Šta je matematika? Kad biste ovo pitanje postavili
prvoj osobi na koju naiđete, odgovor bi najverovatnije glasio: ,,Matematika
proučava brojeve." Ako biste insistirali da vaš sagovornik
bude određeniji, možda biste izmamili objašnjenje da je matematika „nauka
o brojevima". Dalje od ovoga ne biste stigli, iako to nije
odgovarajući opis matematike. Prevaziđen je već 2500 godina! Odgovor
na pitanje „Šta je matematika?" menjao se nekoliko puta
od tada. Za mnoge ljude matematika je operisanje s brojevima. Može se
reći da postoji još mnogo „mitova“. Na primer:
• Matematičari imaju glavu za brojeve. ( Neki imaju, neki ne. )
• Matematičari vole da sabiraju duge kolone brojeva. ( Ovo sigurno
niko ne voli. )
• Matematičari lako saldiraju svoje čekovne knjižice
• Matematičari uživaju u istovremenom rešavanju deset linearnih jednačina
s deset nepoznatih u sebi. ( Neko ih npr. voli kao srednjoškolac)
• Svi studenti matematike postanu profesori matematike il računovođe
kad diplomiraju. ( Neki postanu, al mnogi rade nešto drugo. )
• Matematičari nisu kreativni. ( Ako verujete u ovo , sigurno ne razumete
šta je matematika. )
• Ne postoji lepota u matemetici. ( Ovo je besmislica! )
• Matematika je predvidiva. Podrazumeva praćenje preciznih pravila.
( Kao i muzika, drama, vajarstvo, slikarstvo, pisanje romana i fudbal?
)
• U matematici uvek postoji pravi odgovor. ( I nalazi se na kraju
knjige. )
Svakome ko razume šta je matematika jasno je da su gore navedene tvrdnje
netačne i da njihovo pobijanje nije ni potrebno.
Životnjska priroda
Najbolja kratka definicija matematike glasi : Matematika je nauka
o pravilima. Ova definicija prvi put se pojavila kao naslov jednog
članka u časopisu „Sajens“( Science ) koji je 1988. godine napisao matematičar
Lin Stin ( Lynn Steen ). Stin priznaje da je nije on smislio. Najstariji
pisani izvor definicije matematike nalazi se u knjizi „ Preludijum za
matematiku“ (Prelude to Mathematics), V. V. Sojera (W. W. Sawyer), iz
1955. godine:
„ Matematika je klasifikacija i proučavanje svih mogućih pravila.”
Reč pravilo ovde je upotrebljena na način s kojim se neće naravno mnogi
složiti. Treba je razumeti u veoma širokom smislu, tako da obuhvati
gotovo svaku vrstu pravilnosti koju um može da uoči. Život, posebno
intelektualni život, moguć je samo zato što u svetu postoje određene
pravilnosti. Ptica uočava crne i žute pruge na osi; čovek uočava da
sejanje semena izaziva rast biljke. U svakom slučaju možemo reći da
je um svestan pravilnosti.
Endru Glison ( Andrew Gleason ) sa Harvardskog univerziteta
dao je sličnu definiciju matematike. U članku koji je objavljen u Biltenu
Američke akademije nauke i umetnosti, oktobra 1984, napisao je:
„Matematika je nauka o redu“. Ovde se misli na red zakonitosti
i pravilnosti. Cilj matematike jeste da prepozna i opiše izvore reda,
vrste reda i veze između njih.
Uticajnost fraze „ nauka o pravlima “najvećim delom dolazi od njene
sažetosti. Ali ponekad sažetost može dovesti i do pogrešnog razumevanja.
U ovom slučaju reč „pravilo“ zahteva dodatno objašnjenje. Ona u svakom
slučaju nije ograničen ana vidljive pravilnosti, kao što su šare na
tapetama ili pločicama za kupatilo, iako se i jedne i druge mogu matematički
proučavati. Malo opširnija definicija glasila bi: „ Matematika je nauka
o redu, pravilima, strukturi i logičkim vezama. “Ali, s obzirom na to
da ono što matematičari u ovom kontekstu vezuju za reč „ pravilo “ obuhvata
sva značenja te reči, kraća verzija dovoljno govori (samo pod uslovom
da se razume reč „pravilo“).
Pravilnosti i odnosi koje proučavaju matematičari nalaze se svuda u
prirodi: simetrične šare n acvetovima, često komplikovani oblici čvorova,
orbite koje opisuju planete tokom kretanja , šare na leopardovom krznu,
izborna raspodela stanovništva , pravila koju pružaju slučajni ishodi
u bacanju kockica ili ruletu, odnosi između reči koje čine rečenicu,
zvukovni šabloni koje prepoznajemo kao muziku. Ponekad su pravila numerička
i mogu se opisti pomoću aritmetike – izborna raspodela , na primer.
Ali, često nisu numerička - kao što je slučaj sa oblicima čvorova i
simetričnošću šarana cvetovima, koji nemaju mnogo veze sa brojevima.
Pošto proučava tako tako apstraktne pravilnosti, matematika nam često
dozvoljava da uvidimo – a možda i iskoristimo – sličnosti između dve
pojave koje su na prvi pogled potpuno različite. Stoga o mtematici možemo
razmišljati kao o pojmovnim naočarima koje nam omogućavaju da vidimo
ono što je inače nevidljivo – kao o nekoj vrsti mentalnog ekvivalenta
rendgena u fizici ili vojničkih naočara za noćno osmatranje. Uz pomoć
matematike možemo nevidljivo učiniti vidljivim . Evo nekoliko primera
kako matematika nevidljivo čini vidljivim.
Bez matematike nikako ne biste mogli da razumete šta održava džambo
- džet u vazduhu. Kao što je svima poznato, veliki metalni predmeti
ne zadržavaju se iznad zemlje, ako ih nešto ne podupire. Ali, kad pogledate
u avion koji vam leti nad glavom, videćete da ga niko ne drži. Da biste
„videli“ šta drži avion u vazduhu , potrebna je matematika – u ovom
slučaju jednačin akoju je otkrio matematičar Danijel Bernuli ( Daniel
Bernoulli ), početkom osamnaestog veka.
