SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ИНВЕРЗИЈА У ОДНОСУ НА КРУГ1. Историја еуклидске геометрије Геометрија је као наука поникла из свакодневне праксе.Људи су морали
градити домове и зграде,одређивати границе земљишта и њихове димензије.
Нема- лу улогу с тим у вези имале су и уметничке потребе људи као што
је жеља да украсе своје домове и одећу и да стварају слике из живота који
их окружује. Све је то захтевало од људи да упознају просторна својства
објеката материјалног све- та и да проучавају законитости на које при
томе наилазе.Те су законитости не биле провераване и потврђиване многобројним
опажањима и експериментима, а добијена сазнања су се преносила са генерације
на генерацију, у почетку усмено, а затим и писмено. Еуклид
(330.-275.год. пре нове ере), је познати грчки математичар.Живео је и
радио у Александрији где је створио математичку школу.Радови Еуклида су
сакупљени у тринаест књига под заједничким насловом Елементи,који
су написани око 300.године старе ере.У свом делу Елементи Еуклид
је сакупио и логички прерадио достигнућа претходних епоха у области геометрије.Такође
је ту први систематично засновао теорију бројева,доказао бесконачност
низа простих бројева и засновао теорију дељивости. Током низа векова,без обзира на напоре који су чињени,нико није успео
да суштински унапреди геометрију као науку у односу на оно што је било
изнето у Еуклидовим Елементима. Аксиома паралелности била је позната као став још у античким временима код Грка.Међутим Еуклидова оригинална формулација унеколико се разликује од Плејферове аксиоме паралелности,која у ствари представља еквивалент петог Еуклидовог постулата. Пошто овако исказан поседује једноставну формулацију Плејфер 1797.године узима тај став за аксиому,а пети постулат за теорему.
II. Aксиоме поретка(шест аксиома), III. Аксиоме подударности(седам аксиома), IV. Аксиоме непрекидности(једна аксиома), V. Аксиоме паралелности(једна аксиома). Аксиоматика прве четири групе сачињава аксиоматику апсолутне геометрије. Дефиниција 1.1 Теорију засновану на систему аксиома
апсолутне геометрије и Плејферовој аксиоми паралелности називамо Еуклидском
или параболичком геометријом.Раван и простор у коме важе
аксиоме Еуклидске геометрије називамо респективно Еуклидском равни и Еуклидским
простором и означавамо са ЕУКЛИДСКА ГЕОМЕТРИЈА се добро слаже са геометријом чврстих тела,па је у извесном смислу оправдано мишљење које је владало око 2.миленијума да је геометрија опажајног простора ниједна друга до еуклидска.Простор величине молекула,како је емпиријски утврђено,заиста се понаша као еуклидски.Такође и простор у коме постоје кристали је еуклидски.Међутим,геометрија простора унутар атома,како је познато,није еуклидска или,боље речено,нееуклидска геометрија једноставније описује својства субатомног простора.Слично,за истраживање просторних односа тела у космичком простору погодније је користити геометрију са променљивом закривљеношћу,која није еуклидска. 2. Трансформације еуклидске равниИЗОМЕТРИЈСКЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ПРОСТОРА EⁿДефиниција 2.1 Бијективно пресликавање I:Еⁿ→Еⁿ називамо изометријском трансформацијом простора Еⁿ, (n = 1,2,3) ако за произвољне две тачке А и В простора Еⁿ важи (А,В) (I(A),I(B)). Teoрема 2.1. Идентично пресликавање
(коиннциденција, јединично) ε: Еⁿ→Еⁿ, Теорема 2.2. Производ било које две изометријске трансформације простора Еⁿ је изометријска трансформација простора Еⁿ. Дефиниција 2.2. Осном рефлексијом равни
Е² у односу на праву р називамо изометријску трансформацију
Sp која није коинциденција и у којој је свака
тачка праве р инваријанта.Права р је
оса рефлексије Sp. Теорема 2.3. Свака изометријска трансформација равни Е² може се представити у облику композиције три осне рефлексије. ТРАНСФОРМАЦИЈЕ СЛИЧНОСТИ ПРОСТОРА ЕⁿСада ћемо се упознати са трансформацијама сличности које представљају уопштење изометријских трансформација. Дефиниција 2.3. Нека је k произвољан
позитиван реалан број и Ρ :Еⁿ→Еⁿ Теорема 2.5. Трансформација сличности Ρ
подударне парове тачака пресликава Дефиниција 2.4. Трансформацију сличности Ρ простора Еⁿ називамо ДИРЕКТНОМ или ИНДИРЕКТНОМ у забисности од тога да ли она чува или мења оријентацију тог простора. Композиција двеју директних или индиректних трансформација сличности
Дефиниција 2.5. Нека је О произвољна тачка простора Еⁿ и к реалан број различит од нуле. Хомотетијом са средиштем О и коефицијентом к називамо трансформацијуНо,k :Eⁿ→Eⁿ ,( n = 1,2,3) која сваку тачкуX єEⁿпреводи у тачку X´Eⁿ такву да је´= k· . Teoрема 2.6. Хомотетија Но, kпростора Еⁿ представља трансформацију сличности са коефицијентом k´= ׀k׀ Teoрема 2.7. Трансформацију сличности Ρ: Eⁿ→Eⁿ која преводи сваку паралелну праву у њој паралелну праву представља транслацију или хомотетију. ПОТЕНЦИЈА ТАЧКЕ У ОДНОСУ КРУГТрансформације сличности простора Еⁿ омогућују у геометрији
