SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
KONUSNI PRESECIKonusni preseci zauzimaju kako u geometriji tako i u celoj matematici
veoma značajno mesto. Smatra se da ih je otkrio grk MENEHMO
(IV vek stare ere) i to kao presek konusa sa ravnima koje su normalne
na izvodnice konusa. Vrsta preseka zavisi od ugla kod vrha konusa, tj.
presek je elipsa, parabola ili hiperbola, zavisno od toga da li je ugao
oštar, prav ili tup. Osobine konusnih preseka Neka su u prostoru zadate prave p i s
koje se seku u tački O. Skup svih slika tačaka prave p
u rotacijama sa osom s je prav kružni konus. Tačku O
zovemo temenom konusa, pravu s osom, a slike prave p
u rotacijama oko prave s njegovim izvodnicama. Sledeća teorema karakteriše konike: Teorema. Svaki konusni presek , osim kruga, jeste geometrijsko mesto tačaka u ravni za koje je odnos rastojanja od neke stalne tačke F (žiže) i neke stalne prave DD’ (direktrisa) stalna veličina. Dokaz: Obeležimo sa K konusni presek
dobijen sečenjem konusa sa ravni Ω i upišimo u taj kružni konus
loptu koja dodiruje ravan Ω u tački F. Lopta dodiruje
konus po krugu koji leži u ravni w . Ravni Ω i w
se seku duž prave DD’. Uzmimo proizvoljnu tačku M krive
K i iz nje spustimo normalu MA na pravu DD’.
Konstruišimo izvodnicu MB konusa, gde je tačka B prodor
te izvodnice kroz ravan w. Ugao između ravni Ωi
w označimo sa a, a sa b ugao između izvodnice konusa i ravni w,
i sa k=MC odstojanje tačke M od ravni w.
(sl. 1) MB=k / sinb, AM=k / sina i MB=MF (kao dužine tangenata na loptu povučene iz tačkeM). Formirajmo sada odnos rastojanja MF(=m), tačke M
od tačke F, i rastojanja AM(=d), tačke M od
prave DD’. Na osnovu ovih veza vidimo da je odnos
Stalnu tačku F zovemo fokus ili žiža, stalnu pravu DD’ direktrisa ili vodilja, i stalnu vrednost e, odnos rastojanja ma koje tačke konusnog preseka od fokusa i direktrise zovemo ekscentricitet konusnog preseka. Konusni presek se zove elipsa ako je e< 1, hiperbola ako je e > 1, I parabola ako je e = 1. U slučaju elipse i parabole sve tačke ovih linija nalaze se samo sa jedne
strane i to sa one strane direktrise gde se nalazi i žiža. Polarna jednačina konusnih presekaUzmimo žižu F za pol polarnog koordinatnog sistema, a polarna osa neka je normalna na direktrisu DD’. Sa p označimo rastojanje od žiže F tačke M1 konusnog preseka koja se nalazi na pravoj normalnoj na polarnoj osi i prolazi kroz žižu. Veličina p se zove parametar konusnog preseka. Pošto tačka M1 pripada konusnom preseku važi: M1F/ M1M2= p/ FB= e, ili FB=p/ e A na osnovu definicije konusnog preseka važi: m/ d= MF/ MA= e, MA= d ili Pošto se polarna jednačina konike ne menja ako q zamenimo sa
-q, konika je osno simetrična u odnosu na polarnu osu
x. Kada je q =0, onda je m = p/
(1 +e), a kada jeq = π , onda je m
= p/ (1 - e), pa konika seče x osu u dvema tačkama, osim
ako je e=1. Kretanje planeta. U astronomiji je poznato da je putanja
planete u polarnom koordinatnom sistemu, m=f(q),
određena diferencijalnom jednačinom Rešavanjem jednačine dobija se f -1
= a cosq+ b sinq
+ γ, odnosno promenom polarne ose, Putanje planeta, kometa i asteroida su u prvoj aproksimaciji konike u čijem se jednom fokusu nalazi sunce. Jednačina konusnih preseka u Dekartovim pravouglim koordinatamaPolarnu jednačinu konike napišimo u sledećem obliku: p = m (1 + e cos q) , m2=
(p – e m cosq )2 x = m cos q , y = m sin q imamo sledeću jednačinu konusnog preseka u Dekartovim pravouglim koordinatama (1 - e2) x2 + y2
+ 2 epx - p2 = 0 . ( 1) x= x’+x1, y=y’+y1 . za elipsu (e < 1): x’2/ a2 + y’2 / b2 = 1; (2) za hiperbolu (e > 1): x’2/ a2 - y’2 / b2 = 1; (3) Jednačine (2) i (3) se zovu kanonske jednačine
elipse i hiperbole . za elipsu : p= b2 /a, e=( a2
