova trougla. Srednjem od njih (omeđenom trima pravama koje spajaju
polovine stranica prvobitnog trougla) povisimo ili snizimo vrhove kao i
početnom trouglu,ali koristimo dvostruko manje vrednosti. Postupak se onda
ponavlja za sva četiri trougla. Planine se mogu napraviti i na drugi način,
pomoću Perlinovog šuma.
Planina stvorena koristeći Perlinov šum Rastinje
stvoreno pomoću fraktala
Pomoću sistema iteriranih funkcija u tri dimenzije moguće
je kreirati raznoliko rastinje - grmove,drveće,busene trave i sl. Rezultati
mogu biti zapanjujuće slični stvarnim pojavama u prirodi.
Fraktali se koriste i u kompresiji podataka.Od manje važnih primena tu
je (naravno,veoma ograničeno) predviđanje nekih stohastičkih procesa kao
što su potresi; slaganje snopova optičkih vlakana, oponašanje rada neuronskih
mreža za razvoj veštačke inteligencije itd. Za male uređaje,kao što su
mobilni telefoni,proizvode se antene u obliku fraktala koje,zbog toga,mogu
koristiti širok spektar frekvencija ne zauzimajući mnogo mesta.
Model za vojnu kamuflažnu odeću koristi fraktalnu strukturu koja se nigde
ne ponavlja,te se stoga mnogo teže primećuje u prirodi,gde ništa nije
matematički pravilno. Rade se istraživanja za lečenje aritmije srca,gde
srce kuca u haotičnom režimu. Spoljnom stimulacijom srca pokušava da se
postigne prelaz u pravilan režim. Na kraju,neke fraktalne strukture su
izrazito lepe,pa se prezentuju kao umetnička dela.
Fraktali u prirodi
Kristalizirani med daje fraktalnu strukturu Fraktalna
struktura brokule
Mogućnost primene fraktala leži u činjenici da su mnogi
od njih slični prirodnim pojavama.Često se kao primer koristi posebna
vrsta brokule i paprat. Med kristalizira u fraktalne oblike ,a drveće
je,kao i paprat,po svojoj prirodi fraktalnih svojstava (deblo se grana
na grane koje se granaju na grančice...). Zapravo,na neki način,ceo
svet je sačinjen od fraktalnih oblika. Mandelbrot je koristio primer
obale mora kao fraktal. Svi fraktalni postupci se mogu nastaviti sve
do molekulskih razmera. Mnogo je delova ljudskog tela fraktalne strukture.
Očigledan primer je sistem krvnih žila,koje u principu imaju istu strukturu
kao i drveće. DNK
se vezuje dajući fraktalnu strukturu. Primeri su nebrojani.
L-sistem
L-sistem ili Lindenmayerov sistem je
formalna gramatika koja je najpoznatija po primeni u modeliranju rasta
procesa razvoja biljaka, ali i za modeliranje morfologije raznih organizama.
L-sistemi se mogu koristiti za generisanje samosličnih fraktala kao što
su sistemi iteriranih funkcija. L-sistem je uveo i razvio 1968. mađarski
teoretski biolog i botaničar sa Univerziteta u Utrechtu, Aristid Lindenmayer
(1925.–1989.).
Struktura L-sistema
Rekurzivna priroda L-sistema vodi ka samosličnosti i stoga fraktalnim
oblicima koji se lako opisuju L-sistemom. Modeli biljaka i izgledom prirodnih
organskih oblika se slično lako definišu, a kako se dubina rekuzije povećava,
oblik polako 'raste' i postaje složeniji. Lindemayerovi sistemi su takođe
popularni u generisanju veštačkog života.
Gramatike L-sistema su vrlo slične semi-Thue gramatici. L-sistemi su danas
uobičajeno poznati kao parametarski L sistemi definisani n-torkom:
G = {V, S, ω, P},
gde je
- V (abeceda) - skup simbola koji sadrže elemente
koji mogu biti zamenjeni (varijable)
- S - skup simbola koji sadrže elemente koji ostaju fiksirani
(konstante)
- ω (početak, aksiom ili inicijator) - niz simbola iz V koji definišu inicijalno stanje sistema
- P - skup pravila produkcija ili produkcija koje definišu način na koji varijable mogu biti zamenjene konstantama i drugim varijablama. Produkcija se sastoji od dva stringa - prethodnika i sledbenika.
Primer 1: Fibonaccijevi brojevi
Ako definišemo sledeću jednostavnu gramatiku: varijable : A B
konstante : nijedna
početak : A
pravila : (A → B), (B → AB)
tada ovaj L-sistem generiše sledeći raspored stringova:
n = 0 : A
n = 1 : B
n = 2 : AB
n = 3 : BAB
n = 4 : ABBAB
n = 5 : BABABBAB
n = 6 : ABBABBABABBAB
n = 7 : BABABBABABBABBABABBAB
Ovo su slike u ogledalu stringova prvog primera, sa zamenjenim A i B. Još jednom, svaki je string nadovezivanje prethodna dva, ali u obrnutom redosledu.
