HERONOVA FORMULA
Heronov rad u oblasti matematike
i fizike imao je “skoro enciklopedijski” značaj. U nizu radova
obradio je konstrukciju i upotrebu različitih instrumenata za merenje; dao
komentar Euklidovih Elemenata i sopstvene Definicije (zasnovane
na Euklidovim, a namenjene izvesnom Dionisijusu u cilju ''razumevanja ne
samo Euklidove doktrine, već i ostalih radova u domenu geometrije'').
Sačuvano je i nekoliko dela o površinama i zapreminama, od kojih je najpoznatija
Metrika. Pretpostavlja se da je ona bila namenjena studentima Tehnološkog
instituta u Aleksandriji, gde je Heron predavao. Time se može opravdati
činjenica da u Metrici postoje samo primeri, bez dokaza. Ipak,
ostaje mogućnost da je Heron svesno stavio akcenat na ''praktičnu primenu,
pre nego na teorijsku kompletnost''. U uvodu I knjige Metrike
Heron je zabeležio da se ''geometrija rodila iz potrebe za merenjem i
podelom zemlje (odakle i potiče njen naziv), posle čega je proširenje
na tri dimenzije postalo neophodno da bi se merila čvrsta tela''.
Površina nejednakostraničnog trougla
Formula za izračunavanje površine nejednakostraničnog trougla kojem su
poznate dužine sve tri stranice:
∆=
poznata je pod imenom Heronova formula.
U Metrici (knjiga I) Heron razmatra problem izračunavanja površine
trougla stranica poznatih dužina i nudi dva metoda za rešavanje problema:
I metod:
Ovaj metod je baziran na 12. i 13. stavu II knjige Elemenata
:
stav 12: U svakom tupouglom trouglu kvadrat
na strani naspram tupog ugla je veći od zbira kvadrata na stranama koje
obrazuju tup ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaćen jednom stranom tupog
ugla(onom na čije produženje pada spuštena normala) i rastojanjem te normale
od temena tupog ugla.
stav 13: U svakom oštrouglom trouglu kvadrat
na strani naspram oštrog ugla je manji od zbira kvadrata na stranama koje
obrazuju oštar ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaćen jednom stranom
oštrog ugla(onom na koju je spuštena normala) i rastojanjem te normale
od temena oštrog ugla.
Vratimo se sada samom metodu:
˝ Neka su a,b i c stranice trougla ∆ABC naspramne temenima
A,B i C, respektivno. Za bilo koji ugao (uzmimo onaj kod temena C) važi
:
Ugao kod C je ako važi:
c2
a2+b2 oštar
prav
tup
Metod se zasniva na određivanju, prvo segmenata na koje je bilo koja
stranica podeljena normalom iz naspramnog temena, a zatim dužinom normale.
U slučaju trougla sa oštrim uglom kod C (tupim uglom kod C, respektivno)
važi:
Odakle nalazimo AD ()
potrebnu za izračunavanje površine ().˝
II metod :
Neka je ∆ABC dati trougao i neka je data svaka od stranica AB, BC, CA.
U trougao upišimo krug sa centrom O i dodirne tačke sa stranicama AB,
BC i CA obeležimo redom sa F, D i E. Konstruišimo duži AO, BO, CO, DO,
EO i FO spajanjem odgovarajućih tačaka.
Tada važi:
BC∙OD = 2∆BOC,
CA∙OE = 2∆COA,
AB∙OF = 2∆AOB
gde ∆ označava površinu trougla.
Slika 1
Sabiranjem sve tri jednakosti dobijamo :
p∙OD= 2∆ABC , gde je p poluobim trougla.
Produžimo stranicu CB do tačke H takve da važi jednakost BH=AF.
Pošto je:
AE=AF, BF=BD i CE=CD, to je CH=p/2=s.
Odatle sledi: CH∙OD= ∆ABC
Kvadriranjem poslednje jednakosti dobijamo CH2∙OD2 =(∆ABC)2
(*)
Konstruišimo sada duž OL takvu da važi COL=R
i OL seče BC u tački K i duž BL takvu da CBL=R
i OL i BL se seku u L.
Konstruišimo i duž CL.
Pošto su uglovi COL
i CBL
pravi, COBL je četvorougao upisan u krug (tetivni četvorougao), pa važi
COB
+ CLB=2R.