Pitamo se šta je uzrok tome što svi predmeti, osim aviona, pdaju na
zemlju čim ih ispustimo? „Gravitacija“,
odgovorićemo. Ali, tako smo samo imenovali pojavu. I dalje je nevidljiva.
Isto tako bismo je mogli nazvati i magijom. Njutnove jednačine kretanja
i mehanike, u sedamnaestom veku, omogućile su nam da „ vidimo “ nevidljive
sile zbog kojih Zemlja rotira oko Sunca i zbog kojih jabuka pada s drveta
na zemlju.
I u Bernulijevoj jednačini i u Njutnovim jednačinama koristi se račun.
Račun funkcioniše tako što beskrajno male veličine čini vidljivim. Ovo
je još jedan primer pretvaranja nevidljivog u vidljivo.
Evo još jednog primera. Dve hiljade godina pre nego što smo bili u mogućnosti
da pošaljemo svemirski brod u svemir i fotografišemo svoju planetu,
grčki matematičar Eratosten koristio je matematiku da pokaže da je Zemlja
okrugla. U stvari, izračunao je njen prečnik, a otuda, sa znatnom tačnošću,
i njenu zakrivljenost.
Fizičari koriste matematiku u pokušajima da predvide konačnu sudbinu
vasione. U ovom slučaju, ono nevidljivo, što matematika čini vidljivim,
jeste događaj koji se još nije odigrao. Matematika je već korišćena
za gledanje u daleku prošlost, ona je učinila vidljivim inače nevidljive
trenutke kad je, u onome što nazivamo velikim praskom, stvorena vasiona.
Ako se pak vratimo u sadašnjicu, kako „ vidite “šta prenosi slike i
zvuke fudbalske utakmice do televizijskog ekrana na drugom kraju grada?
Jedan odgovor je da se slike i zvuk prenose radio-talasima – vrstom
elektomagnetnog zračenja. Ali, isto kao što je bio slučaj
sa gravitacijom, ovim je pojava samo imenovana, što nam ne pomaže
da je „vidimo“. Da bismo „videli“ inače nevidljive radio-talase, potrbne
su nam Maksvelove jednačine, otkrivene u prošlom veku. Navedimo nekoliko
pravila do kojih je došao čovek:
• Aristotel je koristio matematiku u pokušajima da „vidi“nevidljive
zvukovne šablone koje prepoznajemo kao muziku.
• Aristotel je, takođe, pokušavao da pomoću matematike opiše nevidljivu
strukturu drame.
Pedesetih godina dvadesetog veka, lingvista Noam Čomski ( Noam Chomsky)
koristio je matematiku da „vidi“ nevidljive, apstraktne šablone koje
prepoznajemo kao gramatične rečenice. Tako je od lingvistike, kao nerazvijene
grane antropologije, stvorio naprednu matematičku nauku.
Konačno matematika nam omogućava da predvidimo budućnost:
• Teorija verovatnoće i matematička statistika dozvoljavaju nam
da predvidimo rezultate izbora, često sa izvanrednom tačnošću.
• Pomoću diferencijalnog i integralnog računa prognoziramo sutrašnje
vremenske prilike.
• Analitičari tržišta pomoću matematičkih teorija predviđaju ponašanje
berze.
• Osiguravajuća društva koriste statistiku i teoriju verovatnoće da
bi procenila koja je mogućnost da se neka nezgoda dogodi tokom nredne
godine, pa prema tome utvrđuju svoje premije.
Kada je reč o gledanju u budućnost, matematički vid nije savršen. Ponekad
su predviđannja pogrešna. Ali, bez matematike ne bismo uopšte mogli
da vidimo. Pre skoro četrdest godina naučnik Judžin Vigner ( Eugene
Wigner ) napisao je članak pod naslovom „Nerazumljiva primenljivost
matematike u prirodnim naukama “. „Iz kog razloga “, pitao se Vigner,
„matematika može tako često i uspešno da se primenjuje ? “ Onog trenutka
kada shvatite da matemtika nije igra koju su ljudi izmislili, već se
tiče pravilnosti koje niču u svetu oko nas, Vignerova primedba ne deluje
tako neobično.Matematika se ne bavi brojevima, već životom. Bavi se
svetom u kom živimo. Bavi se idejama. I nasuprot ustaljenoj predstavi
da je dosadna i neplodna, ona je izuzetno kreativna.
Mnogi su ljudi matematiku poredili sa muzikom. Njih dve nesumnjivo imaju
mnogo zajedničkih osobina, među kojima je i korišćenje apstraktnog načina
označavanja. Zaista, prva stvar koju svako uoči kad otvori tipičnu knjigu
iz matermatike jeste da je puna simbola – ređe su stranice za stranicom
nečega što liči na strani jezik napisan stranim alfabetom. U stvari,
upravo to i jeste. Matemtičari svoje ideje iskazuju jezikom matematike.
Ako se matematika bavi životom i svetom oko nas, zašto onda matematičari
koriste jezik koji mnoge ljude odbija od ovog predmeta. Ne zbog toga
što su matematičari perverzni pojedinci koji vole da provode dane plivajući
u algebarskom moru besmislenih simbola. Razlog oslanjanja na apstraktne
simbole jeste to što su pravilnosti koje matematičari proučavaju takođe
apstraktne.
Apstraktna pravila kojima se bave matematičari, mogu se smatrati „kosturom“
svih stvari na svetu. Matematičar izabere neki aspekt sveta, recimo
cvet ili igru poker, izdvoji jednu njegovu osobinu, a zatim odbacuje
sve pojedinosti, ostavljajući samo apstraktni kostur. Kada je reč o
cvetu, apstraktni kostur može biti na primer simetrija; u slučaju pokera,
to bi mogla biti podela karata, ili pravila klađenja.