- b2) 1/2 / a <1, U slučaju parabole važi e = 1 jednačina u Dekartovim koordinatama je: y2 + 2 p x - p2 = 0 Uvodimo nove koordinate x’ i y’ : x’ = -x+ p/2 i y’ = y Nova jednačina parabole posle smene je : y’2 = 2 p x’ . (4) Ova jednačina (4) se zove temena jednačina parabole. Fokusne osobine elipse i hiperboleDa bismo utvrdili fokusnu osobinu elipse koristićemo polarni koordinatni
sistem sa polom u fokusu F i polarnom osom Fxnormalnom
na direktrisi DD’. Na produžetku polarne ose uzmimo tačku F1
na rastojanju c1 od fokusa F i izračunajmo
rastojanje proizvoljne tačke M elipse Da bi ovaj izraz na desnoj strani bio tačan kvadrat | MF1|2 = (m- c1/e) 2 , mora c1 zadovoljavati sledeći uslov 2 pc1/ e +c1 2 = c12/ e2, ili c1=2ep/ (1- e2 ). (5) Važe sledeće relacije: m ≤ p/ (1- e) i 2/ (1+ e)>1. Zato sada iz relacije (5) redom sledi: Vrednost traženog rastojanja je: Ako stavimo m= |MF|, onda za svaku tačku elipse postoji
sledeća relacija Zbir odstojanja proizvoljne tačke M elipse od dve stalne tačke F i
F1 je konstantan. c=(a2 - b2) 1/2 . Ekscentricitet možemo sada definisati na sledeći način: Temene jednačine konusnih presekaAko u jednačini (1- e2 )x2 + y2
+ 2 epx - p2 = 0 izvršimo transformaciju
koordinata pomoću formula translacije: onda ćemo odmah dobiti tzv. temene jednačine konusnih preseka (sl. 3) y1 2 = 2px1+ (e2- 1) x12. (6) Za slučaj e =1 dobija se ranije poznati oblik temene jednačine parabole.
Lako je sada dati geometrijsko tumačenje jednačine (6). u slučaju hiperbole y12 > 2px1 i u slučaju parabole y12 = 2px1. Prema tome za proizvoljnu tačku krive površina kvadrata sa stranicom
y1 je manja, veća, jednaka površini pravougaonika sa
osnovicom x1 i visinom 2p- ’’fokusni presek
’’ krive. (sl. 4) Reč hiperbola od grčke reči νπερβολη (suvišak) – kazuje nam da kvadrat ima veću površinu prema površini pravougaonika za (e2- 1) x12. Reč parabola od grčke reči παραβολη(jednakost) – kazuje nam da su nam u ovom slučaju površine pravougaonika i kvadrata jednake. Opšta algebarska jednačina II stepenaOpšta algebarska jednačina drugog stepena 2f(x, y) ≡ a11 x2 + 2a12 xy + a22 y2 + 2a13 x +2a23 y + a33 = 0 (7) može se svesti na jedan od kanonskih oblika jednačina konusnih preseka, na temenu jednačinu parabole, kao i na jednačine para pravih linija. Da bismo to pokazali izvršićemo obrtanje ose koordinatnog sistema za ugao φ pa će dati koordinatni sistem Oxy , u odnosu na koji posmatramo jednačinu (7), postati nov sistem Ox’y’. Postoje sledeće veze između starih i novih koordinata: x = x’ cos φ – y’ sin φ, Jednačina (7) u novim koordinatama x’ i y’ postaje: A11 x’2 + 2A12 x’y’ + A22 y’2 + 2A13 x’ +2A23 y’ + A33 = 0 , (7’) gde su novi koeficijenti Aikodgovarajuće funkcije starih koeficijenata i ugla φ rotacije. Mi ćemo ugao rotacije izabrati tako da koeficijent A12bude jednak nuli, tj. tako da ni jednačina (7’) ne sadrži član sa proizvodom x’y’. Takav ugao φ se određuje na osnovu uslova (a11 -a22 ) sin2φ = 2 a12 cos2 φ, (8) ili tg 2φ =2 a12 / (a11 -a22 ). Ugao φ je uvek moguće odrediti pri uslovu a11 ≠ a22 na osnovu (8) tj. uvek je moguće odrediti takav koordinatni sistem Ox’y’ da bi jednačina (7’) bila bez člana proizvoda x’y’: A11 x’2 + A22 y’2 + 2A13 x’ +2A23 y’ + A33 =0. (9) Posmatrajući jednačinu (9) razlukovaćemo sledeća dva slučaja: U slučaju pod a) moguće je definisati translaciju
koordinata pomoću formula A11 x12 + A22
y12 + B= 0 , (10) a1)
B ≠ 0 i znaci koeficijenata A11 i A22
su isti, tj. A11 A22 >0,
ali su suprotni znaku koeficijenta B. Jednačina (10) predstavlja
elipsu, jer se može svesti na oblik kada se uvedu sledeće oznake a2) B
≠ 0 i znaci koeficijenata A11 i A22
su suprotni, tj. A11 A22 <
0. Moguće je uvesti nove veličine pomoću veza a i b
pomoću veza a3) B
≠ 0 i znaci koeficijenata A11 i A22
su jednaki znaku koeficijenta B. Jednačina (10) predstavlja
imaginarnu krivu ( ’’imaginarna elipsa’’ ) a4) B=0
i znaci koeficijenata A11 i A22 su
različiti, tj. A11 A22 < 0.
