SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Broj Φ i Fibonačijev nizAkropolj je neponovljiv i jedinstven u antičkom svetu. Ovde su na jednom mestu skupljena najsavršenija dela grčke arhitekture i skulpture, a Partenon, kao blistavo savršenstvo Iktinosa, Kalikratesa i Fidije, sazdan na zlatnoj harmoniji broja, iskazuje svu prefinjenost osećaja za skladne kanone arhitektonskog sklopa i zanatsko majstorstvo obrade kamena. Plutarh je rekao: ˝Tako su te građevine uzrastale u svojoj ponosnoj veličini, a nenadmašne u čaru svojih oblika. To je dolazilo otuda što su se majstori nadmetali da jedan drugoga prevaziđu time što je svaki od njih svoj zanatski posao nadmašavao umetničkom izradom. Ali, najčudnovatije od svega bila je brzina kojom je sve svršavano... Stoga i Periklove građevine zaslužuju naše divljenje utoliko više što su podignute za tako kratko vreme i za tako daleku budućnost. Jer, ako je svaka građevina u svojoj lepoti i u svom sjaju već od početka nosila odliku starine, ona još i danas nosi odliku mladalačke svežine kakvu je nosila prvoga dana. Tako te građevine kao da cvetaju mladošću koja ih od veka štiti od zuba vremena. Čovek bi rekao da u tim umetničkim delima veje miris večna cveća i da u njima živi duša koja nikad ne stari.˝Baveći se matematikom, govoreći o pitagorejcima, Aristotel nas poučava: ˝Oni su elemente brojeva stavili ispred elemenata stvari.˝ , a ceo su kosmos objasnili kao broj i harmoniju. Taj idealistički pogled na svet, zapostavio je činjenicu da je broj samo kvantitet. Njihovi su brojevi 1, 2, 3 i 4, čijim se sabiranjem dobija 10, a ovo je sveti broj. Pitagorejsko učenje o brojevima, kao suštinama stvari, poslužiće između ostalog Platonu da izgradi idealističku filozofiju, koja je primarno kosmološka, mistička i teološka, a zapostavlja izučavanje prirode. O pitanjima proporcija i proporcionalnosti govori Euklid oko 300 godina p.n.e. u petoj knjizi svojih Elemenata, na čisto geometrijskoj osnovi. Nastavljajući učenje Platona i Eudoksa čiji je i sam bio đak, on prenosi matematička znanja u Aleksandriju pod čijim će se neposrednim uticajem razvijati istaknuti matematičari Arhimed i Apolonije. Neprekidna podela, kao jedini postojeći geometrijski niz u aritmetičkom poretku tj. gde je svaki član niza ne samo geometrijska sredina već i aritmetička razmera dva susedna člana, morala je sasvim razumljivo probuditi sveopštu pažnju. Neprekidnom podelom iskazan je na najpotpuniji način osnovni princip uzajamne usklađenosti među odabranim prirodnim tvorevinama i istaknutim umetničkim delima ljudskog stvaralačkog duha. Zlatni presek u elementarnoj geometriji.Zlatni presek je proporcija koja se često spominje kada se razmatraju odnosi rastojanja kod jednostavnih geometrijskih figura. Euklid postavlja u jedanaestom stavu druge knjige svojih Elemenata sledeći zadatak: ˝Datu duž podeli tako da pravougaonik obuhvaćen celom duži i jednim odsečkom bude jednak kvadratu na drugom odsečku.˝ Iz konstrukcije gornjeg zadatka sledi podela date duži po zlatnom preseku,
iako Euklid izričito napominje da se manji deo duži (minor), odnosi prema
većem (major) kao ovaj prema zbiru manjeg i većeg. Ovaj odnos Euklid naziva
neprekidnom podelom ili podelom u srednjoj i krajnjoj razmeri. AB:AT=AT:BT
T Tada kažemo da oni čine zlatni presek. Kako konstruisati
tačku koja datu duž deli tako da je odnos većeg dela prema manjem isti