Da bi proučavao tako apstraktne pravilnosti, matematičar mora da koristi
apstratni način obeležavanja. Muzičari koriste podjednako apstraktne
oznake za opisivanje muzičkih oblika. To rade da bi na papiru opišu
pravila koja postoje samo u ljudskom umu. Ista melodija može se osvirati
na gitari, klaviru, oboi ili flauti. Svaki instrument proizvodi drugačiji
zvuk, ali melodija se ne mennja. Ono što pravi razliku između melodija
nije instrument, već način na koji su rasppoređene note. To je ta apstraktna
pravilnost koja se krije iza muzičkih nota.
Kada matematičar gleda u papir s matematičkim simbolima, on te simbole
„vidi“ kao što iskusni muzičar „vidi“ note na notnom papiru. Izvežbane
oči muzičara kroz muzičke simbole direktno čitaju zvukove koje oni predstavljaju.
Isto tako, matematičar kroz matematičke simbole direktno čita pravila
koja oni predstavljaju. Može se reći da veza između mtematike i muzike
ide još dublje – sve do strukure samog uređaja koji ih proizvodi do:
ljudskog mozga.
Kako matematičari ulaze u formu?
Reč geometrija potiče od grčkog geo metros,
što znači merenje zemlje. Stari
Egipćani, Vavilonci i Kinezi
počeli su da razvijaju geometriju kako bi mogli da određuju granice
svog zemljišta, podižu građevine i upisuju zvezde na karte, za potrebe
plovidbe. U geometriji proučavamo zakonitosti koje se odnose na oblike.
Ne bilo kakve oblike, već pravilne oblike, kao što su trouglovi, kvadrati,
pravougaonici, paralelogrami, petouglovi, kocke, oktaedri, sfere, elipsoidi
i slično.Primere ovih oblika vidimo u svetu koji nas okružuje – kružna
pojava Sunca i Meseca, okrugli satovi i točkovi, trouglaste, kvadratne
i šestougaone podne pločice, kockaste kutije, sferne teniske loptice,
elipsoidne lopte za (američki) fudbal i tako dalje. Geometrija ove oblike
proučava apstraktno, ne vezujući ih za odgovarajuće primere u stvarnom
svetu.
Kad odluči koju će vrstu oblika da proučava, matematičar otkriva opšte
činjenice koje važe za sve primere tog oblika. Na primer, Pitagorina
teorema kaže da je kod svakog pravouglog trougla kvadrat nad hipotenuzom
jednak zbiru kvadrata nad katetama.
Starogrčki matematičar Euklid sakupio je mnoge
osnovne geometrijske teoreme u svom čuvenom delu „Elementi“, napisanog
oko 350.godine pre nove ere. Jedna od najboljih teorema u „Elementima“
tiče se takozvanog pravilnog poliedra. Poliedri su trodimenzionalne
analogne varijante pravilnih mnogouglova.
Pravilni mnogougao je figura čije su stranice jednake, a uglovi između
susednih stranica podudarni. Najjednostavnija figura ove vrste jeste
jednakostranični trogao, kod koga svaki ugao iznosi 60 stepeni. Za njim
je kvadart; zatim pravilan petougao (ugao između susednih stranica je
108 stepeni); pravilan šestougao (ugao je 120 stepeni), itd. Pravilni
mnogougao može imati proizvoljan broj stranica.
Pravilan poliedar je trodimenzionalno telo čije su strane podudarni
pravilni mnogouglovi, a svi unutrašnji uglovi su im jednaki. Za razliku
od pravilnog mnogougla , pravilni poliedri ne mogu imati proizvoljan
broj strana. Kao što je dokazano u Euklidovim „Elementima“, postoji
samo pet pravilnih poliedara: pravilni tetraedar (strane su četiri podudarna
jednakostranična trougla); kocka (strtane su joj šest podudarnih kvadrata);
pravilni oktaedar (strane su mu osam podudarnih jednakostraničnih trouglova);
pravilni dodekaedar (strane su mu dvanaest pravilnih petouglova); i
ikosaedar (srane su mu dvadeset pravilnih jednakostraničnih trouglova).
U ovom slučaju, geometrijski zakoni ograničavaju broj mogućnosti.
Slična je situacija i sa oblikom šara na tapetama. Geometrijski zakoni
ograničavaju broj mogućnosti na sedamnaest.
Iako mnoge od nas iznenađuje saznanje da postoji samo pet pravilnih
poliedara, nismo iznenađeni što o njima postoji matematička teorema.
Pravilni poliedar je upravo nešto za šta biste očekivali da postoji
teorema. Ali, pitamo se šta je sa tapetama?
Malo veće iznenađenje izaziva saznanje da postoji teotetsko ograničenje
kda su u pitanju šare na tapetama. Dizajneri uvek mogu da izbace nove
ideje. Ali, matematička toerema se ne odnosi na fine detalje šara. Matematičare
privlači to što se određena šara na tapetama može ponoviti proizvoljan
broj puta. Na koliko se različitih načina utvrđena šara može preslikati
beskonačno mnogo puta i koja su to pravila preslikavanja? Pa, može se
jednostavno prekopirati osnovni oblik, stranica po stranica. Ili se
pak može pomerati uzduž, sleva nadesno ili zdesna nalevo, ili pomeranje
nekom vrstom rotacije? Dakle, na koliko različitih načina je moguće
to učiniti?
Kada se počne razmišljati o ovome i kad se čovek zapita
od čega to zavisi beskrajno ponavljanje utvrđenog osnovnog oblika, shvatimo
da to ima veoma složenu prirodu, zaista geometrijsku. To je upravo nešto
na šta se može primeniti matematika. Uprkos tome, otkriveno je da postoji
tačno sedamnaest načina da se preslika utvrđeni oblik. Neki od ovih
načina zaista su komplikovani, ali zanimljivo je da su ih dizajneri
tepiha, mozaika i ukrasnih zidnih pločica otkrili stotinama godina pre
nego što su ih matematičari devetnaestog veka izbrojali i dokazali da
ne postoje drugi.