ликова тог простора разоткривање разних метричких својстава тих ликова.Од
посебног значаја су интереса својства везана за круг.Уз помоћ потенције
тачке Теорема 2.8. Ако су у равни задати
круг k и тачка Р,тада
за свакy праву sкоја сече kруг
у тачкама X Y и пролази крозтачку Р важи ·=
const.Ako Доказ: Из сличности троуглова РХТ и РYТ следи да је
: Дефиниција 2.6. Константан производ·уведен претходном теоремом називамо потенција тачке Р у односу на круг k ,и означавамо саp(P,k). Oзначимо са ОР = d, а са А и В пресечне тачке праве РО и круга k.Тада
је Teoрема 2.9. Скуп свих тачака равни Е² којима су потенције у односу на два ексцентрична круга k1(O1,r1)иk2(O2, r2) међусобно једнаке представља једну праву управну на правој О1О2. Дефиниција 2.7.Скуп свих тачака равни чије су потенције једнаке у односу на два ексцентрична круга k1и k2називамо потенцијалном или радикалном осом тих кругова. Дефиниција 2.8.Скуп свих кругова неке равни од којих свака два имају за потенцијалну осу исту праву р,назива се прамен кругова или систем коаксијалних кругова, а права р потенцијална оса тог прамена. Teoрема 2.10. Потенцијалне осе
трију кругова припадају истом прамену правих. Дефиниција 2.10. Прамен кругова у равни Е² је елиптички ако се кругови тог прамена секу у двема различитим тачкама,параболички ако се додирују и хиперболички ако немају заједничких тачака.
Слика 5. Елиптички,параболички и хиперболички прамен кругова Teoрема 2.12. За свака два круга постоји тачно један прамен кругова коме они припадају. Teoрема 2.13. Скуп кругова ортогоналних на све кругове датог прамена представља опет прамен кругова.У том случају потенцијална оса првог прамена садржи средишта кругова другог прамена. Дефиниција 2.11.Праменови кругова из претходне теореме називају се ортогоналним. 3. ИНВЕРЗИЈА У ОДНОСУ НА КРУГ Једини нелинеарни епицикли еуклидске равни су кругови.Тиме
је истакнут значај овог геометријског лика коме се у еуклидској геометрији
посвећује посебна пажња. ОПШТИ ПОЈМОВИ Дефиниција 3.1. Некаjеk(О,r)
произвољан круг равниЕ² и²
=Е² \ {О}. Taчку О називамо центром или средиштем
инверзије, дуж r –полупречником инверзије,величину
r² – степеним коефицијентом, круг kкругом
инверзије ψк а ²-
Гаусовом равни.(слика 6.) Слика 6. Дефиниција 3.1. Нека је дат круг са центром О. Нека је тачка Р´ слика тачке Р различите од О при инверзији у односу на круг k. Права нормална на ОР у тачки Р´ назива се полара тачке Р у односу на круг k, и обратно, тачка Р се назива пол праве р у односу на круг k. Својства: а ) Нека су праве р и q поларе тачака Р и Q у односу на круг k.Тачка Р припада правој q акко тачка Q припада правој р.Тачке Р и Q називамо коњугованим у односу на круг k ако једна лежи на полари друге. b ) Пол неке тачке коњугован је у односу на све тачке те праве. с ) Поларе свих тачака једне праве у односу на неки круг секу се у једној тачки ( у полу те праве у односу на исти круг). ОСОБИНЕ ИНВЕРЗИЈЕИз дефиниције инверзије непосредно следи наредно тврђење: Теорема 3.1. Инверзија у односу на круг је бијекција. Теорема 3.2. Инверзија у односу на круг је инволуција. Доказ: Нека је ψк : ²
→²
инверзија у односу на круг k(О,r).Ако
је X²
произвољна тачка,тада тачка X´= ψк ( X) припада полуправој
OXпри чему је Теорема 3.3. У инверзији ψк : ² →² тачка X је инваријантна ако и само ако X припада кругу k . Доказ: Ако је X²
инваријанта имамо да је
·
= r² па је ОX = r ,тј. тачка X припада кругу
k. Теорема 3.4. У инверзији ψк : ² →² тачки X која се налази у кругу k одговара тачка X' која се налази изван круга и обратно тачки X која се налази изван круга k одговара тачки X' која се налази у кругу k. Доказ: Нека је О средиште и r полупречник инверзије
ψк .Ако је X у кругу k тада је ОX <
r па из релације
·'
= r² следи да је ОX' > r,тј. тачка X је
изван круга k. 4. АПОЛОНИЈЕВИ ПРОБЛЕМИ О ДОДИРУ КРУГОВАПрименом инверзије у односу на круг .могу се елегантно решити Аполонијеви проблеми о додиру круга.Проблеми могу бити следећег облика: Конструисати круг који задовољава три услова од којих сваки
има један од облика: ● додирује дату праву, ● додирује дати круг. Аполонијевих проблема има десет: 2. Конструисати круг који садржи две дате тачке и додирује дату праву 3. Конструисати круг који садржи две дате тачке и додирује дати круг. 10. Конструисати круг који додирује три дата круга.
