SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
HERON IZ ALEKSANDRIJE - MERENJEKontraverze oko perioda kada je Heron živeoStalno pokretano pitanje oko perioda u kom je živeo Heron izazvalo je skoro isto toliko polemika koliko i bilo koje tvrđenje u istoriji matematike. Na početku se mnogo govorilo o navodnoj vezi između Herona i Ctesibiusa. Heronova Βελοποιϊκαima, u originalu, naslov ‘Ηρωνος Κτησιβίου Βελοποιϊκα’, i uz izraz koji je koristio anonimni Vizantijski pisac iz desetog veka, ό Ασκρηνòς Κτησίβιος ό τού ̀Αλεζανδρέως Ηρωνος καθηγητής - Ctesibius iz Ascre , učitelj Herona iz Aleksandrije, izvodi se zaključak da je Heron bio Ctesibiusov učenik. Postavlja se onda pitanje , kada je Ctesibius živeo? Martin je smatrao da je on izvesni berberin koji je živeo u vreme Ptolomeja VII koga su zvali Physcon (umro je 117 p.n.e.) , i koji je napravio poboljšani uređaj za vodu; Zato je Martin smestio Herona na početak prvog veka (recimo 125-50) p.n.e. Ali Filon iz Vizantije, koji često pominje Ctesibiusa po imenu, kaže da su prvi mehaničari imali čast da žive pod kraljem koji je voleo slavu i i podržavao umetnost. Ovaj opis mnogo više odgovara Ptolomrju II Filadelfusu (285-247) i Ptolomeju III (247-222). Zato je verovatnije da je Ctesibius bio mehaničar Ctesibius za koga Atenaeus kaže da je napravio elegantan rog za piće u vreme Ptolomeja Filadelfusa; Zbog toga bi Ctesibiusov učenik verovatno pripadao kraju trećeg i početku drugog veka p.n.e.. Ali , istina je da mi ne možemo sa sigurnošću tvrditi da je Heron bio Ctesibiusov učenik. Vizantijski pisac verovatno ovo zaključuje iz prethodno navedenog naslova; naslov sam po sebi ne mora da implicira ništa više do toga da je Heronov rad bio samo novo izdanje sličnog Ctesibiusovog rada, i da je 'Κτησιβίου' možda čak i dodat od strane nekog načitanog izdavača koji je poznavao radove obojice i želeo da naglasi da je veći deo sadržaja Heronovog rada nastao zahvaljujući Ctesibiusu. Jedan zapis ima ‘Ηρωνος Κτησιβίου Βελοποιϊκα’, koji odgovara naslovima ostalih Heronovih dela i zato je on verovatniji.Otkriće grčkog teksta Metrica od strane R.Schöne 1896. omogućio je da se sa sigurnošću odredi gornja granica perioda. U tom tekstu postoji niz aluzija na Arhimeda, tri reference na Apoloniusov χωριου άποτομή i dve na 'knjige o pravim linijama(tetivama) u krugu' (δέδεικται δέ έν τοις περί τώνένκκλω εύθειών). Danas , iako se pojava trigonometrije vezuje još za Apoloniusa, znamo da nijedan rad nije pominjao pravu Tabelu tetiva sve do pojave Hiparkusove tabele. Tako da dobijamo period oko 150-e godine p.n.e. kao terminus post quem. Terminus ante quem je potkrepljen periodom stvaranja Papusove Kolekcije, zato što on takođe aludira i poziva se na Heronove radove. Kako je Papus pisao u vreme Dioklecijana(284-305 n.e.), znači da Heron nije mogao živeti mnogo posle , recimo, oko 250 godine n.e.. Govoreći o rešenjima 'starih geometara' (οί παλαιοί γεωμέτραι)o problemu nalaženja dva glavna proporcionala, može se učiniti da Papus uključuje Herona zajedno sa Erastotenesom, Nikomedesom i Filonom, na osnovu čega se može tvrditi da je Heron živeo dosta pre Papusa. Ali, kada se bolje prouči sledeći pasus, vidi se da to ne mora da bude slučaj: 'Stari majstori geometrije nisu bili u stanju da reše problem dve prave linije (nalaženja glavnog proporcionala među njima) običnim geometrijskim metodama, pošto je problem po prirodi ''čvrst''... ali korišćenjem mehaničkih sredstava uspeli su , na divan način, da svedu pitanje na praktičnu i podesnu konstrukciju , kao što se može videti u Eratostenesovom Mesolabonu i u mehanikama Filona i Herona ... Nikomedes je problem