Teorema šara na tapetama dobar je primer približavanja matematike svetu.
Matematika je precizna nauka, koja se bavi preciznim pravilima. Geometijski
oblici lako su prepoznatljivi – prave linije, trouglovi, krugovi, tetraedri,
sfere i tako dalje.Ali, ponekad se mora naći pravi način pposmatranja
pojave pre nego što se otkrije precizno matematičko pravilo. U slučaju
šara na tapetama, potrebno je postaviti sledeće pitanje: po kojim se
pravlima utvrđeni dizajn može ponoviti proizvoljan broj puta, tako da
pokrije ceo zid?
Naravno, tek nakon istraživanja može se znati da li je otkriveno ikakvo
zanimljivo (ili korisno) matematičko pravilo. Ponavljanje šara na tapetama
jeste matematičko zato što je moguće dokazati teoremu koja se odnosi
na to ponavljanje. Slično je i sa šarama na životinjskom krznu.
Iako su tufne na leopardu ili pruge na tigru donekle pravilne, one ne
pokazuju onu vrstu geometrijske pravilnosti na koju se može primeniti
matematika. Ali, da li kod šara na životinjskom krznu ipak postoji skrivena
pravilnost na koju se matematika može primeniti?
Donedavno je odgovor bio ne. Međutim, tokom proteklih dvadest godina,
matematičari su počeli da razvijaju „geometriju“ živih bića. Jedno od
saznanja do kojih je došla nova matematika jeste da su šare na životinjskom
krznu ograničene matematičkim zakonima, kao i pravilni poliedri ili
šare na tapetama. Ključna stvar bila je pronalaženje pravog načina posmatranja
pojave. Kada je reč o šarama na životinjskom krznu, postavlja se pitanje:
koji mehanizam proizvodi različite oblike šara – tufne ili pruge?
Geometrija šara na životinjskom krznu
Ideja da se matematika primeni u proučavanju oblika živih bića prvi
je pokrenuo veliki britanski mislilav Darsi Tompson (D’Arcy Thompson)
u svojoj knjizi „O rastu i obliku“(On Growth and Form), koja je prvi
put objavljena 1917.godine. Godine 1950, engleski matematičar Alen Tjuring
(alan Turing) podržao je Tompsonovu zamisao, predlažući poseban mehanizam
za primenu matematike uproučavanju šara na životinnjskom krznu. Ovu
novu oblast nazvao je „morfogenezom“.
Tjuringova ideja bila je da se formulišu jednačine koje opisuju način
formiranja šara na krznu, a pri tom se baziraju na biološkim ili hemijskim
procesima usled kojih šare nastaju. Bila je to dobra zamisao, ali godinama
s njom niko nije postigao veći napredak. Prvo, biolozi su tek bili na
pragu razumevanja samog procesa rasta. Drugo, one vrste jednačina koje
pružaju relevantne nauke, biologija i hemija, ne mogu se rešavati na
isti način kao, recimo, jednačine kruga ili parabole, za koju se može
nacrtati slika (grafik) krive. Tek sa razvojem kompjutera - i kompjuterske
grafike – postalo je moguće sprovesti Tjuringovu zamisao.
Krajem osamdesetih godina , matematičar Džejms Mari (James Murray) sa
Oksfordskog univerziteta, započeo je postupak koji bi se u tri koraka
sproveo Tjuringov program. Prvi korak bio je da se napišu jednačine
koje opisuju hemijske procese usled kojih nastaju boje na životinjskom
krznu. Drugi korak bio je pisanje kompjuterskog programa koji bi rešio
ove jednačine. Treći korak bio je da se rešenja pretvori u slike, uz
pomoć tehnika kompjuterske grafike. Ako bi sve funkcionisalo - i ako
bi jednačine zaista opisivale pravila rasta – dobijene slike ličile
bi na neke ( sve?) vrste šara na životinjskom krznu koje se mogu videti
u prirodi.
Mari je znao da svaku obojenost krzna prouzrokuje jedinjenje zvano melanin,
koje stvaraju ćelije ispod same površine kože. Isto ovo jedinjenje omogućava
ljudima svetle puti da pocrne na suncu. Ali, zašto tufne na leopardu?
Ili pruge na tigru? Mari je krenuo od pretpostavke da određena jedinjenja
stimulišu ćelije da proizvode melanin. Stoga su vidljive šare na krznu
odraz nevidljivih hemijskih procesa u koži: visoka koncentracija jedinjenja
povećava obojenost koju stvara melanin, a niske koncentracije ostavljaju
kožu neobojenom. Postavilo se sledeće pitanje: zašto se jedinjenja koja
podstiču proizvodnju melanina grupišu po određenom pravilu, tako da,
nakon „uključivanja“ melanina, nastaju vidljive šare na koži?
Jedan mogući mehanizam pružili su takozvani reakciono – difuzioni sistemi.
Rreakciono – difuzioni sistem nastaje kad dva ili više jedinjenja u
istom rastvoru (ili u istoj koži) reaguju i šire se kroz rastvor, boreći
se međusobno za teritoriju. Iako su ga matematičari ponudili kao teorijsku
ideju još 50-tih godina, hemičari su reakciono – difuzioni sistem tek
kasnije proučili u labaratoriji.
Da ne bi komplikovao stvari, Mari je pretpostavio da se u koži stvaraju
samo dva jedinjenja, od kojihn jedno stimuliše proizvodnju melanina,
a drugo je sprečava. Zatim je pretpostavio da prisustvo stimulatora
izaziva povećanu proizvodnju inhibitora. Konačno, pretpostavio je da
se inhibitor brže širi kroz kožu nego stimulator. Uz ove pretpostavke,
ako je stvorena potrebna koncentracija stimulatora koja izaziva proizvodnju
inhibitora, inhibitor, koji se brže kreće, biće u mogućnosti da okruži
spori stimulator i soreči njegovo širenje. Rezultat će biti oblast stimulatora
okružena prstenom inhibitora. Drugim rečima, tufna.