Sada je moguće levu stranu jednačine (10) napisati u obliku proizvoda
dva realna faktora a5) B=0 i znaci koeficijenata A11 i A22 su jednaki, tj. A11 A22 > 0. Jednačinu (10) je moguće svesti na sledeći oblik [x1 –i( - A22 /
A11) 1/2 y1 ] *
[x1 +i(A22 / A11)
1/2 y1 ]=0. ( -1) 1/2 ≡ i b) U ovom slučaju se može koristiti
sledeća translacija pomoću koje jednačina (9) dobija sledeći oblik A11 x12 + 2 A23 y1 + D= 0 , (11) gde se novi slobodni član D izražava pomoću starih koeficijenata. U vezi sa jednačinom (11) imamo četiri sledeće varijante: b1) A23 ≠ 0. Moguće je definisati translaciju x1 = x’’, y1 = y’’- D/ 2 A23 i jednačinu (11) svesti na poznati oblik jednačine parabole: A11 x’’2 + 2 A23
y’’ = 0 , ili x’’2
= 2 p y’’. x1 = ± ( - D/ A11 ) 1/2. b3) A23 = 0 i koeficijnti A11 i D su istog znaka. Tada imamo: x1 = ± i( + D/ A11 ) 1/2, a to predstavlja par ’’paralelnih imaginarnih pravih’’. b4) A23
= 0 i D =
0. U ovom slučaju imamo par pravih Prema tome, opšta algebarska jednačina drugog stepena predstavlja: ili konusni presek, ili par pravih, ili tačku ( imaginarne prave koje se seku u realnoj tački) , ili imaginarnu elipsu, ili paralelne imaginarne prave. Elementi konusnih presekaElementom konusnog preseka naziva se svaka tačka, svaka prava,
svaki skup tačaka, svaki skup pravih koje se određuju pomoću jedne ili
više relacija koje sadrže koeficijente iz jednačine datog konusnog preseka. 2f(x, y) ≡ a11 x2 + 2a12 xy + a22 y2 + 2a13 x +2a23 y + a33 = 0 (12) 1) Prečnik.Prečnik ili dijametar je geometrijsko mesto sredina paralelnih tetiva konusnog preseka. Neka je ma koja tetiva krive (12) određena jediničnim vektorom
s {m,n}, čije su koordinate kosinusi uglova α i β
koje on zaklapa sa osama pravouglog Dekartovog koordinatnog sistema
Oxy. Premestimo početak sistema Oxy
u neku novu tačku O1 ( a,b) i primenimo poznate obrazce za translaciju:
gde smo upotrebili sledeće oznake: fa’ ≡ fx1’
( a,b), fb’ ≡ fy1’
( a,b), U novom koordinatnom sistemu tetiva koja prolazi kroz početak i paralelna
je vektoru s , ima ove parametarske jednačine ( t je
parametar) : Eliminacijom x1 i y1 iz jednačina (13 ) i (14) dobijamo uslov : (a11 m2 + 2a12 mn + a22 n2 ) t2 + 2( fa’ m+fb’ n) t+2f ( a,b )= 0 za određivanje onih vrednosti parametra t koje odgovaraju tačkama
preseka prave (14) i krive (13). Ako tačka ( a,b
) treba da leži na sredini tetive, onda mora da važi: ( a11 x + a12 y + a13 ) + k (a21 x + a22 y + a23 )= 0, (16) gde je k ugaoni koeficijent paralelnih tetiva. Za prečnik ili
dijametar (15), ili (16) kažemo da je spregnut
ili konjugovan sa pravcem k.Koeficijent pravca
k1dijametra (16) je: Poslednja relacija se može napisati u simetričnom obliku u odnosu na
veličine k i k1: Za prečnik koji je konjugovan sa pravcem k1 kažemo da je konjugovan sa prečnikom (16) i prema tome ugaoni koeficijenti dva uzajamno konjugovana prečnika zadovoljavaju vezu (17). 2) Ose. Dvauzajamno normalnaprečnika
zovu se ose konusnog preseka. Ugaoni koeficijent u osa odredićemo
na sledeći način. Zbog uslova ortogonalnosti pravca k i k1
uslov (17) se može napisati u obliku Na osnovu ovih uslova vidimo da su k i k1