kao i odnos cele duži prema većem delu? Heron je to uradio na sledeći
način: Ako su D i E tačke u kojima AC seče krug k, pri čemu je AD=AT, na osnovu teoreme o potenciji tačke u odnosu na krug biće AB²=AD*AE AB*BT=AT² Dakle, razlaganje duži AB tačkom T je zlatni presek. a:x=x:(a-x) a/x=x/(a-x) Posmatrajući sliku, možemo zaključiti da je, na osnovu Pitagorine teoreme: AC²=AB²+BC² Takođe važi da je: Pa sledi da je: x=a*(√5-1)/2 Pa je traženi odnos brojeva a:x jednak: x/a=(√5-1)/2 tj. a/x=(√5+1)/2 Broj a/x nastao iz zlatnog preseka duži AB, koji nije racionalan jer √5 nije racionalan, se obično obeležava grčkim slovom Φ ili Phi. Mi ćemo ga obeležavati sa τ, kao prvo slovo reči τομή (presek). On iznosi: τ=a/x=(√5+1)/2=1,6180339887... Takođe možemo primetiti da je: 1/τ=x/a=(√5-1)/2=τ-1=0,6180339887... odnosno da je 1+1/τ=τ. Možemo primetiti da je τ jedinstven realan broj
kojem je recipročna vrednost za jedan manja od tog broja. Iz ove jednačine
sledi da je τ koren kvadratne jednačine: Primenom ove nove oznake biće u znatnoj meri olakšano rukovanje neprekidnom podelom i omogućena bolja preglednost pojedinih brojeva ovog proporcijskog sistema. Fibonačijevi brojeviPočetkom XIII veka Leonardo Fibonacci (1180-1240) je upoznao Evropu sa radovima indijsko-arapskih matematičara, a time neposredno i kineskih. On je u svojoj raspravi Liber abaci (˝knjiga o abaku˝) 1202. godine izložio praktičan aritmetički problem: ˝Koliko pari zečeva će reprodukovati jedan par za godinu dana ako se pretpostavi da svakog meseca jedan par rodi novi par koji za dva meseca postane reproduktivan?˝ Zanimljiv je redosled brojeva do kojeg je došao proučavajući razmnožavanje
zečeva. Rešavanjem ovog zadatka dobio je niz brojeva na sledeći način:
prvog meseca eksperiment počinje jednim parom zečeva, u drugom mesecu
će postojati samo taj jedan par, u trećem mesecu će ih biti 2, u četvrtom
3, u petom 5, u šestom 8 itd.
Fibonaccijevi brojevi su najjednostavnija vrsta rekurzivnog niza. U ovom rekurzivnom nizu za formiranje n-tog člana reda moramo znati dva člana koji mu prethode. Dakle, za poznavanje ovog niza su najvažnija prva dva člana F1 i F2, jer se ostali članovi mogu dobiti iz relecije: Fn=Fn-1+Fn-2 Fibonači je otkrio neobične osobine ovog niza. 1/1 =1 Kepler je utvrdio da je odnos dvaju susednih članova niza u beskonačnosti
teže vrednosti zlatnog preseka. Dokazano je ponavljanjem relacije: Postoji interesantan niz jednačina za Fibonačijeve brojeve:
Imamo sledeće relacije između Fibonačijevih brojeva i zlatnog preseka: Ili u opštem slučaju: Pascalov trougaoNumeričke trouglove čine nizovi brojeva sa nekom pravilnošću. Posmatrajmo sledeći trougaoni raspored brojeva: 1 =1 =201 1 =2 =21 1 2 1 =4 =22 1 3 3 1 =8 =23 1 4 6 4 1 =16 =24 1 5 10 10 5 1 =32 =25 1 6 15 20 15 6 1 =64 =26 1 7 21 35 35 21 7 1 =128 =27 ....... Ovakav trougao je dobio naziv Paskalov trougao, po francuskom
matematičaru Blaise Pascalu (1623-1662). Otac nije dozvolio mladom
Blaiseu da uči matematiku sve dok ne napuni 15 godina, pa je matematičke
knjige uklonio iz kuće. Znatiželja izazvana tim činom navela je Paskala
da od 12 godina počne da samostalno proučava geometriju. Nedugo zatim
otkrio je da zbir uglova u trouglu iznosi dva prava ugla. Kada je njegov
otac doznao za sinovo otkriće, dozvolio mu je da proučava Euklidovu geometriju.