Oзначићемо дате параметре на следећи начин: тачке А , В , С; праве р1 , р2, р3; кругове O1 O2,O3.Тада Аполонијеве проблеме шематски можемо приказати на следећи начин:
Први и седми проблем су тривијални. Такође и сви остали Аполонијеви проблеми се могу решити без примене инверзије. Међутим, инверзија даје један општи метод за њихово решавање. Он се заснива на чинењици да се у одређеном случају, као што смо видели, круг пресликава у праву и обрнуто. 2. Конструисати круг који садржи две дате тачке и додирује дату праву р1 . Анализа:Нека круг k садржи две тачке А
и В,и додирује дату праву р1 у тачки
D . При инверзији у односу на круг l(А,АВ) правој р1
, одговара круг р1'
(сл.8.) који пролази кроз тачку А
а круг k одговара правој k'. Конструкција: Нека су дате две тачке А
и В права р1 , тако да су тачке А
и В са исте стране праве р1.
Конструишемо затим круг l(А,АВ) и инверзну слику праве р1
у односу на круг l. То ће бити круг р1'
,који пролази кроз центар
инверзије А. Из тачке В конструишемо тангенту k' на
круг р1'. Конструишимо
затим инверзну слику праве k' у односу на круг l(А,АВ).То
ће бити тражени круг k.Докажимо то. Дискусија: Под условом да су тачке А и В са
исте стране праве р1задатак има два решења јер се из
тачке В могу конструисати две тангенте на круг р1'.
Случај када су А и В са разних страна праве
р1 нема смисла разматрати,јер у том случају круг k у
пресеку са правом р1има две заједничке тачке. Нека круг k пролази кроз тачке А и В и
додирује дати круг O.Конструишимокруг
l(А,АВ) (сл. 9.). У инверзији у односу на дати круг l,
19 Конструкција: Конструисати круг РМ'А који
пресеца МА у тачки А' инверзији тачке А у односу
на Р (једнакост (1)). Тачка у којој тражени круг додирује праву
р1 добија се ако се из тачке Q повуче тангента
QS на круг РМ'А и пренесе QS = QТ.Симетрала
дужи АА' и нормала повучена у тачки Т на праву родређује
центар (С) траженог круга. ■ 5. МАСКЕРОНИЈЕВЕ КОНСТРУКЦИЈЕИнверзија има пуно примена код тврђења која приказују разне односе међу правама, круговима као и односе међу правама Једна од примена јесте и при Маскеронијевим конструкцијана или друкчије званим конструкцијама само шестаром . Под конструкцијом се у класичној еуклидској геометрији подразумева низ операција помоћу шестара и лењира,које се могу сврстати у једну од следећих пет група: 1. Одређивање праве кроз две задате тачке, 2. Одређивање пресека две задате тачке, 4. Одређивање пресека две праве и датог круга, и Каже се да се конструкције изводе уз помоћ лењира и шестара,јер ове механичке направе у идеалном случају омогућавају извођење ових корака.Поставља се питање да ли је могуће неку од ових справа изоставити из процеса конструкције. Јасно је да није могуће само лењиром конструисати круг илисамо шестаром праву. Ипак,може се усвојити договор да је у првом случају круг конструисан ако му је познат центар и једна тачка, а да је у другом случају права конструисана ако су јој дате две тачке.При томе се,наравно,захтева да се над сваким на тај начин "добијеним" кругом, односно правом,могу даље вршити операције 1-5.
preuzmi seminarski rad u wordu » » »
|