U bilo kojem od primera, ako izračunamo dužinu svakog stringa, dobijemo
poznati Fionaccijev niz brojeva:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...
Za n>0, ako brojimo k-tu poziciju od invarijantnog kraja stringa,
vrednost je određena time pripada li stepen zlatnog preseka unutar intervala
(k-1,k). Razmer A i B stoga konvergira ka zlatnom preseku. Ovaj primer
daje isti rezultat (u terminima dužine svakog od stringova, ne u nizovima
simbola A i B) ukoliko je pravilo (B → AB) zamenjeno pravilom
(B → BA). Primer 3: Cantorov skup
varijable : A B
konstante : nijedna
početak : A {početni znak stringa}
pravila : (A → ABA), (B → BBB)
Neka A znači "crtaj napred" i B znači "pomakni napred".
Ovo generiše poznatov Cantorov fraktalni skup za realnu pravu u R.
Primer 3: Kochova kriva
Varijanta Kochove krive koja koristi samo prave uglove.
varijable : F
konstante : + −
početak : F
pravila : (F → F+F−F−F+F)
Ovde, F znači "crtaj napred", + znači "zarotiraj ulevo za 90°", i - znači "zarotiraj udesno za 90°"
n = 0:
F
n = 1:
F+F-F-F+F
n = 2:
F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F
n = 3:
F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F+ F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F- F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F- F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F+ F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F
Primer 4: Fraktalna biljka
varijable : X F
konstante : + −
početak : X
pravila : (X → F-X+X]+F[+FX]-X),(F → FF)
ugao : 25º
Ovde, F znači "nacrtaj napred", - znači "zarotiraj ulevo
za 25º" i + znači "zarotiraj udesno za 25º". X ne odgovara
nijednoj akciji crtanja i koristi se za upravljanje evolucijom krive.
[ odgovara spremanju trenutnih vrednosti za poziciju
i ugao, koje se vraćaju izvršavanjem odgovarajućeg ].
Zmajolika kriva
Zmajolika kriva (en. Dragon curve) je beskonačno
gusta kriva koja je dobila ime po mitološkom biću kojem je slično. Ponekad
se to ime koristi za sve fraktalne krive koje se mogu konstruisati rekurzivnim
metodama kao što je Lindenmayerov sistem.
Konstrukcija → najčešće se crta pomoću L-sistema
- ugao: 90 º
- početak: FX
- pravila:
- X X + Y F +
- Y - F X - Y
- značenje:
- F = "crtaj napred"
- - = "zarotiraj u smeru kazaljke na satu za 90 º "
- + = "zarotiraj u smjeru suprotnom od smera kazaljke na satu za 90 º "
- prva iteracija: F X + Y F +
- druga iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F +
- treća iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F + + - F X + Y F + - - F X - Y F +
- četvrta iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F + + - F X + Y F + - - F X - Y F + + - F X + Y F + + - F X - Y F + - - F X + Y F + - - F X - Y F +
Osim toga, moguće ju je prikazati i kao sistem rekurzivnih funkcija u kompleksnoj
ravni:
,
Uprkos čudnom obliku, zmajolika kriva ima relativno jednostavne dimenzije:
Površina se jednostavno može videti iz njenog popločanja: površina slike
gore je pola kvadratne jedinice.
Samosličnost je jasno vidljiva: svaki "deo"
je manji za
i rotiran za 45˚.
Fraktalna dimenzija joj je, kao i svim beskonačno gustim krivama u ravni
2, a fraktalna dimenzija njene granice se procenjuje na 1.5238.
Perlinov šum
Perlinov šum je vrsta matematičke funkcije koja se koristi
na nebrojene načine u računarskoj grafici. Funkcija se dobija sabiranjem
više funkcija koje su dobijene slučajnim odabiranjem tačaka, gde svaka
sledeća funkcija ima dvostruko manju amplitudu i dvostruko veću frekvenciju.
Osmislio ju je Ken Perlin 1983. godine.