Već sa 16 godina predstavlja nekoliko svojih radova iz oblasti projektivne
geometrije. (a+b)0 =1 1 1 =2 Sumiranje po osnovama ovog trougla daje drugu kolonu aritmetičkog trougla tj. kolonu prirodnih brojeva:1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Niz prirodnih brojeva je figurativno prava linija. Sada posmatrajmo trougaonu tabelu čije su sve kolone upravo ovaj niz prirodnih brojeva: 1 =1 Primetimo da sumiranje po osnovama daje treću kolonu aritmetičkog trougla, kolonu takozvanih trougaonih brojeva: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,... Razlika između svakog prethodnog broja je za jedan manja od sledećeg. Tako je između broja jedan i tri razlika dva, već između brojeva tri i šest razlika je tri.Trougaoni brojevi su simbol trougla i površine. Trougao u ravni čije su sve kolone nizovi trougaonih brojeva je dat u sledećoj formi: 1 =1 Ovoga puta sumiranje brojeva po osnovama gornjeg trougla rezultuje tetraedarskim
brojevima četvrte kolone aritmetičkog trougla. Niz ovih brojeva figurativno
predstavlja tetraedre-piramide, a dimenziono zapreminu: 1, 4, 10, 20,
35, 56, 84,... Isti postupak se može primeniti i na ostale brojne kolone
aritmetičkog trougla. Na taj način se gradi n-dimenzioni prostor a integracija
je veza između susednih kolona aritmetičkog trougla. 1 =1 Ako napišemo dupli Paskalov trougao i sumiramo delove: 1 =1 Igrajući se brojevima i prostorom ponovo ćemo ukazati na vezu aritmetičkog trougla i Fibonačijevih brojeva. Prikazaćemo Paskalov trougao u sledećoj varijanti i sabraćemo brojeve po osnovama: 1 =1 Sumirajući osnove Paskalovog trougla takođe se dobijaju Fibonačijvi brojevi. Fn+1=1*Fn + 1*Fn-1
1 Zbir članova svakog reda daje rezultate: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...
koji su kvadrati brojeva:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... Lukasovi brojeviFrancuski matematičar Fransis Eduard Anatol Lucas (1842-1891) je proučavao
Fibonačijevu seriju brojeva, i njoj pridružio jedan drugi niz koji je
dobio naziv po njemu. Lucas je najpoznatiji po svojim rezultatima u oblasti
teorije brojeva. Dokazao je da je broj 2127-1 prost broj. Osim u oblasti
teorije brojeva Lukas je poznat i u zabavnoj matematici po svom problemu
Hanojska Kula. Slikovitom kombinacijom Fibonačijevih brojeva
mogu se dobiti takozvani Lukasovi brojevi. Preciznije, svaki Lukasov broj
je zbir prethodna dva Lukasova broja. Razlika u definiciji je što Lukasov
niz počinje sa 2 i 1 umesto sa 0 i 1. Lukasov niz izgleda ovako: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, ... i njegovi članovi se dobijaju kao zbir određenih članova Fibonačijevog niza. 1 2 3 5 8 13 21 34 55... odnosno Ln=Fn-1+Fn+1 Ovaj niz ima osobinu sličnu osobinama Fibonačijevog niza. Svaki novi član Lukasovog niza brojeva jednak je zbiru dva prethodna člana. Takođe, količnik dva uzastopna Lukasova broja teži vrednosti zlatnog preseka: Postoji recipročna veza između Lukasovih brojeva i