takođe rešio uz pomoć konkavne krive, sa kojom je takođe podelio ugao na tri dela.' Papus dalje tvrdi da će on dati četiri rešenja, od kojih je jedno njegovo; prvo, drugo i treće on opisuje kao rešenja Erastotenesa, Nicomedesa i Herona. Ali u jednoj od prethodnihj rečenica on pominje Filona zajedno sa Heronom , a mi preko Eutocijusa znamo da je Heronovo rešenje praktično isto kao i Filonovo. Zato možemo zaključiti da je pod trećim rešenjem Papus stvari mislio na Filonovo reženje, i da Heronovu Mehaniku pominje samo zato što je to bilo pogodno mesto za pronalaženje istog rešenja. Još jedan argument je baziran na činjenici da su izvodi iz Heronove Mehanike dati na kraju Papusove knjige VIII, onakve kakvu je mi znamo, uvedeni uz opasku autora da su kopije Heronovih radova iz kojih je tekst uzet bili oštećeni i bez početka i kraja. Ali izvode je izgleda dodao ne Papus, već neki kasniji pisac, pa argument 'pada u vodu'. Pošto su vremenske granice svedene na period od 150 godine p.n.e. do 250 godine n.e., ostaje nam samo da definišemo, što je bolje moguće, vezu između Herona i ostalih matematičara, koji su živeli otprilike u isto vreme. Ovaj metod nas je doveo do najnovijih pisaca o ovoj temi (Tittel) koji smeštaju Herona ne mnogo posle 100-te godine p.n.e. dok drugi, koji se oslanjaju pre svega na poređenje tekstova o Ptolomeju i Heronu, dolaze do zaključka da je Heron živeo posle Ptolomeja i pripadao drugom veku n.e. U pogledu razlika između ovih rezultata, bilo bi zgodno sumirati sve dokaze da bi se utvrdilo što tačnije početno vreme, i da se odredi koliko je to daleko u poređenju sa krajnjim vremenom. Počinjemo sa vezom između Herona i Filona. Smatra se da je Filon generacijski odmah posle Ctesibiusa, zato što su izgleda mašine za izbacivanje projektila koje su konstruisali Ctesibius i Filon bile istovremeno dostupne ekspertima za inspekciju; zato zaključujemo da Filonovo vreme ne može biti kasnije od kraja drugog veka p.n.e. (Ako je Ctesibius bio najplodniji pre 247 godine p.n.e. , argument ukazuje da se pre radi o početku nego o kraju drugog veka.) Dalje, Heron je navodno bio Filonov mlađi savremenik i to na osnovu sledećeg: 1) Heron pominje 'stacionarnog-robota' koga je Filon predstavio u priči o Naupliusu, što je takođe uočio i Tittel dodajući i napomene o istoj priči kod nekoliko Heronovih savremenika. Ali pažljivim proučavanjem celog pasusa, čini se da kasnija prezentacija nije bila Filonova, i da je Heron Filona uključio u 'stare' tvorce 'robota' a ne u svoje savremenike. 2) Drugi argument iznet da pokaže da je Filon bio Heronov savremenik je činjenica da je Filon kritikovao detalje konstrukcije 'izbacivača projektila' koje je našao kod Herona , odakle i zaključujemo da je Filon imao Heronov rad pred sobom. Ali ako je Heronova Βελοποιϊκα zasnovana na Ctesibiusovom radu, sasvim je moguće da Filom misli na Ctesibiusa. Problem sa početnim vremenom je veza po kojoj Heron stoji odmah do Posidoniusa. U Heronovoj Mehanici, postoji definicija 'gravitacionog centra' koju je Heron pripisao Posidoniusu (Stoik). Ali ovo teško da može da bude Posidonius iz Apameje, Cicerov učitelj, zato što sledećom rečenicom Heron, navodeći osobenost koju je podvukao Arhimed u vezi sa ovom definicijom, kao da implicira da je pomenuti Posidonius živeo pre Arhimeda. Ali Heronove Definicije sadrže definicije geometrijskih predstava koje je za Posidoniusa iz Apameje ili Rodosa zapisao Proklus, posebno definicije 'figure' i 'paralelnih linija'. Posidonius je živeo u periodu od 135 do 51 godine p.n.e. i oni koji podržavaju teoriju o Heronovom ranijem vremenu mogu samo da ustvrde da ili Posidonius