SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Arapski matematičari - GEOMETRIJSKA ALGEBRASREDNJOVEKOVNA ARAPSKA CIVILIZACIJAKRATAK ISTORIJSKI PRESEK U savremenom svetu Arapi su poznati
po naftnim bogatstvima i ratovima koji se vode oko njih. Međutim, malo
je poznat veliki udeo Arapa u očuvanju kulturne baštine i drevnih znanja
Staroga veka, što je od posebnog značaja u matematici i filozofiji. Da
bismo objasnili odakle se pojavila ova sjajna srednjovekovna civilizacija,
moramo se upoznati sa osnovnim činjenicama iz arapske istorije i sa njihovim
teritorijalnim osvajanjima
. PREVODIOCI I NASTAVLJAČISmatra se da je početkom IX veka prevedeno Ptolomejevo delo LJuadri partitum.
Prema al-Masudiju, “arapskom Herodotu”, otprilike u isto vreme
prevedeni su Euklidovi Elementi i Ptolomejev Almagest
(arap. al-Majisti, od grč. megisth
= najveća) - osnovna dela geometrije i astronomije kroz mnoge vekove,
a to je najverovatnije učinio Haranac ibn-Matara (al-Hajjaj ibn-Yusuf
ibn-Matara, 786-833)
. Izgleda da je upravo on pripremio i druga dva prevoda Elemenata,
onaj za ibn-Rašida i za al-Mamuna, velikog astronoma, i to pre nego što
je Hunein (Hunayn) pripremio svoj prevod. AL-HOREZMIGlavna ličnost u ranom razvoju arapske matematike bio je već pomenuti al-Horezmi (Muhammad ibn-Musa al-Khnjarizmi, 780-850). Pored toga što je sastavio najstarije astronomske tablice, al-Horezmi je napisao najstarije poznato delo o aritmetici sačuvano samo u prevodu, a isti je slučaj i sa njegovim najpoznatijim algebarskim delom Hisab al-Jabr nj’al-Muljabalah. Ovo delo sadrži više od 800 primera, od kojih se samo neki javljaju ranije kod Neovavilonaca. Hisab al-Jabr preveo je na latinski u XII veku Gerardo iz Kremone i sve do XVI veka upotrebljavano je kao glavni matematički uxbenik na evropskim univerzitetima. Najpoznatiji nastavljači al-Horezmija bili su Omar al-Hajam, Leonardo Fibonači (Fibonacci) iz Pize i Jakov iz Firence . ALGEBROM KROZ GEOMETRIJUPRISTUPU današnjem razvijenom obliku matematički jezik i pismo služe nam ne
samo da se lakše izrazimo, već i da nam olakšaju dalja usavršavanja teorija.
Poznato je da je to proizvod 25-vekovnog razvoja, ali najplodniji period
za nastanak tog jezika bila su poslednja dva stoleća. U vreme o kojem
ovde govorimo, a to je po evropskoj hronologiji rani Srednji vek, mnogi
termini i oznake nisu još bili uobličeni, a iskazivanje matematičkih teorija
bilo je u velikoj meri deskriptivno. Na neizdiferenciranost pojedinih
matematičkih oblasti uticala je i nerazvijenost tog jezika, a mnoge od
njih, poput matematičke analize, tada još nisu ni postojale. GRČKI UZORIBilo bi pretenciozno reći da su Arapi izmislili geometrijski pristup
algebri. Njihova prednost bila je veće poklanjanje pažnje broju i aritmetici
uopšte, što kod starih Grka nije
bilo preterano na ceni ukoliko izuzmemo Pitagoru.