Ali važi i
COB
+ AOF=2R
(jer AO,BO i CO polove uglove oko O i uglovi COB,
AOF
su zajedno jednaki uglovima AOC,
BOF,
dok je zbir sva četiri ugla jednak 4R)
Kao posledicu dobijamo: AOF=CLB
Odatle sledi da su pravougli trouglovi ∆AOF i ∆CLB slični, pa važe sledeći
odnosi:
BC:BL=AF:FO
=BH:OD
tj . BC:BH=BL:OD
I trouglovi ∆ODK i ∆LBK su slični. Dakle:
BL:OD=BK:KD
tj . BC:BH=BK:KD
Na osnovu prethodnog dobijamo:
CH:HB=BD:DK
Sledi da CH2: (CH∙HB)=(BD∙DC) : (CD∙DK)
=(BD∙DC) : OD2 , jer je COK=R
Pošto je: ∆ABC² = CH2∙OD² (*) i CH²∙OD²=CH∙HB∙BD∙DC
, površina trougla je zadata formulom:
∆ABC² =s(s-a)(s-b)(s-c)
Pomoću Heronove formule može se dokazati Pitagorina teorema!
Dokaz: Koristićemo standardne oznake:
a,b,c za dužine stranica
p za poluobim trougla, i
S za površinu trougla .
Heronova formula daje jednakost:
S2=p(p-a)(p-b)(p-c)
U pravouglom* trouglu sa hipotenuzom c, važi S=ab/2.
Modifikujmo desnu stranu jednakosti koristeći sledeće:
Primenom elementarne algebre dobija se jednakost:
U pravouglom trouglu, ovaj izraz je ekvivalentan sledećem:
Dakle, važi:
*posmatramo samo ovu vrstu trouglova jer dokazujemo Pitagorinu teoremu.
Daljim sređivanjem ovog izraza dobija se:
tj.
Najzad:
Napomena: za četvorougao sa stranicama a, b, c, d upisan u krug, postoji
generalizacija Heronove formule, koju je otkrio Brahmagupta.
U ovom slučaju, poluobim je definisan sa p=(a+b+c+d)/2 , pa važi
formula
Pošto se svaki trougao može upisati u krug, možemo zahtevati da jedna
stranica četvorougla (recimo d) bude jednaka 0. Tada se prethodna formula
svodi na Heronovu.
Ipak, Heronova formula se danas dokazuje na mnogo jednostavniji način.
Može se koristiti kosinusna teorema ili sličnost trouglova, kao u dokazu
koji sledi:
Neka je dat trougao ABC sa stranicama:
BC=a,
CA=b i
AB=c
Neka je h visina trougla spuštena iz temena A na stranicu BC
i A' podnožje te visine. Tačka A' deli stranicu BC na dva dela. Deo BA'
označimo sa x. Tada je A'C=a-x.
Posmatrajmo prvo trougao ABA' ! To je pravougli trougao (),
pa primenom Pitagorine teoreme dobijamo za dokaz važnu jednakost:
(1)
Primenom Pitagorine teoreme na trougao AA'C, dobijamo drugu važnu jednakost:
(2)
Iz ove dve jednakosti ( (1) i (2) ) eliminišimo h:
i rešimo po x:
Ovako dobijeno x uvrstimo u jednu od jednakosti (1),(2)(u (1)
na primer):
Koristeći obrazac za izračunavanje razlike kvadrata, izraz se transformiše
u:
tj .
Znajući obrazac za izračunavanje površine trougla kojem je poznata stranica
i njoj odgovarajuća visina (),
dobijamo:
Aproksimacija kvadratnog korena broja koji nije potpuni
kvadrat
U svojim radovima Heron Aleksandrijski
se umnogome oslanjao na znanja drevnih civilizacija. Tako, za izračunavanje
kvadratnog korena broja on koristi metod koji je bio poznat Vaviloncima,
2000 godina pre njegovog vremena.
˝A propo trougla stranica dužina 7,8 i 9 Heron daje metod aproksimacije
iracionalnog broja.
U ovom slučaju poluobim trougla iznosi 12 ( s=12), a ostale značajne vrednosti
su : s-a=5, s-b=4 i s-c=3, pa je ∆==
''Pošto 720 nema racionalan koren '', kaže Heron, ''njega možemo dobiti
uz veoma malu grešku na sledeći način: Pošto je sledeći potpuni kvadrat
broj 729 čiji je koren 27, podelimo 720 sa 27. Dobija se 26
. Dodajmo 27 (53)
i oduzmimo polovinu od ovoga ili 26
. Koren broja 720 stoga biće veoma blizu 26 .