nije prvi dao ove definicije ili, ako jeste, i ako ih je sam Heron uključio u svoje Definicije a ne neki kasniji izdavač, onda Heron nije mogao živeti pre prvog veka p.n.e. Opet, ako je Heron živeo početkom prvog veka p.n.e., neverovatno je da ga Vitruvius nigde ne pominje. De Architectura se, čini se, pojavila 14 godine p.n.e. i u predgovoru Knjige VII Vitruvius daje listu autoriteta za mašine čije je izvode uzeo. Lista sadrži dvanaest imena sa svim detaljima; ali dok uključuje Arhitasa(drugi), Arhimeda(treći), Ctesibiusa(četvrti), i Filona iz Vizantije(šesti), on uopšte ne pominje Herona. Takođe nije moguće uspostaviti vezu između Herona i Vitruviusa; čini se da ima više razlika neo sličnosti. Možemo pomenuti nekoliko razlika. Vitruvius koristi 3 kao vrednost za p , dok Heron uvek koristi Arhimedovu vrednost . Oba pisca uzimaju izvode iz Aristotelove Μηχανικά προβλήματα , ali im je izbor različit. Sredstva koja dva autora koriste za istu svrhu se često razlikuju u detaljima; npr. u Vitruviusovom 'hodometru' šljunak pada u kutiju na kraju svake rimske milje, dok se u Heronovom hodometru postignuta razdaljina obeležava pokazivačem. Jasno je da je Heronov 'uređaj za vodu' u mnogim aspektima primitivniji od Vitruviusovog; ali, iako su instrumenti različiti, to ništa ne dokazuje. Sa druge strane postoje dodirne tačke između nekih Heronovih tvrđenja i Rimskog načina merenja zemlje. Columella, (oko 62 godine n.e.) daje određene mere ravnih figura koje se slažu sa formulama koje je koristio Heron, i to za jednakostranični trougao, pravilan šestougao (u ovom slučaju se ne samo formula već i cifre slažu sa Heronovim) i deo kruga koji je manji od polukruga, čija je formula
' Dozvolite da vam predstavimo ne samo opažanja starih već i konstrukciju Hiparkusove dioptre. Prvo ćemo pokazati kako možemo meriti vremenski interval uz pomoć pravilnog isticanja vode, proceduru koju je objasnio Heron-mehaničar u svojoj studiji o vodenom satu.' Teon iz Aleksandrije ima tekst sličnog sadržaja. On prvo kaže da su najstariji matematičari napravili sud koji je puštao vodu da teče ravnomerno kroz mali otvor na dnu, a na kraju dodaje skoro istim rečima kao i Proklus, da je Heron pokazao kako se sa uređajem manipuliše u svojoj prvoj knjizi o vodenim satovima. Teonov izvor su Papusovi Komentari o Sintaxis, koji je istovremeno koristio i Proklus, kao što pokazuje činjenica da Proklus daje crtež vodenog sata koji se izgleda izgubio u Teonovom prevodu Papusovog rada, ali koji je Papus morao da prenese iz Heronovog rada. Tittel zaključuje da su Herona morali smatrati jednim od starijih pisaca u odnosu na Ptolomeja. Ali ovo izgleda nije dovoljno. Bez sumlje da je Heronov rad bio dobar izvor za opis vodenog sata, ali to ne znači da je Ptolomej govorio baš o Heronovom satu a ne o nekom ranijem obliku istog instrumenta. Sasvim drugi zaključak od Tittelovog dat je u članku 'Ptolomej i Heron' koji smo ranije pomenuli. Argumenti su ukratko sledeći: 1) Ptolomej kaže u svojoj Geografiji da su njegovi prethodnici bili u stanju da izmere samo rastojanje između dva mesta (kao što je luk velikog kruga zemljine kugle) u slučaju gde su dva mesta na istom meridijanu. On tvrdi da je sam izumeo način da se ovo uradi čak i u slučaju kada dva mesta nisu na istom meridijanu niti na istom paralelnom krugu, pod uslovom da su visine polova u oba mesta, ugao između velikog kruga koji prolazi kroz oba i meridijanskog kruga koji prolazi kroz ova mesta poznati. Heron se u svojoj Dioptri bavi problemom merenja rastojanja između dva mesta uz pomoć dioptre, i uzima kao primer rastojanje između Rima i Aleksandrije. Nažalost, tekst je na