Mari ovaj proces upoređuje sa sledećim scenariom. „Zamislite“, kaže
Mari, „ veoma suvu šumu po kojoj su raspoređene vatrogasne ekipe sa
helikopterima i opremom za gašenje vatre. Kad izbije požar (stimulator),
vatrogasci (inhibitori) bace se na posao. U helikopterima mogu da se
kreću mnogo brže od vatre.(Inhibitor se širi brže nego stimulator.)
Ipak, zbog njene jačine (velika koncentracija stimulatora), vatrogasci
ne mogu da obuzdaju vatru. Zato je prestižu i prskaju drveće hemikalijom
otpornom na vatru. Kad vatra stigne dopoprskanog drveća, njeno napredovanje
se završava. Gledano iz vazduha , rezultat su crne tufne na mestima
gde je gorela vatra, okružene zelenim prstenom poprskanog drveća.“
Zamislite sad da izbije nekoliko požara po celoj šumi, Ako se posmatra
iz vazduha, pezjaž će se sastojati od oblasti crnog, izgorelog drveća
prošaranog zelenilom. Ako su požari dovoljno udaljeni, iz vazduha će
se videti po jedna crna tačka u moru zelenog. Ali, ako su požari blizu
i uspeju da se spoje pre nego što ih vatrogasci obuzdaju, nastaće drugačija
šara. Tačan oblik šare zavisiće od broja i relativnog položaja polaznih
požara i relativnih brzina vatre i vatrogasaca (reakcione-difuzione
brzine).
Marija je zanimalo kakva bi se šara dobila da su početni požari nasumično
raspoređeni. Kako bi onda različite reakciono-difuzione brzine uticale
na konačnu šaru? Tačnije, da li bi postojale brzine pri kojima bi se,
počevši od proizvoljno raspoređenih izvora vatre, stvarale prepoznatljive
šare kao što su tufne ili pruge? Ovde matematika stupa na scenu. Postoje
jednačine koje opisuju reakcije i disperziju jedinjenja. U njima se
koriste tehnike diferencijalnog i integralnog računa, i one se nazivaju
parcijalnim diferencijalnim jednačinama. Raspolažući jednačinama, Mari
je mogao da zaboravi na biologiju i hemiju i da se usredsredi na matematiku.
Ubacivši ih u kompjuter, bio je u mogućnosti da obrazuju slike na ekranu
koje prikazuju način disperzije jedinjenja. Na njegovo iznenađenje,
čak i sa jednostavnim scenariom koji pretpostavlja da postoje samo dve
hemikalije, jednačine su obrazovale šare koje su zapanjujuće ličile
na životinjsku kožu.
U stvari, menjanjem parametara u jednačinama, Mari je otkrio jednostavnu,
neočekivanu vezu između oblika i veličine oblasti kože u kojo se odvija
reakciono-difuzioni proces, i šare na krznu koja se dobija. Takođe je
otkrio da na malim delovima kože uopšte ne nastaju šare; na dugačkim,
uskim oblastima nastaju poprečne pruge; na kvadratnim delovima formiraju
se tufne, čiji tačan oblik zavisi od dimenzije oblasti.
Na većim oblastima kože ne nastaju šare. Klučni faktori jesu oblik i
veličina životinjskog krzna u vreme kada se odvija reakciono-difuzioni
proces, što se kod većine životinja događa tokom emrionalnog razvoja,
a ne oblik i veličina potpuno odrasle jedinke. Na primer, prve nedelje
trudnoće zebrin embrion je dugačak i ima oblik olovke. Opet, leopardovi
embrioni su za vreme reakciono-difuzionog procesa bucmasti, što Marijeve
jednačine predviđaju da su u pitanju tufne. Osim na repu. Leopardov
rep je tokom razvoja dugačak, u obliku olovke, što objašnjava zašto
je uvek prugast.
Pitamo se, da li Marijeve jednačine opisuju šta se zaista događa? S
obzirom da biolozi još nisu eksperimentalno ispitali reakciono-difuzioni
proces u koži embriona , u to ne možemo biti sigurni. Mari je izabrao
najjednostavniji slučaj, sa samo dva hemijska reagensa, pa se ne može
sa sigurnošću pretpostaviti da njegove jednačine tačno opisuju situaciju.
S druge strane, one zaista proizvode sve vrste šara na krznima koje
se mogu naći u prirodi.
Jedan od najubedljivijih dokaza da je Mari na pravom putu jeste to što
njegova matematika odgovara na večito pitanje iz zoologije: zašto nekoliko
vrsta životinja ima tufnasto telo i prugast rep, ali nijedna nema prugasto
telo i tufnast rep? Po svoj prilici, ne postoji evolutivni razlog za
ovu neobičnu pojavu. Mari pruža neverovatno jednostavno objašnjenje:
ovo je neposredna posledica činjenice da mnogo životinjskih embriona
ima bucmasta tela i tanke repove, ali nijedan životinjski embrion nema
dugačko, tanko telo i bucmast rep.
Ako Meri jeste u pravu, imamo divan primer toga kako evolucija dovodi
do izuzetno rfikasnog procesa. Dve očigledne evolutivne prednosti koje
šare na životinjskom krznu pružaju jesu kamuflaža i privlačnost suprotnom
polu. Pitanje je kako ja ovo postignuto?
Umesto da cela detaljna šara bude kodirana u DNK životinje, priroda
je mogla efikasnije da iskoristi matematička pravila koja je Mari otkrio.