Zapravo,ako pomnožimo 26
sa samim sobom , proizvod je 720
tako da je razlika između ove dve vrednosti samo
.
Ali, ako želimo razliku manju od ,
treba da uzmemo 720
umesto 729 (ili pre da uzmemo 26
umesto 27) i uz isti postupak naći ćemo da je odstupanje od rezultata
mnogo manje od
.''
Drugim rečima, ako imamo broj A koji nije potput kvadrat, a a
je najbliži potpuni kvadrat tako da je A= a±b,
onda imamo
=
kao prvu parametrizaciju broja
.
Za drugu aproksimaciju uzmimo
=
i tako dalje.
Zamenom vrednosti A sa a2±b u (1) dobijamo
=a
Heron, izgleda, nije koristio ovu formulu sa negativnim znakom, osim za
broj
koji dat kao 7.
Bez sumnje, ovo je dobijeno iz (1) na sledeći način: .
Gore navedeno predstavlja obično pravilo za nalaženje druge i daljih aproksimacija
iracionalnog broja. Međutim, iako Heron ovde pokazuje kako izračunati
drugu aproksimaciju(korišćenjem formule (2)), izgleda da on sam nigde
ne primenjuje ovaj metod. Pitanje kako je onda dobio aproksimacije tačnije
od prve (a one su nađene u njegovim spisima) i dalje ostaje otvoreno!˝
Aproksimacija kubnog korena broja koji nije potpun kub
Izračunavanje
: ˝Uzmite kubne brojeve koji su najbliži broju 100. To su 64 i 125. Izvršite
sledeće operacije:
125-100=25 i
100-64=36
Zatim, pomnožite 5 sa 36 i na rezultat (180) dodajte 100. Dobićete 280.
Podelite 180 sa 280. Dobijeni broj ()
dodajte kubnom korenu manjeg kubnog broja (4).
Ovo je najbliža aproksimacija kubnog korena broja 100.
Pokušajmo da, iz ovog primera, izvedemo Heronovu formulu za izračunavane
kubnog korena.
Ako je ,
pretpostavimo da je A-a
. Najbolju pretpostavku da je
tražena formula dao je Wertheim.Zaista,
5∙36 može biti
, a 100+180 u imeniocu razlomka može biti polazni broj A, a ne 4∙25 ili
a∙.
Međutim, Wertheimova pretpostavka je zadovoljavajuća jer može biti izvedena
jednostavnim razmatranjem. Ovo je na sledeći način pokazao G.Eneström:
Koristeći istu notaciju, Eneström dalje pretpostavlja da je x
tačna vrednost
i da je .
Odavde sledi:
Slično, iz
dobijamo:
Dakle:
rešavajući po x-a , dobijamo:
ili
Pošto su
kubovi razlomaka, možemo ih zanemariti u prvoj aproksimaciji i dobićemo:
, traženu formulu za izračunavanje kubnog korena ˝
Značajan je broj Heronovih radova iz oblasti matematike i mehanike koji
su do danas sačuvani. Međutim, njegovo najpoznatije delo, Metrika,otkrivena
je tek krajem XIX veka. Iako je Heronu osporavano autorstvo za neka od
njegovih najpoznatijih radova i mada su neki kritičari smatrali da je
on prepisivao sadržaje svojih knjiga pritom ne razumevajući materiju koju
izlaže,jedan od najpoznatijih među njima, Tomas Hit, je istakao:
˝Praktični značaj Heronovih dela je toliko veliki, da uopšte ne čudi to
što su najpopularnija među njima bila ponovo izdavana uz ispravke i dodatke
mnogo godina kasnije. Ovo je bilo neizbežno sa knjigama koje su, kao Euklidovi
Elementi, bile vekovima u redovnoj upotrebi u grčkom, vizantijskom,
rimskom i arapskom obrazovanju.˝
Korišćena literatura
1.˝A history of Greek Mathematics˝ , Thomas Heath (Istorija grčke matematike
, Tomas Hit)
2. ˝A manual of Greek Mathematics˝ , Thomas Heath
3. ˝Science Awakening˝ , Van der Waerden
4. ˝Heron of Alexandria˝ - članak engleskih autora J.J. O’Conora
i E.F. Robertsona (www.gap.dcs.st.and.ac.uk/~history/Mathematicians)
PROČITAJ
/ PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:
|
|
preuzmi
seminarski rad u wordu » » »
Besplatni
Seminarski Radovi
|