nekoliko mesta oštećen i manjkav, tako da se metod ne može rekonstruisati u potpunosti. Ali se zna da je uključivao isto pomračenje meseca iznad Rima i Aleksandrije i crteža putanje koju sunce pravi iznad Rim. Što znači da metod za koji Ptolomej tvrdi da ga je izmislio, Heron opisuje kao stvar opšte poznat ekspertima i ne mnogo značajniji od drugih tehničkih stvari o kojima se govori u istoj knjizi. Prema tome Heron je morao živeti posle Ptolomeja. (Treba dodati da neki smatraju da poglavlje Dioptra o kojoj je reč nije povezana sa raspravom, i da ga verovatno nije pisao Heron, već da ga je dodao neki kasniji pisac; ako je to slučaj onda ovaj argument nema važnost. 2) Dioptra opisana u Heronovom radu je fin i precizan instrument, mnogo bolji od onog koji je Ptolomej imao na raspolaganju. Ako je Ptolomej bio svestan njegovog postojanja , teško da bi se mučio da pravi svoj nesavršen instrumentza merenje paralakse (ugla konvergencije), pošto je lako mogao da dođe do Heronove dioptre. I zato , ne samo da je Heron morao živeti posle Ptolomeja, već kako se vidi da je tehnika pravljenja instrumenata značajno napredovala u ovom periodu, mora da je ipak živeo dosta posle njega. 3) U svom radu περί ροπών ,Ptolomej je, kao što smo videli, osporio Aristotleov stav da vazduh ima težinu čak i kada je okružen vazduhom. Aristotel je dokazao eksperimentom da je sud pun vazduha teži od praznog suda; Ptolomej je, takođe eksperimentom, dokazao da je u prvom slučaju sud sa vazduhom lakši. Ptolomej je onda proširio argumentaciju i na vodu, držeći da voda oko koje je voda nema težinu i da ronilac, bez obzira kako duboko ronio, ne oseća težinu vode iznad njega. Heron tvrdi da voda nema primetnu težinu ni snagu da sabije vazduh u prevrnutom sudu, kada se ovaj pritiska na površinu vode. Kao potvrda ovoga on citira slučaj ronioca koji može da diše na velikoj dubini. On se onda pita koji su to razlozi da ronilac nije ugnjetavan iako je pod neograničenom težinom vode na svojim leđima. Prihvata, zato, Ptolomejev stav kao činjenicu, ma kako čudno zvučala. Ali nije zadovoljan datim objašnjenjem: 'Neki kažu', nastavlja on, 'da je to zato što je voda ravnomerne težine (ίσοβαρές αύτό καθ́ αύτό)' – Ovo je čini se istovetno Ptolomejevom tvrđenju da voda u vodi nema težinu – 'ali ne daju nikakvo objašnjenje zašto ronioci... 'On sam pokušava da da objašnjenje zasnovano na Arhimedovom. Čini se zato da je Heronova kritika upućena isključivo Ptolomeju i nikom drugom. 4) Tvrdi se da je Dionisius kome je Heron posveto svoje Definicije izvesni Dionisius koji je bio praefectus urbi u rimu 301 godine n.e. Argumenti za ovo su a) Heron se Dionisiusu obraća sa Διονύσιε λαμπρότατε gde λαμπρότατε očigledno odgovara latinskom clarissimus, titula koja se u trećem veku pod Dioklecijanom još nije koristila. Štaviše, ovaj Dionisius je bio curator aquarum i curator operum publicorum, tako da je bio osoba koja je morala da sarađuje sa inženjerima, arhitektama i majstorima za koje je Heron pisao. Na kraju , on se pominje u zapisu koji komentariše poboljšanje u snabdevanju vodom i koji je posvećen 'Tiberinusu, ocu svih voda, i starim izumiteljima veličanstvenih konstrukcija' (repertoribus admirabilium fabricarum priscis viris), izraz koji se ne pominje ni u jednom drugom zapisu a koji ukazuje na počasti koje je Heron često ukazivao svojim prethodnicima. Ova identifikacija dve osobe koje imenuju Dioniusa je genijalna pretpostavka, ali nema dovoljno dokaza da bi to bilo išta više od toga. Upravo sumiran rezultat cele istrage pokazuje da Herona treba smestiti u treći vek n.e. i možda malo , ako je to uopšte potrebno, pre Papusa. Heiberg