Bilo bi potrebno samo da DNK
kodira upustva koži ploda u razvoju (ili novorođene jedinke, u slučaju
životinja kao što je pas dalmatinac, čije se šare na krznu pojavljuju
posle rođenja) kada da se aktivira reakciono-difuzioni proces i kada
da bude zaustavljen. Konačan raspored šara tada bi bio određen oblikom
i veličinom kože u tom stadijumu razvoja.
Gemetrija cveća
Ponekad se možemo pitati kako bi neko opisao oblik cveta? Ili može li
se reći da je bela rada okrugla? Ali,, nijedan cvet nije potpuno okrugao.
On samo tako izgleda iz daljine. Kada bolje pogledate,, vidite da se
cvet sastoji od mnogo latica, koje čine daleko komplikovaniji oblik
od kruga. Da li se matematika može upotrebiti da se opiše pravi oblik
krasuljka? Ili cveta koji nije okrugao, kao što je jorgovan? Da li matematika
može da oblik jorgovana?
Ovo pitanje može izgledati besmisleno. Uostalom, od kakve bi koristi
bio matematički opis cveta?
Odgovor kojem nas istorija iznova i iznova uči glasi da se naučno saznanje
po pravilu ispostavi kao korisno. Na primer, početkom devetnaestog veka,
matematičari su počeli da proučavaju oblike čvorova. Njihova jedina
motivacija bila je radoznalost.Ali, tokom proteklih dvadeset pet godina
biolozi su koristili matematiku čvorova kao pomoć u borbi protiv virusa,
od kojih mnogi utiču na način na koji se molekul DNK savija u formu
čvora.
Pronalaženje matematičkog opisa jorgovana moglo bi obezbediti tačnije
vremenske prognoze. Evo kako činiti.
Kao u slučaju šara na tapetama i oznaka na životinjskom krznu, ključni
korak jeste pronalaženje pravog načina posmatranja pojave. Kad je reč
o životinjskom krznu, trik je usredsrediti se na toloiko na konačan
izgled oznaka na životinjskom krznu koji je do njih doveo. Možda će
sličan pristup važiti i za cveće. Da li je moguće razvijati geometriju
cveća proučavajući na način na koji je priroda mogla „krerirati“ oblik
cveta?
Ako pažljivo pogledamo jorgovan, možemo primetiti da njegov mali deo
izgleda gotovo isto kao i ceo cvet. Ista pojava važi za još neke cvetove
i pojedino povrće, kao što je brokoli ili karfiol. Matematičari ovu
osobinu nazivaju sličnošću.
Oblaci su takođe slični. Matematički način da se opišu slični oblici
može se iskoristiti za proučavaje oblaka. U slučaju da imamo matematički
opis oblaka, možemo pomoću kompjutera simulirati jihovo obrazovanje,
rast i kretanje. Uz pomoć ovih simulacija, uspešnije bismo prognozirali
loše vreme, i na taj način bi se bolje zaštitili od posledica snžnih
oluja ili tornada. Ovo nije toliko nestvarno. Naučnici već mnogo godina
sprovode ovakva istraživanja.
Matematičar po imenu Helg Koh (Helge Koch) krajem devetnaestog veka
proučavao je sličnost. Koh je uočio da, ako uzmemo jednakostranični
trougao, dodamo manje jednakostranične trouglove na središnju trećinu
svake njegove stranice, dobijamo na kraju fascinantan oblik prikazan
na slici 5, koji danas nazivamo Kohovom pahuljom (svaki put kad dodamo
novi trougao obrišemo središnju trećinu stranice).
Ovaj nam primer pokazuje da oblik komplikovanog izgleda
može nastati ponavljanjem primene veoma jednostavnog pravila. Sličnost
proističe iz primene istog pravila, iznova i iznova. Savremeni matematičari
slične figure nazivaju fraktalima, kako ih je 1960. godine imenovao
matematičar Benoa Mandelbrot (Benoit Mandelbrot), koji je nabrojao i
proučio mnoge primere sličnosti u prirodi.
Da bi dobio geometrijski opis fraktala, matematičar traži pravila koja
će nakon svakog ponavljanja proizvesti sličan oblik.Ovakav ponovljiv
sistem pravila rasta naziva se L-sistem, po Aristidu Lindenmajeru (Aristid
Lindenmayer), biologu koji je 1968. godine razvio formalni model za
opisivanje razvoja biljaka na ćelijskom nivou.
Na primer, veoma jednostavan L-sistem za obrazovanje drvolikog oblika
kaže da ako preslikavanje počnemo od vrha bilo koje grane, taj deo formira
dve none grane, dajući pri tom tri nova vrha. Ako ponavljamo ovo pravilo,
otkrićemo da velikom brzinom dobijamo drvoliki oblik. Prvih nekoliko
ponavljanja ovog pravila može se lako izvesti pomoću papira i olovke.
Ali, tek kada ga nekoliko stotina puta primenimo na kompjuteru počećemo
da dobijamo nešto što zaista liči na drvo.
Matematičar Pšemislav Prusinkjevič (Przemyslaw Prusinkiewicz) iskoristio
je ovaj pristup da obrazuje cvet na kompjuteru. Da bi stvorio, recimo,
jorgovan, Prusinkjevič najpre pomoću veoma jednostavnog L-sistema gradi
kostur cveta. Da bi dobijena slika više podsećala na stvarnost, on vrši
pažljiva merenja pravog jorgovana i njima prilagođava L-sistem. Tako
uz pomoć prerađenog L-sistema, stvara razgranatu strukturu jorgovana.
Zatim, primenjujući istu ovu tehniku, drugačijim L-sistemom obrazuje
cvetove. Šta dobija kao rezultat? Jorgovan raste pred njegovim očima.
Ne pravi jorgovan, već matematički, stvoren na kompjuteru.
Kako izgleda jedan od Prusinkjevičevih jorgovana stvorenih
pomoću kompjutera? Zapanjujuće liči na fotografiju pravog jorgovana.