koreni sledeće kvadratne jednačine: 3) Centar. Preseci uzajamno konjugovanih prečnika daju centar konusnog preseka. Koordinate centra dobijamo rešavanjem linearnih jednačina kojima su određeni konjugovani prečnici. Posmatraćemo jednačinu (13). Ako izaberemo koordinate ( a, b) novog početka tako da pomenuta jednačina bude bez linearnih članova tj. da ima sledeći oblik: a11 x12 + 2a12 x1y1 + a22 y12 +2f ( a,b )= 0, onda moraju postojati uslovi ili napisati u razvijenom obliku Ovako izabrani koordinatni početak, čije koordinate zadovoljavaju ove
uslove jeste centar krive, i upravo ove jednačine služe za određivanje
koordinata centra konusnog preseka. Krive drugog reda sa centrom su elipsa I hiperbola, a bez centra je parabola ( I1= 0). 4) Temena. Preseci konusnog preseka sa osama zovu se temena konusnog preseka. 5) Tangenta. Tangenta u tački (x0 , y0 ) konusnog preseka je prava koja prolazi kroz tu tačku paralelno tetivama konjugovanim sa prečnikom koji takođe prolazi kroz tačku (x0 , y0 ). Prečnik koji je spregnut sa pravcem k ima jednačinu fx’ + fy’ k = 0, a jednačina tangente TT’ je jednačina pravekoja prolazi kroz
tačku fx0’ + fy0’ k = 0; k = fx0’ / fy0’. Eliminacijom veličine k iz prethodnih jednačina dobijamo traženu jednačinu tangente: y - y0 = - fx0’ (x - x0 ) / fy0’ , ( x - x0 ) fx0’ + ( y - y0)fy0’= 0. Jednačinu tangente možemo napisati i u sledećem obliku: (a11 x0+ a12 y0+ a13 ) x +(a21 x0 + a22 y0 + a23 )y +(a31 x0 +a32 y + a33 )= 0. 6) Polara. Uočimo neku tačku P koja
ne pripada konusnom preseku i kroz nju povučimo sečicu PM1M2.
Nađimo na toj sečici tačku Qtako da nam
par tačaka P i Q bude harmonijski konjugovan sa parom
tačaka M1
Jednačina polare se dobija u sledećem obliku: a11 x0 x + a12 ( y0 x + x0 y)+ a22 y0 y + a13 (x+ x0)+ a23 ( y+ y0 )+ a33 = 0, gde su x0 i y0 koordinate pola
P. Jednačina polare je ista po obliku kao i jednačina tangente,
razlika je u tome što su u jednačini tangente veličine x0
i y0 koordinate tačke na krivoj , a kod polare
to su koordinate neke tačke koja nije na krivoj, koordinate pola. M2 7) Asimptota. Asimptota konusnog preseka je prava koja dodiruje presek u beskonačnoj tački. Eliminacijom veličine y iz jednačine konusnog preseka (12)
i jednačine prave A x2 + 2Bx +C = 0, gde su uvedene oznake Da bi prava dodirivala krivu ova kvadratna jednačina mora da ima dvostruki
koren, tj. mora da postoji uslov A = 0, B = 0, ili i daju nam takve vrednosti za m i n (ako su realne ) na osnovu kojih jednačina (18) predstavlja traženu jednačinu asimptote. 8) Žiže i direktrise. direktrisu, sa M(x, y) ma koju tačku konusnog preseka, onda
imamo gde smo sa moznačili odstojanje tačke od žiže, a sa d odstojanje od direktrise. Poslednju jednačinu možemo napisati u obliku [ (x - α) 2+ (y - β) 2 ]
1/2 ; ( m1 x + n1 y + k1
) / (m12+ n12)
1/2 = e gde smo uveli oznake Jednačina (19), kao jednačina konusnog preseka, može da se razlikuje od jednačine (12) samo konstantnim množiteljem, recimo σ, i zato su odgovarajući koeficijenti ovih dveju jednačina proporcionalni: (1- m2 ) / a11= mn /
a12 = (1-n 2) / a22
= (a + km) / a13 = (β + kn) / a23 Ovih pet jednačina (20) služe za određivanje pet veličina α, β, m, n, k, tj. za određivanje žiža i direktrisa pomoću koeficijenata jednačine (12).
preuzmi seminarski rad u wordu » » »
|