prihvata ovaj zaljučak, za koji se zbog toga, pretppostavljam, može tvrditi da je realan za sada. Heron bio poznat kao Αλεζανδρεύς (prema Papusu) ili kao Mηχανικός (mehanikus), da bi se razlikovao od drugih osoba istog imena; Proklus i Damianus koriste drugi naziv, dok Papus takođe govori o οί περί τόν Ηρωνα μηχανικοί. Karakter radovaHeron je bezmalo bio enciklopedijski pisac za teme iz matematike i fizike. Cilj mu je više bila praktičnost nego teoretska kompletnost; razlog za ovo je verovatno njegovo okruženje u Egiptu. Njegova Metrika počinje starom legendom o tradicionalnom poreklu geometrije u Egiptu, a u Dioptri nalazimo jedan od najvećih problema koje je geometrija pokušavala da reši, a to je ponovno određivanje međa na zemlji posle poplave Nila: ' Kada su međe na području uništene do nivoa kada ostanu samo dva ili tri obeležja, onda je potreban plan područja da bi se međe obnovile'. Heron za malo toga u svojim radovima polaže pravo na originalnost; često citira autoritete, ali u skladu sa grčkom praksom, on to češće propušta da uradi i to bez namere da bilo koga dovede u zabludu; samo kada je po sopstvenom mišljenju postigao napredak u odnosu na metode svojih predhodnika, on se potrudi da pomene činjenice; to je navika koja jasno pokazuje , osim u ovim slučajevima, da on jednostavno pokušava da svoje radove izloži uz pomoć metoda koje su po njemu najjednostavnije za razumevanje i primenu. Čini se da je Metrika najbogatija konkretnim referencama na otkrića prethodnika; imena koja se pominju su : Arhimed, Dionisodorus, Eudoxus, Plato; U Dioptri citira Eratostenesa, a u uvodu Catoprike pominje Platoa i Aristotlea. Kako je praktičnost Heronovih uputstava ogromna, razumljivo je što su bila omiljena, i podjednako je razumljivo da su se najpopularnija od njih ponovo štampala, menjala ii dopunjavala od strane kasnijih pisaca; ovo je neizbežno kod knjiga koje su kao Euklidovi Elementi, kod Grka bile sastavni deo grčkog, vizantijskog, rimskog i arapskog obrazovanja vekovima. Knjige o geometriji ili merenjima dozvoljavaju proširivanje povećanjem broja primera, tako da je teško odvojiti Heronove od ostalih kolelcija koje su se pojavile pod njegovim imenom. Hulčovo mišljenje je sledeće: 'Heronovi tekstovi koji su stigli do našeg vremena su autentični utoliko što nose njegovo ime i što su očuvali originalni dizajn i formu Heronovih radova, ali su neautentični iz razloga što su zbog česte upotrebe često ponovo izdavani, prepisivani i prilagođavani potrebama trenutka. Lista raspravaHeronova dela koja su preživela došla su do nas u različitim oblicima. Na grčkom su:
Samo su delovi grčkog teksta Mehanike u tri knjige su preživeli, međutim ona postoji na arapskom (sada izdata na nemačkom, u Heronisovoj Operi, knjiga II od strane L.Nixa i W.Schmidta, Teubner, 1901). Manji rukopis o mehanici, Βαρουλκός, navodi Papus. Predmet ovog rukopisa je 'pomeranje date težine uz pomoć date sile' , a mašina se sastojala od zupčanika različitog prečnika. Na kraju Diptra je opis hodometra za merenje rastojanja koje prelazi vozilo sa točkovima, vrsta taksametra, takođe napravljena od zupčanika. Rad o vodenim satovima (περί ύδρίων ώροσκοπείων) za koji se u Pneumatici kaže da ima četiri Knjige, takođe pominje i Papus. Delovi su sačuvani u Proklusovim (Hypotyposis, poglavlje 4) i u Papusovim komentarima o Knjizi V Ptolomejovih Sintaksi koje je obnovio Teon. Vrlo malo Heronovih komentara o Euklidovim Elementima je preživelo na grčkom (Proklus), ali veliki deo izvoda je srećom sačuvan na arapskom u komentarima an-Nairizija, izdatim u (1) latinskoj verziji Gherarda iz Kremone od strane Curtze (Teubner, 1899) i (2) od strane Besthorna i Heiberga (Codex Leidensis 399. 