koeficijenata Paskalovog trougla. Postoji beskonačno mnogo rekurzionih relacija za Lukasove brojeve: Ln+1 = 1*Ln + 1*Ln-1 Očigledno je da je struktura Paskalovog trougla ugrađena u ove rekurzione relacije, koje sasvim pouzdano ukazuju na postojanje veze između koeficijenata Paskalovog trougla i Lukasovih brojeva. Veza između Fibonačijevog i Lukasovog nizaLukasovi brojevi se mogu na jednostavan način dobiti pomoću Fibonačijevih brojeva: L(n) = 2F(n-1) + F(n) I Fibočijevi brojevi se mogu izraziti preko Lukasovih brojeva. Na primer: 5*Fn+2 = 1*Ln + 3*Ln+1 Takođe je moguće i Lukasove brojeve izraziti pomoću Fibonačijevih brojeva, što ukazuje na njihovu međusobnu povezanost. Postoji beskonačna serija rekurzionih relacija za izračunavanje Lukasovih brojeva pomoću Fibonačijevih brojeva. Koeficijenti u ovim jednačinama grade niz Lukasovih brojeva: Ln+2 = 1*Fn + 3*Fn+1 Veza između Lukasovih i Fibonačijevih brojeva je mnogostruka. Prethodnim rekurzionim jednačinama simetrične su neke druge grupe jednačina. Na primer, rekurzione jednačine koje služe za izračunavanje Lukasovih brojeva sa Fibonačijevim brojevima kao koeficijentima. Ln+2 = 1*Ln + 1*Ln+1 Takođe se mogu napisati rekurzione jednačine za izražavanje Fibonačijevih brojeva preko Fibonačijevih brojeva. Fn+2 = 1*Fn + 1*Fn+1 Obrazujmo niz od zbira četri uzastopna Lukasova broja tj. Ln+Ln+1+Ln+2+Ln+3 Tada dobijamo Fibonačijev niz brojeva 5*Fn+3, odnosno: Kao što znamo, broj τ je koren kvadratne jednačine: a² – a – 1 =0 Takođe važi jednačina 1 + 1/τ = τ . Označimo broj 1/ τ sa T, i tada zamenjujući u kvadratnu jednačinu dobijamo: (1+T)²–(1+T)–1=0 Znači, 1/τ je koren prethodno dobijene kvadratne jednačine. H²+H=1 koji je analogna sa dobro poznatom jednačinom: T²+T=1 što će značiti da je Za Fibonačijeve i Lukasove brojeve koristimo sledeće operatorske jednačine: H=1/(1+H) Koristeći dve jednačine možemo napisati: 1+H=1+1/(1+H)=(2+H)/(1+H) Tada dobijamo sledeći niz jednačina: 1 = 2*H² + 1*H³ 1 = Fn+1*Hn + Fn*Hn+1 Koristeći identitet između H i T možemo pisati: Za Lukasove brojeve dobijamo sledeću jednakost: Ln+1 = Tn + (1+T²)*Fn Binetova formula za dobijanje Fibonačijevih brojevaBinetova formula za n-ti član Fibonačijevog niza dobija se rešavanjem rekurentnih jednačina. α+β=1
۷
α*β=-1 an+1- αan= β(an-α an-1) Ako svaku od poslednjih jednakosti izjednačimo sa poslednjom, dobijamo: an- αan-1= βn-2(1-α) Ako pomnožimo prvu jednakost sa α0, a drugu sa α2, treću sa α0, pretposlednju sa αn-3, a poslednju sa αn-2, dobićemo: an- αan-1= βn-2(1-α) Saberimo sada ove jednakosti: an- αn-1=(1-α)( α0βn-2 + αβn-3 +...+ αn-3β + αn-2β0) an=( αn- βn)/( α- β) Ako se vratimo na početak i prisetimo se da smo α i β birali kao rešenja jednačine t²-t-1=0 α=(1+√5)/2 β=(1-√5)/2 an=[ ( (1+√5)/2)n-( (1-√5)/2)n ] / √5 Fn= ((1+√5)n-(1-√5)n)/ 2n√5 Sabiranje, oduzimanje i množenje m-tog i n-tog člana Fibonačijevog nizaAko je poznat 3. i 5. član, koju vrednost ima 8. član Fibonačijevog niza?