Pored svega, Grci su brojeve zapisivali grčkim slovima koristeći njihovu
poziciju u alfabetskom poretku - tzv. tri eneade, za jedinice, desetice
i stotine, pri čemu znak za nulu nije bio poznat. ima svoju interpretaciju u II knjizi Elemenata:
II.4: Ako se data duž proizvoljno podeli, kvadrat nad celom duži jednak je zbiru kvadrata nad odsečcima i dvostrukog pravougaonika obuhvaćenog odsečcima. Prema Plutarhovim rečima, pitagorejci su se bavili sledećim fundamentalnim problemom grčke geometrije: Konstruisati pravolinijski lik sličan datom pravolinijskom liku i jednak drugom datom pravolinijskom liku. Ovde je zapravo reč o tome da se na datoj duži konstruiše paralelogram koji je (po površini) jednak datom pravolinijskom liku i sličan datom paralelogramu. Konstrukcija ovakvog paralelograma ne podrazumeva da će cela duž predstavljati stranu paralelograma, već razlikujemo tri slučaja:
S obzirom na važnost i značaj koji su arapski matematičari pridavali Euklidovim tvrđenjima II.5, II.6 i II.14, razmotrićemo jedno od njih : II.5: Ako se data duž ABpodeli dvema tačkama (C i D respektivno) i na jednake (tačka C) i na nejednake (tačka D) delove, zbir pravougaonika obuhvaćenog nejednakim delovima cele duži i kvadrata nad duži između deonih tačaka biće jednak kvadratu nad polovinom duži. Ovo
tvrđenje možemo iskazati ovako: Ukoliko površinu gnomona NOP označimo sa P, a površinu pravougaonika sa dijagonalom AH sa P, iz prethodne jednakosti slediće: . Ako stavimo AB = a, BM = x, odnosno
AD = a - x, i ako bi površina gnomona NOP
bila dat broj (npr. b 2), tada, budući da je moguće prema Euklidovim
stavovima I.45 i II.14 konstruisati kvadrat jednak datom pravolinijskom
liku, prethodna jednačina postaje: Poslednji zaključak navodi nas na potrebu da odredimo x, odnosno
položaj tačke D na pravoj AB, a to ćemo sprovesti uobičajnim
savremenim načinom rešavanja kvadratne jednačine: O već pomenutom ugledanju na Euklida i ostale grčke matematičare najbolje svedoče reči samog Omara al-Hajama: Ko god misli da algebra podrazumeva veštinu u radu sa nepoznatim veličinama, u zabludi je. Ne treba obraćati pažnju na činjenicu da su algebra i geometrija različite u svojoj pojavi. Algebre (jabr, muljabalah) predstavljaju geometrijske činjenice što je pokazano tvrđenjima pet i šest druge knjige (Euklidovih) ElemenataŠOmar Khayyam, a paper - A: Khayyam (1963)Ć . Budući da smo uglavnom naznačili pravce razmišljanja kojim je arapske matematičare odvela grčka misao, kao i najvažnije konkretne uzore, preći ćemo sada na detaljniji opis arapskih dostignuća u geometrijskoj algebri, pre svega kod al-Horezmija i al-Hajama. JEDNAČINE DRUGOG STEPENATRAKTAT AL-HOREZMIJA. Pomenuli smo već al-Horezmijev
algebarski traktat čiji je pun naziv Al-LJitab al-Muhtasar fi Hisab
al-Jabr nj’al-Muljabalah. Tačno značenje reči al-jabr i
al-muljabalah ćemo uskoro razjasniti. Ovaj traktakt se sastoji
od tri dela: algebarskog dela (sa malom glavom o prostom trojnom pravilu),
manjeg geometrijskog dela o merenjima i opširne knjige o zaveštanjima
. Najvažniji latinski prevodi ovog dela su seviljski prevod Roberta
iz Čestera (1145) i toledski prevod Gerarda iz Kremone (1114-1187). NEGATIVNOST I IRACIONALNOST. Pre nego što razmotrimo
tipove kvadratnih jednačina kod al-Horezmija, moramo objasniti kako su
se on i njegovi nastavljači odnosili prema negativnim i iracionalnim brojevima.