Baš kao što šare na životinjskom krznu proizvedene pomoću Marijevih
jednačina izgledaju isto kao u stvarnosti. Može se reći da oba primera
pokazuju da se složeni oblici prirode mogu dobiti primenom veoma jednostavnih
pravila. Kako Prusinkjevič kaže:
Biljka neprekidno ponavlja istu stvar. Pošto se to događa na mnogo
mesta, njena konačna struktura izgleda nam složena. Ali, ona nije zaista
složena; samo je komplikovana.
I Mari i Prusinkjevič uviđaju estetsku stranu svog rada. Mari, na primer,
kaže:
Kad se sam, ili sa svojom suprugom, ćerkom ili sinom šetam po šumi
i imam vremena za razgledanje, veoma mi je teško da pogledam u paprat
ili koru drveta a da se ne zapitam kako je nastala i zašto tako izgleda.
To ne znači da cenim lepotu cveta ili zalaska sunca; uvažavanje te lepote
prepliće se s idejama i pitanjima.
Prusinkjevič na sličan način posmatra važnost života:
Kad cenite lepotu biljke, to nije samo zbog njene statične strukture,
već često i zbog procesa usled kog je ta struktura nastala. Za naučnika
koji se divi lepoti cveta ili lista, važno je da razume kako su oni
evoluirali tokom vremena. Ja ovo nazivam logaritamskom lepotom biljaka.
To je neka vrsta skrivene lepote.
Lepota koju oko ne može da vidi
Geometrija proučava oblike koje viđamo u svetu oko nas. Oni mogu biti
očigledno „matematički“, kakve su proučavali stari Grci – trogloivi,
krugovi, poliedri i drugi – ili šare na životinjskom krznu i oblici
biljaka i cvetova. (Zaista je stvar definicije da li će se ova novija
proučavanja zvati „geometrijom“. U svakom slučaju, ona jesu matematika
i bave se vidljivim oblicima.)
Ali, naše oči opažaju i druge vrste pravilnosti. Očigledan primer jeste
simetrija. Simetrija cveta ili pahulje očigledno je vezana za njihovu
geometrijsku pravilnost. Mi, ipak, tu simetriju ne vidimo – bar ne očima;
pre bi se moglo reći da je opažamo mislima. Jedini način da se „vide“
vrste simetrije (za razliku od simetričnih oblika) jestekroz matematiku.
Čineći vidljivim inače nevidljive vrste simetrija koje doprinose lepoti,
proučavanje simetije podrazumeva dublje, apstraktnije aspekte oblika.
Prvi korak predstavlja pronalaženje preciznog načina posmatranja simetrije
– načina koji matematičatu omogućuje da formalno rasuđuje i (najverovatnije)
zapisuje formule i jednačine. Ovaj početni korak u razvijanju nove grane
matematike često je jedan od najtežih; ne mtematički teških. Uostalom,
može se reći da tu uopšte i nema matematike! Problem je u pronalaženju
novog načina posmatranja pojave.
Šta je simetrija? Svakodnevnim jezikom rečeno, neki
predmet (na primer, vaza ili lice) simetričan je kad s različitih strana,
ili iz različitih uglova, ili reflektovan u ofledalu, izgleda isto.
Ova uopštena zapažanja ne obuhvataju sve mogućnosti, ali ipak sadrže
glavnu ideju.
Potrebno je najpre uopštenooj ideji da „nešto izgleda isto iz nekoliko
(ili mnogo) uglova“ dati konkretan oblik. Počnimo od mterijalnih predmeta
i posmtranja simetrije kao stvarne manipulacije tim predmetima, kako
bi došli do apstraktne, formalne definicije simetrije, koja se može
primeniti na potpuno apstraktne predmete.
Zapitajmo se šta se podrazumeva pod tim da „nešto izgleda isto iz različitih
uglova“. Zamislimo da pred sobom imamo neki predmet. To može biti neka
dvodimenzionalna figura ili trodimenzionalni predmet. Pretpostavimo
da taj predmet rotira oko neke prave ili tačke. Da li predmet posle
ove operacije izgleda isto kao i pre – da li su njegov položaj, oblik
i orjentacija isti? U slučaju da jesu, reći ćemo da je predmet „ simetričan
“ za tu određenu operaciju.
Na primer, ako krug rotiramo oko centra za proizvoljan ugao, dobijan
figura izgledaće isto kao i ona od koje smo krenuli. Kažemo da je krug
simetričan na svaku rotaciju oko svog centra. Naravno, ako rotacija
nije za 360 stepeni (ili više puta po 360 stepeni), svaka tačka na krugu
završiće na nekom drugom mestu. Krug će se pokrenuti. Ali, iako su pojedinačne
tačke promenule položaj, figura izgleda isto kao što je izgledala pre
rotacije.
Krug je simetričan ne samo za svaku rotaciju oko svog centra već i u
odnosu na bilo koji svoj prečnik. Ovo upravo znači, da svakoj tački
figure odgovara naspraman tačka u odnosu na izabrani prečnik. Tako imamo
kod časovnika, simetrija u odnosu na vertikalni prečnik zamenjuje tačku
9 tačkom 3, tačku 10 tačkom 2 itd.
Krug se izdvaja po tome što ima mnogo simetrija – svakodnevnim jezikom
rekli bismo da je „veoma simetričan“.
Kada je u pitanju kvadrat, on ima manje simetrija od kruga. Ako kvadrat
rotiramo za 90 stepeni ili 180 stepeni u bilo kom smeru, on izgleda
isto. Ali, ako ga rotiramo za 45 stepeni, izgledaće drugačije, kao dijamant.
Još jedna transformacija kvadrata nakon koje on ostaje isti, jeste njegovo
preslikavanje refleksijom u odnosu na jednu od dve prave koje prolaze
kroz centar i paralelne su sa stranicama. Kvadrat takođe možemo preslikati
u odnosu na bilo koju od dve dijagonale. Ovim transformacijama određene
tačke kvadrata menjaju položaj, dok oblik, i orjentacija figure ostaju
neizmenjeni.