1, od kojih se pet delova pojavilo do 1910). Komentari se odnose na delove Euklidovih Elemenata bar do VIII. 27. Catoptrica, kako je već pomenuo Ptolomej, postoji u latinaskom prevodu sa grčkog, pretpostavlja se da je to delo Wiliama iz Moerbeke, i uključena je u knjigu II Heronisove Opere , koju je sa uvodom izdao W.Schmidt. Ništa se ne zna o Camarici ('o lukovima') koje pominje Eutocijus (o Arhimedu, Sfere i Cilindri), o Zygii (uravnoteženost) koju Papus povezuje sa Automatom ili o radu o upotrebi astrolaba koja se pominje u Fihristu. U ovom radu se bavimo rukopisima sa matematičkim sadržajem, i zato možemo da izostavimo radove kao što su Pneumatika , Automata i Belopoïca. Prve dve su međutim interesantne istoričarima fizike zato što govore o pojmovima kompresovanog vazduha, vode ili pare. U Pneumatici će čitalac naći i pojmove kao što su sifon, Heronova fontana, mašine koje se pokreću ubacivanjem novčića, vatrene mašine, vodene-uređaje i mnoge sprave koje koriste silu pare. Geometrija(a) Komentari o Euklidovim Elementima Pre nego što pređemo na Heronovu geometriju i merenja (ili geodeziju) bilo bi dobro početi sa tim šta su to elementi i pre svega sa Komentarima o Euklidovim Elmentima, čiji izvodi postoje u an-Nairizijevim i Proklusovim radovima, što nam dozvoljava da steknemo opštu sliku o karakteru radova. Uopšteno govoreći, Heronovi radovi ne sadrže mnogo toga što bi se moglo okvalifikovati kao važno. Mogu se klasifikovati na sledeći način:
Primere za ovo nalazimo u I. 35,36, III. 7,8 (gde su tetive koje se porede nacrtane sa različitih strana prečnika umesto sa iste strane), III. 12 (koji uopšte nije Euklidov već Heronov, dodat dkao primer spoljanjeg kontakta nasuprot primeru unutrašnjeg kontakta u III.11, VI. 19 (gde je trougao na kom je povučena linija manji od onog bez linije), Vii. 19 (gde je dat poseban primer tri broja u kontinualnoj proporciji umesto četiri)
Čini se da je Heron bio prvi koji je uveo lak ali ne i poučan polu-algebarski metod dokazivanja proporcionalnosti II.2-10 koji je sada tako popularan. Ovom metodom tvrđenja se dokazana bez cifara kao posledica II. 1 odgovarajuće algebarske formule Heron objašnjava da nije moguće dokazati II.1 bez crtanja niza linija (tj. bez stvarnog crtanja trouglova), ali da se sledeća tvrđenja do II. 10 mogu dokazati samo crtanjem jedne linije. On pravi razliku između dve varijacije metoda, jedne sa razdvajanjem, druge sa komponovanjem, pod čim izgleda smatra deljenje pravougaonika i kvadrata i kombinovanje istih u druge figure. Ali u svojim dokazima on ponekad kombinuje oba metoda. Dati su i neki alternativni dokazi (a) tvrđenja iz Knjige III, tačno III.25 (stavljeni posle III.30 i a koji počinju od luka umesto tetive), III.10 (dokazan pomoću II.9), III.13 (dokaz iz kog proizilazi teorema koja kaže da prava ne može da dodiruje krug u više od dve tačke). Klasi alternativnih dokaza (b) pripadaju i oni kojima je cilj da postignu određen cilj (ένστασις) koji je ili bi mogao da bude postavljen na Euklidovim konstrukcijama. Zato u određenim slučajevima Heron izbegava da nacrta pravu liniju tamo gde to Euklid čini, sa namerom da postigne cilj onoga koji bi trebao da porekne naše pravo da pretpostavimo da ima imalo slobodnog prostora. Dokazi ove vrste su I.11,20 i njegove primedbe na I.16. Slično u I.48 on pretpostavlja da je konstruisani pravougli trougao konstruisan sa iste zajedničke strane kao i dati trougao. Treća klasa dokaza (c) je ona koja izbegava reductio ad absurdum, npr. direktni dokaz iz I.19 (za koji on zahteva i daje preliminarnu teoremu) i I.25.