Do pre nekoliko vekova
korišćenje negativnih brojeva se uglavnom izbegavalo. U XVI veku
evropski matematičari ove brojeve nazivali su numeri fictici.
Razloge za to sasvim dobro je obrazložio Augustus de Morgan 1831. godine: Al-Horezmijevo izlaganje nije simboličko, već vrlo deskriptivno i razvučeno,
pa on ukazuje na postojanje brojevnih kvadratnih iracionalnosti i naziva
ih jizr asam, tj. nemi ili gluvi koren
. To je najverovatnije prevod grčke reči alogoV čije
je značenje ovde neizgovorljiv, neizraziv, u smislu
da ne postoji odnos između reči i pojma, tj. da se ona ne odnosi ni na
šta. Gerardo iz Kremone preveo je asam sa surdus (gluv)
i ta reč sačuvala se do XVIII veka paralelno sa rečju irrationalis. TIPOVI KVADRATNIH JEDNAČINA. Iz razloga koje smo naveli u prethodnoj tački, al-Horezmijeva klasifikacija jednačina bila je ovakva :
Za rešavanje bilo koje drugačije jednačine potrebno je da ona bude svedena na neki od navedenih tipova. Ukoliko se pojave umanjioci, njih eliminišemo operacijom al-xabr, tj. dopunjavanjem. To podrazumeva da se obema stranama jednakosti dodaju članovi jednaki umanjiocima (bilo da su oni tipa dirhem, xizr ili mal). Sve istovrsne članove zatim svodimo na jedan jedini operacijom al-mukabala, tj. sravnjivanjem. Primetna je tendencija da se vodeći koeficijenat kvadratne jednačine svede na jedinicu zato što su pravila rešavanja jednačina tipa 4-6. formulisana za takav slučaj. Navedene operacije našle su mesto, kao što smo se uverili, u samom nazivu traktata. Razmotrićemo jedan primer primene navedenog metoda svođenja na tip. Neka imamo uslov koji u savremenoj notaciji možemo zapisati u obliku , odnosno . Al-Horezmi postupno transformiše ovu jednačinu: (al-xabr), zatim je deli sa 2 i svodi na jednačinu petog tipa: (al-mukabala). Zapadni Arapi, pre svega oni u Španiji, izgovarali su glas xim ne kao x, već kao g, pa i reč al-xabr kao al-gabr. U ovom obliku reč algebra ušla je u sve evropske jezike, a videli smo da je njeno prvobitno značenje bilo dopunjavanje. Potrebno je napomenuti dve okolnosti u vezi navedenih tipova. Kod prvog tipa al-Horezmi jednačinu smatra linearnom i ne uzima u obzir rešenje 0 koje nije interesantno u primenama. U drugom tipu jednačina () nepoznata se ne javlja samo kao koren, već i kao kvadrat, pa al-Horezmi naglašava koje je njeno rešenje po korenu, a koje po kvadratu. Tako za jednačinu navodi koren , ali dodaje da je kvadrat te jednačine ( jer ). DVA PRIMERA . Konačno, razmotrimo metod rešavanja nekih tipskih jednačina. Najčešće al-Horezmi nalazi rešenja pomoću dve različite konstrukcije koje obe odgovaraju dopuni do kvadrata. Posmatrajmo jednačinu . Al-Horezmi
“podiže” traženi kvadrat
i nad njegovim ivicama konstruiše četiri pravougaonika visine ,
pa se u uglovima “velikog” kvadrata dobijaju četiri kvadrata
čija je ivica jednaka visini pravougaonika. Odatle sledi da je površina
velikog kvadrata ,
a ivica .