Kako je indeks traženog člana mali broj, njegovu vrednost lako možemo
izračunati. Međutim, kada su u pitanju brojevi koji se ne nalaze na samom
početku niza, situacija postaje malo složenija. Fn+m=( FnLm+FmLn )/2 Ako su nam poznati n-ti i m-ti članovi, a hoćemo da znamo m-n-ti, odredićemo ga pomoću formule: Fm-n=(-1)n( FmLn-FnLm )/2 Ako želimo da pod istim uslovima znamo m*n-ti član Fibonačijevog niza, možemo koristiti sledeću formulu: Fmn=L(m)Fm(n-1) - (-1)mFm(n-2) Neki algebarski identiteti Fibonačijevog nizaKako ćemo sada na osnovu prethodnih formula odrediti 2n-ti član kada nam je poznat n-ti? F2n=Fn+n F2n= Fn(Fn-1+Fn+1) Na sličan način dobijamo da je: F3n=F³n+1-F³n+F³n-1 Takođe važe i sledeći identiteti: F²n+1=4FnFn-1+ F²n-2 Suma svih brojeva do nekog n-tog člana se može izračunati po formuli: F1+F2+F3+...+Fn=Fn+2-1 Dokažimo da se suma kvadrata prvih n članova Fibonačijevog niza računa po formuli: F²1+F²2+F²3+...+F²n=FnFn+1 Koristeći matematičku indukciju, ispitujmo prvo da li je jednakost tačna za n=1. F²1=F1*F1+1 Jedankost je tačna. Pretpostavimo da je jednakost ispunjena za n. Proverićemo da li tvrđenje važi i za n+1. član. F²1+ F²2+ F²3+...+ F²n+ F²n+1= F²n+1+FnFn+1 Honsbergove relacije Fn+m=Fn-1Fm+FnFm+1 D'Ocanenov identitet F4n-Fn-2Fn-1Fn+1Fn+2=1 Catalanijev identitet F2n-Fn+rFn-r=(-1)n-rF²r Kvadratni izraz F2n=(L2n-2(-1)n)/5 Zanimljiva svojstva broja τKao što znamo, τ je koren kvadratne jednačine a²-a-1=0, pa važi jednačina: τ²-τ-1=0 Pa, možemo zaključiti da je kvadrat boja τ jednak broju τ uvećanom za jedan. Ovaj izraz možemo svesti na kvadrat binoma, tako što, kao prvo, rastavimo zadnji član. τ²-τ+1/4-5/4=0 τ²-τ+1/4=5/4 (τ-1/2)²=5/4 /√ τ-1/2=±√(5/4) τ=1/2±√(5/4) Poznat je izraz: Kao što znamo: Uočimo da su u prvom izrazu koeficijenti 0 i 1 Fibonačijevi brojevi tj. nulti i prvi član Fibinačijevog niza. Slično u drugom izrazu koeficijenti su prva dva člana Fibonačijevog niza. Ako sledimo istu pravilnost, vidimo da je: τ 3=1+2* τ Ako bismo ovu pravilnost prikazali opštom formulom, ona bi izgledala ovako: τ n=Fn-1+Fn* τ τ n=a+b* τ Prvi sledeći bi mogli zapisati kao: τ n+1=a*τ+b* τ2 Uzmimo u obzir da je τ2=1+1*τ i tako ga zapišimo: τ n+1=a*τ+b*(τ+1) τ n+1=a*τ+b*τ+b τ n+1=τ*(a+b)+b Pa je u ovom izrazu a+b sledeći član Fibonačijevog niza tj. a+b i b su sledeća dva uzastopna član ovog niza, i time smo dokazali tačnost ove formule. Fibonačijev niz i τ svuda oko nasSa Fibonačijevim brojevima se susrećemo svaki dan, a da to i na opazimo. Fibonačijevi brojevi se pojavljuju na raznim biljkama, od dana klijanja pa sve do cvata. Prilikom rasta mlade biljke, ona se grana i pušta lišće po Fibonačijevim brojevima. Broj latica na cvetu je 3, 5 ili 13, no ima ih i sa više, ali one obično prate tu pravilnost. Malo koja biljka ima 4 ili 6 latica. Kada na stabljici biljke rastu novi listovi oni stoje u obliku zavojnice (spirale) oko stabljike. Fibonačijevi brojevi se javljaju kao količnik broja zaokreta spirale i broja međuprostora između listova. Posmatrajmo listove broj 1, 4, 9 koji se nalaze na izabranom pravcu duž stabljike sa listovima:
Priroda se brine za pravilan raspored listova na stabljici kako donji
listovi ne bi bili zasenjeni donjim i kako bi se svetlo najbolje iskoristilo.
Da mnoge biljke slede spiralni rast matematičke preciznosti, posebno suncokret i kaktusi, odavno je primećeno, ali do sada se nije znalo zašto. Spirale je lako zapaziti. Kaktusova glava je pun ispupčenja a svaka ima čičak. Kod nekih kaktusa se može, polazeći od centra, nacrtati spirala koja povezuje vrh svakog ispupčenja sa sledećim. Tako se mogu dobiti različiti obrasci sa spiralama: sa tri, pet ili osam spirala. Mehanizam neprekidne podele igra posebnu ulogu u likovnom stvaralaštvu,
a ponajviše u oblasti apstraktnih geometrijskih oblika, kombinovanih kroz
konstrukciju, funkciju i merilo čoveka u određene prostorne celine. Literatura:
preuzmi seminarski rad u wordu » » »
|