Konstrukcija
Postupak ćemo objasniti na primeru jednodimenzionalne funkcije. Prvu
funkciju konstruišemo tako da na određenom segmentu apscise odredimo pet
jednako udaljenih tačaka i pripišemo im slučajno izabrane vrednosti intervala
[-128,128], zatim interpoliramo ostale tačke odabranim postupkom, u ovom
slučaju kosinusnom interpolacijom:
Drugu funkciju konstruišemo na isti način, samo što odabiramo devet tačaka
(uključujući i pet iz prošle funkcije) i pripisujemo im slučajne vrednosti
u intervalu [-64, 64]. Sad imamo (približno) dvostruko više tačaka, a
amplituda je dvostruko manja:
Nastavljamo na isti način, sa 17 tačaka intervala [-32 i 32]:
33 tačke, vrednosti u intervalu [-16, 16]:
65 tačaka, intervala [-8, 8] (ovde tačke nisu naglašene jer ih je previše):
Na kraju jednostavno saberemo sve te funkcije dobijajući planinoliku strukturu
zvanu Perlinov šum u intervalu [-120, 120]:
Svojstva
Perlinov šum je funkcija spojena od više funkcija od kojih svaka ima "izbočine"
i "udubine". One su otprilike jednakih dimenzija na pojedinoj
funkciji, ali se njihove dimenzije razlikuju kad se te funkcije upoređuju.
Time skup tih funkcija daje strukturu koja ima velike "izbočine"
i "udubine", na kojima postoje manje, a koje opet sadrže još
manje, i tako unedogled. To je temeljni razlog zbog kojeg Perlinov šum
toliko podseća na planinu - planine takođe imaju neki osnovni oblik, ali
i taj osnovni oblik ima svoje udubine i izbočine, koje nisu ravne...Potrebno
je napomenuti da Perlinov šum nije jedna određena funkcija, nego se svaki
put dobije drugačiji rezultat. To je posledica uzimanja slučajnih vrednosti
za tačke. Perlinov šum spada u kvazi-samoslične fraktale. To je stoga
što se uvećavanjem slike uvek dobija još veći nivo detalja,ali ipak nijedan
deo slike nije sličan (u matematičkom smislu) celini. Naravno, ovde govorimo
o "savršenom" Perlinovu šumu, koji bi bio skup beskonačno mnogo
funkcija (od kojih bi zadnja imala beskonačno malenu amplitudu i beskonačno
mnogo odabranih tačaka). U praksi se broj iteracija (funkcija koje se
sabiraju) određuje po potrebi. Fraktalna dimenzija ovisi o algoritmu kojim
je funkcija pravljena (npr. o vrsti interpolacije).
Primena
Perlinov šum se pretežno upotrebljava u računarskoj grafici. Najjednostavnija
primena je stvaranje grafičkih krajolika. Radi se o jednostavnom "crtanju"
dvodimenzionalne funkcije u trodimenzionalnom koordinatnom sistemu. Spektar
primena još se više proširuje jednostavnim "dorađivanjem" funkcije
Perlinova šuma. Ako uzmemo apsolutne vrednosti Perlinovog šuma i rezultat
prikažemo u tonovima narandzaste boje, rezultat će ličiti na vatru. Dodamo
li toj funkciji funkciju f(x) = sinx te malo promenimo boje, dobićemo
teksturu koja liči teksturi obrađenog mermera.Različitim matematičkim
i grafičkim postupcima možemo postići najrazličitije teksture.
Kako se određuje dimenzija fraktala?
|
1 dimenzija:
N pravih, svaka je dužine r: Nr1=1 |
|
2 dimenzije:
N kvadrata, svaki je površine r2: Nr2=1 |
|
3 dimenzije:
N kocaka, svaka je zapremine r3: Nr3=1 |
Fraktalna dimenzija se
opšte može definisati kao: |
|
gde je |
|
Evo nekoliko primera kako se računa fraktalna dimenzija:
|
Jedinična prava razdeljena je na
3 jednake manje prave. Svaka
je dugačka 1/3 jednične
prave,pa je r=1/3, N=4, a
dimenzija ovog fraktala:
D=ln(4)/ln(3)=1.26 |
|
Jedinična prava razdeljena je na
4 jednake manje prave. Svaka
je dugačka 1/4 jednične prave,
pa je r=1/4, N=8,a
dimenzija ovog fraktala:
D=ln(8)/ln(4)=1.5 |
|
Jedinična prava razdeljena je na
3 jednake prave (r=1/3) i svaka
se zamjenjuje uzorkom od 9
manjih pravih: N=9.
Dimenzija ovog fraktala je:
D=ln(9)/ln(3)=2
Kod ovog fraktala, za razliku od
prethodna dva, kada 1/r teži
beskonačnosti fraktal potpuno
prekriva ravan, D=2. |
LITERATURA:
- WWW.WIKIPEDIA.ORG
- WWW.ESKOLA.HFD.HR
- WWW.MATHOS.HR
- WWW.INET.HR
PROČITAJ
/ PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:
|
|
preuzmi
seminarski rad u wordu » » »
Besplatni
Seminarski Radovi
|
|