Jasno je da je cilj rešavanja i bio da se dobije ivica (xizr iz mala),
pa iz poslednjeg sledi da je rešenje polazne kvadratne jednačine:
Uopšte, za jednačine četvrtog tipa algebarske transformacije koje odgovaraju geometrijskim su sledeće: , Drugi
način dopune do kvadrata u istom primeru postaje nam jasan ako pažljivo
razmotrimo sliku; ovde je reč o sledećim algebarskim transformacijama: Razmotrimo sada drugi primer i jednačinu petog tipa . Al-Horezmiju je bilo poznato da ovakve jednačine imaju ili dva (pozitivna) korena, ili jedan (dvostruki) ili nijedan (oba imaginarna). Pravilo za ovaj tip ilustrovano je rešavanjem jednačine čiji su koreni i : . Uputstva su, naravno, deskriptivna: “...prepolovi koren, biće 5; i pomnoži to samim sobom, biće 25; i oduzmi od toga 21, koje je dodatak kvadratu, ostaje 4; izvuci iz toga koren, biće 2; i oduzmi to od polovine korena, tj. 5, ostaje 3 ; to će i biti koren kvadrata koji ti tražiš, a kvadrat je 9. A ako hoćeš, dopuni to polovinom korena, biće 7 ; i to je - koren kvadrata koji tražiš, a kvadrat je 49. Ako se sretneš sa zadatkom navedenim u ovoj glavi, proveri njegovu ispravnost pomoću sabiranja; ako nije tako, ŠrešenjeĆ se sigurno dobija pomoću oduzimanja. Znaj takođe, da kad god prepolovljavaš korene i množiš samima sobom, ako je proizvod manji od dirhema dodatog kvadratu, zadatak je nemoguć, a ako je jednak dirhemu, koren kvadrata jednak je polovini korena bez dodavanja i oduzimanja...” Geometrijski dokaz razdvaja pravilo za peti tip na dva slučaja, tj. na korene: i . Detaljno
ćemo razmotriti slučaj x1, dok je za drugi slučaj u oksfordskom
arapskom rukopisu rečeno samo to da se koren dobija ako duži DH
dodamo JH. Moguće je da je al-Horezmi znao da konstruiše rešenje
tog slučaja, ali je problem nastao kod prepisivača i prevodilaca. Vratimo
se prvom korenu: BROJ p. Kroz ove primere
naznačili smo ukratko veliku umešnost al-Horezmija u rešavanju kvadratnih
jednačina. NJegovo delo, međutim, obuhvata i mnoge druge probleme s kojima
se ovom prilikom ne možemo detaljnije upoznati. U vezi sa iracionalnostima
navodimo njegovo shvatanje broja p. ABU-KAMIL. Abu-LJamil (850-930) je egipatski arapski
naučnik i jedan od najuspešnijih nastavljača dela al-Horezmija. NJegova
je algebra ograničena na kvadratne jednačine
kao i kod al-Horezmija, a svoj traktat započinje rešenjima kanonskih
tipova. Analogno, njegova rešenja su geometrijske prirode. JEDNAČINE TREĆEG STEPENAOMAR AL-HAJAM. ‘Omar al-Khayyam
(oko 1040-1123) je Persijanac čiji se veliki rezultati u matematici
pre svega odnose na izučavanje kvadratnih jednačina, konusnih preseka
i korena kubnih jednačina. NJegov postupak rešavanja kubnih jednačina
može se koristiti za nalaženje svih realnih korena jednačina
trećeg stepena, a opisan je u delu Al-Jabr nj’al-Muljabalah.
Pored njegove svestranosti u matematici, al-Hajam je šire poznat na Zapadu
po zbirci svoje filozofske poezije Rubaiyat. PARABOLA I KUBNI KOREN. Kada se suočimo sa jednačinama trećeg stepena, nastaju mnogo veći problemi nego što je to slučaj sa kvadratnim jednačinama. Jasno je da nikakvim dopunama do kvadrata ne možemo naći korene kubnih jednačina, pa je zato neophodno da pribegnemo drugačijim rešenjima. Izlaz za ovaj problem nude nam konusni preseci kao što su parabola i (pravougaona) hiperbola . Kao dovoljno ilustrativan primer konstrukcije konusnog preseka, konstruisaćemo parabolu, a zatim kubni koren. Konstrukcija kubnog korena zasniva se na osobini koju su uočili još grčki matematičari: , gde u specijalnom slučaju
dobijamo
ukoliko pronađemo c i d takve da je
i .