Ljudsko lice je simetrično, ali ne kao kvadrat. Ono izgleda isto ako
se preslika u odnosu na vertikalnu pravu koja prolazi kroz sredinu nosa
(kada se zamenu leva i desna strana), što je transformacija koja se
lako dobije kada se providna fotografija presavije na pola. Ali, rezultat
neke druge rotacije ili refleksije izgledaće drugaččije. Ovde, možemo
pretpostaviti da je čovekovo lice savršeno. U stvarnosti ne postoji
zaista simetrično ljudsko lice, kao što nijedan materijalni objekat
nije savršen krug. Matematika uvek proučava imaginarne savršene verzije
stvarnih predmeta.
U tri dimenzije, ljudsko telo je simetrično u odnosu na ravan koja prolazi
vertikalno kroz centar tela – refleksija kojom se leva strana tela može
poklopiti sa desnom. Na prvi pogled, ova simetrija poseća na zbunjujuću
sliku u ogledalu. Naime, kada pogledamo u ogledalo, vidimo da je kod
našeg odraza zamenjena leva i desna strana (podignemo levu ruku, a odraz
koji nas gleda podigne desnu ruku), ali da to nije slučaj s njegovom
donjom i gornjom polovinom. Pitamo se kako to da ogledalo zamenjuje
levu i desnu stranu , a ne zamenjuje gornju polovinu donjom? Šta se
događa ukoliko legnemo ispred ogledala, tako da nam je leva strana tela
gore, a glava desno?
Objašnjenje ove neobične pojave jeste da ogledalo, u stvari, ništa ne
zamenjuje. Isto tako, ako nosimo sat na levoj ruci, odraz će imati sat
na ruci koja je direktno naspram naše leve ruke, dok će glava odraza
biti direktno naspram naše glave. Ali, zbog levo – desne simetrije ljudskog
tela, mi ćemo naš odraz videti kao drugu osobu pred sobom; leva ruka
te osobe zaista će biti naspram naše desne ruke.
Od svakodnevne predstave „simetrije“ došli smo do preciznog pojma simetrije
u zavisnosti od određene manipulacije objektom. Što je veći broj manipulacija
nakon kojih predmet izgleda isto, on je simetričniji u svakodnevnom
smislu. Pošto želimo da pojam simetrije primenimo na stvari koje ne
predstavljaju geometrijske figure ili materijalne objekte, od sada ćemo
umesto reči manipulacija koristiti reč „transformacija“. Transformacijom
se dati objekat (koji može biti apstraktan) transformiše u nešto drugo.
Transformacija može biti:
• translacija - premeštanje objekta na drugu poziciju, bez
rotiranja;
• rotacija - oko tačke kad su u pitanju dvodimenzionalne figure,
i u odnosu na pravu kad je reč o trodimenzionalnim objektima;
• refleksija - u odnosu na pravu, kad su u pitanju dvodimenzionalne
figure, i u odnosu na ravan,kad se radi o trodimenzionalnim figurama;
• rastezanje ili skupljanje - nešto što nije moguće za materijalne
objekte;
Kluč za matematičko proučavanje simetrije jeste da posmatramo transformacije
objekata, a ne same objekte.
Za matematičara je simetrija figure transformacija kojom figura ostaje
neizmenjena. „Neizmenjena“ znači da figura nakon transformacije izgleda
isto kao i ranije, po pitanju pozicije, oblika i orjentacije, čak i
kada su neke tačke na njoj pomerene.
Pošto translacije spadaju u moguće transformacije, ponavljanje šara
na tapetama, koje smo ranije pomenuli, jeste simetrija. U svari, simetrija
je ono što leži iza dokaza da postoji tačno sedamnaest mogućih načina
da se ponovi određena šara. Dozvoljene transformacije – „simetrije“
za šare na tapetama – moraju funkcionisati na celom zidu, ne samo na
jednom njegovom delu. Upravo ovo ograničava broj simetrija na sedamnaest.
Dokaz teoreme o šarama na tapetama zahteva detaljno proučavanje načina
na koje se transformacije mogu kombinovati tako da daju nove transformacije,
kao što je refleksija koju prati rotacija za 90 stepeni u smeru od suprotnom
od kretanja kazaljke na satu. Naime, postoji „aritmetika“ kombinovanja
transformacija, kao što postoji (poznata) aritmetika kombinovanja brojeva.
Tako na primer u običnoj aritmetici možemo sabrati ili pomnožiti dva
broja da bi dobili novi broj. U „aritmetici transformacija“ kombinujemo
dve transformacije da bismo dobili novu transformaciju, na taj način
što izvedemo jednu pa drugu.
Aritmetika transformacija funkcioniše slično kao aritmetika brojeva.
Ali, postoje zanimljive razlike. Otkriće neobične nove aritmetike u
drugoj polovini osamnaestog veka omogućilo je nove, zapanjujuće matematičke
rezultate, koji nisu uticali samo na matematiku, već i na fiziku, hemiju,
kristalografiju, medicinu, tehniku, komunikaciju i kompjutersku tehnologiju.
Literatura :
Devlin, K.- Life by Numbers, New York, NY, John Wiley & Sons,
1998.
Deviln, K. – The language of Mathematics : Making the Invisible Visible,
New York, NY, W. H. Freeman, 1998.
Prusinkiewicz, P. & Lindermayer, A. – The Algorithmic Beaty of
Plants, Heilderberg, Germany, Springer – Verlag, 1996.
Steen, L. – The sciense of patterns, Science , 240, 1988.
Sawyer, W. W. – Prelude of mathematics, U K. Penguin books, 1955.
Devlin, K – Matematički gen, Beograd, 2001.
Turing, A . – The Chemicial Basis of Morphogenesis, Phil. Trans. Roy.
Soc, B237, 1952
PROČITAJ
/ PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:
|
|