Ako su c i d promenljive, a b konstanta, tada
ove dve jednačine možemo smatrati jednačinama dveju parabola čije su ose normalne, a teme im je u istoj tački. Na ove činjenice treba dobro obratiti pažnju da bi bila jasna konstrukcija kubnog korena. Al-Hajam je prihvatio grčki postupak konstruisanja parabole. Naime, ako je AB duž, tada je parabola sa temenom B i parametrom AB takva kriva p za koju, ukoliko tačka C pripada krivoj p, za pravougaonik CDBE važi . S obzirom da su Dekartove koordinate tačke C zaista (BE,
BD), ova je jednakost vrlo bliska danas uobičajnoj kanonskoj
jednačini parabole: .
Konstrukciju parabole, dakle, koristimo za konstrukciju kubnog korena,
a za konstrukciju tačaka parabole konstrukciju kvadratnog korena. . Označimo li c = GE = BF i d = BG = FE, imamo tada . Inače, grčki matematičari su vrlo temeljito izučili osobine konusnih preseka, što je kulminiralo Apolonijevim delom Konike iz 200. g. pre Hrista. TIPOVI KUBNIH JEDNAČINA. Izbegavanje negativnih koeficijenata
ponovo je razlog zašto se kod al-Hajama javljaju tipovi kubnih jednačina.
Na sasvim sličan način na koji je on (a pre njega al-Horezmi) postupio
sa kvadratnim jednačinama, izvedeno je devetnaest tipova kubnih jednačina
koje su iskazane korišćenjem isključivo pozitivnih koeficijenata.
Sveli smo, dakle, kubnu jednačinu na oblik u kome se ne pojavljuje kvadratni, već samo kubni, linearni i slobodni član. Ovim se bitno smanjuje broj kombinacija za tipove sa svim pozitivnim koeficijentima, pa umesto četrnaest, sada imamo samo četiri tipa koja nisu prethodno rešena: (1) , (2) , (3) i (4) . Jasno je da ovakvo svođenje al-Hajam nije mogao da izvede zbog nepostojanja
prikladne matematičke simbolike, ali nama je ovom prilikom korisno da
skratimo postupak u cilju izbegavanja mogućnosti da nam zbog velikog broja
tipova kubnih jednačina izmaknu najvažnije al-Hajamove ideje i metodi. PRVI TIP KUBNIH JEDNAČINA. Primetili smo već da su al-Hajamova
rešenja kubnih jednačina podrazumevala konstrukciju parabole i pravougaone
hiperbole. Budući da se za rešavanje drugog i trećeg tipa koristi pravougaona
hiperbola, a da smo se ovom prilikom zadovoljili konstrukcijom parabole,
razmotrićemo samo tip za čije je rešenje neophodna upravo parabola. . Neka
je duž AB ivica kvadrata takva da je .
Konstruišimo telo čija je površina baze jednaka površini kvadrata
nad AB, a zapremina datom broju b (konstrukcija je opisana
u knjizi D.NJ. Henderson-a). Neka BC bude visina tog tela (koja
je normalna na AB ), tj. .
Konstruišimo parabolu sa parametrom AB i temenom u tački B,
pa će tada BC biti tangenta na geometrijsko mesto tačaka te konike
(kroz tačke B i D ) u tački B. Opišimo polukrug
nad BC koji mora da seče koniku u tački D. Iz ove tačke
konstruišimo dve normale DZ i DE na BZ i BE
respektivno. Traženi koren je tada EB.
Ovim smo, uz vrlo pažljivo razmatranje, dokazali da je EB zaista koren jednačine prvog tipa . Pošto se sa porastom vrednosti promenljive x povećava i vrednost izraza , postoji samo ovaj jedinstveni koren. KARDANOVI OBRASCI
. Posle pregleda najvažnijih dostignuća u arapskoj
algebarskoj školi, može izgledati da se sada udaljujemo od teme. Međutim,
rezultati italijanskog matematičara Đirolama Kardana (Girolamo
Cardano, XVI vek) jasno se nastavljaju na al-Hajamove metode rešavanja
kubnih jednačina i pokazuju kako je u arapskoj matematici indirektno utemeljena
teorija kompleksnih brojeva. Ne iznenađuje to što je Kardano koristio samo pozitivne koeficijente i što njegova klasifikacija kubnih jednačina obuhvata trinaest tipova kao kod al-Hajama, izuzimajući jednačine svodljive na kvadratne, kao i onu . Uz to, za svaki tip posebno Kardano je izveo geometrijske dokaze. Razjasnili smo kako se dolazi do jednačine , pri čemu ćemo sada dopustiti da a i b budu negativni ili pozitivni. Kardanova je smena, međutim, oblika , odakle zamenom u svedenu kubnu jednačinu dobijamo . Ovo stepenovanje i uprošćavanje je izveo geometrijskim putem zamišljajući kubove kao ivice dužine . Dakle, jeste koren ako je i . Daljim rešavanjem nalazimo da su t i u koreni kvadratne jednačine koju je Kardano rešio takođe geometrijskim putem. Odavde dobijamo i . Konačno, traženi koren polazne kubne jednačine nalazimo u obliku . Upravo je ovo Kardanov obrazac za kubnu jednačinu. Međutim, kako kaže
D.NJ. Henderson, dogodila se vrlo neobična stvar. Kardano je primetio
da jednačina
ima pozitivan realan koren ,
pri čemu je u tom slučaju ,
što zamenom u obrazac povlači da je koren ove jednačine jednak Budući da u to vreme nije bila izgrađena teorija kompleksnih brojeva, Kardanov zaključak je bio da navedeni postupak nije prikladan za ovu jednačinu, kao i sve one “čiji je kub jedne trećine koeficijenta uz x veći od kvadrata jedne polovine konstante u jednačini”. Danas znamo da svaki kompleksan broj ima tri kubna korena, pa je poslednja jednakost višeznačna. Važna je činjenica da su Kardano i drugi matematičari tog vremena počeli da ispituju mogući smisao kompleksnih brojeva, pa je time započeta izgradnja teorije kompleksnih brojeva. POGLED UNAZADDAVID NJ. HENDERSON: OSVRTO istoriji razvoja matematičke misli malo se govori u savremenom obrazovnom
procesu. Matematika u svom sadašnjem vrlo razvijenom, ali i razuđenom
obliku, poseduje sredstva koja joj omogućavaju još veći zamah. To nije
uvek pristupačno mnogim mladim talentovanim ljudima jer ih sputava u smislu
intuitivnog i kreativnog razmišljanja, a usmerava ih na učenje za njih
do tada nepoznatog i novog - matematičkog - jezika. Upravo je matematika
primer nauke koja bi trebalo da se kloni bilo kakvog šablona i ustaljenih
načina mišljenja. Takve sheme mogu da se otklanjaju, između ostalog, i
stalnim pogledima unazad - u dela naših daljih i bližih prethodnika jer
upravo su oni temelji koji drže današnje matematičko zdanje. VREDNOST ARAPSKIH DOSTIGNUĆAVratimo se još jednom al-Horezmiju i delima svih arapskih naučnika koji
su zadužili svetsku matematiku. Bez sumnje, iznedrili su veličanstveno
delo, bilo da je reč o njihovim traktatima, spisima, metodama ili hrabrosti
da se upuste u oblasti za koje tada nije bila izgrađena ni elementarna
simbolika niti terminologija. LITERATURA
preuzmi seminarski rad u wordu » » »
|