(2) je suprotnost Euklidovom I.43. , Ako se paralelogram podeli na četiri dela ADGE, DF,FGCB,CE tako da su DF i CE jednaki, zajednički tačka G će ležati na dijagonali AB. Heron produžava AG tako da seče CF u tački H, i onda dokazuje da je AHB prava linija. Pošto su DF i CE jednake, onda su i trouglovi DGF I ECG jednaki. Dodavanjem trougla GCF dobijamo trouglove ECF, DCF koji su jednaki i duži DE i CF koje su paralelne. U trouglovima FHB i CHG, po dve stranice (BF, FH i GC, CH) i uglovi između njih su jednaki, pa su zato ti trouglovi podudarni, a uglovi BHF i GHC su jednaki. Dodajte svakom od njih ugao GHF i dobija se: (b) Definicije Potpuna kolekcija Definicija je posvećena Dionisijusu kao predgovor sledećih tvrđenja: MerenjaMetrika, Geometrika, Stereometrika, Geodezija, Merenja Sada dolazimo do Heronovih merenja. Od svih u naslovu pomenutih radova, Metrika je najvažnija sa naše tačke gledišta, zato što se čini da je više nego svi ostali sačuvala svoj izvorni oblik. Takođe je temeljitija u smislu da daje teorijsku osnovu korišćenih formula, i nije samo primena pravila na određene primere. Takođe je srodnija teoriji utoliko što ne koristi konkretne mere, već proste brojeve ili jedinice koje mogu onda u određenim slučajevima biti uzete kao stopa, lakat ili bilo koja druga jedinica merenja. Do 1896, kada je R. Schöne otkrio rukopis o merama u Konstantinopolju, jedino su bile poznate po aluzijama u Eutociusovim radovima(o Arhimedovim merenjima kruga), koji kaže da je način da se dobije približna vrednost kvadratnog korena od broja koji nije kvadratan pokazan u Heronovoj Metrici, kao i u radovima Papusa, Teona i ostalih koji su komentarisali Ptolomejevu Sintaksu. Tanery je već 1894 otkrio deo Heronove Metrike koji daje određeno pravilo u Parisovom rukopisu iz trinaestog veka, koji sadrži Uvod u Sintakse, izrađen verovatno od komentara Papusa i Teona. Druga interesantna razlika između Metrike i ostalih radova je da je u prvom grčki način pisanja razlomaka (naš način) dominantan, a egipatski oblik (koji izražava razlomak kao sumu umanjenih činilaca) je redak, dok je u drugim radovima obrnuto. Sadržaj MetrikeKnjiga I, Merenja površinaUvod opisuje tradiciju po kojoj je prva geometrija nastala iz praktične potrebe za merenjem i podelom zemlje (odakle i ime 'geometrija'), posle čega je proširenje na tri dimenzije postalo neophodno da bi se izmerila ispunjena tela. Heron zatim pominje Eudoksusa i Arhimeda kao pionire u otkrićima teških merenja, pri čemu je Eudoksus prvi dokazao da je cilindar ustvari trostruka kupa iste osnove i iste visine i da je odnos krugova isti kao i odnos kvadrata njihovih prečnika, dok je Arhimed prvi dokazao da je površina sfere jednaka četvorostrukoj površini velikog kruga u njoj i da je zapremina sfere jednaka dvotrećinskoj zapremini cilindra koji ga opisuje. (a) Površina raznostranog trougla Posle lakih slučajeva pravougaonika, pravouglog i jednakostraničnog trougla, Heron daje dva načina za nalaženje površine raznostranog trougla (oštrouglog ili tupouglog) kada su date dužine sve tri stranice.
odakle nalazimo AD2 (=b2 – CD2) , tako da nam je poznata površina ().
U slučajevima datim u Metrici I. 5, 6 stranice su (14, 15, 13) i (11, 13, 20) respektivno i AD je deljiva (=12). Ali naravno i CD (ili BD) i AD mogu imati iracionalne vrednosti pa u tom slučaju Heron daje približne vrednosti. U Geometriji 53, 54, Hultsch (15, 1-4, Heiberg) imamo trougao u kom je a=8, b=4, c=6 , tako da je a2 + b2 - c2 = 44 i u . Drugi način je Heronov obrazac kod nas poznat kao . Dokaz formule je dat u Metrici I. 8 i takođe u poglavlju 30 u Dioptri; ali je poznato (iz arapskih spisa) da je to u stvari Arhimedova ideja. BC.OD=2DBOC
pa dodavanjem p.OD=2DABC gde je p obim . (b) Metod približnog određivanja kvadratnog korena iz nekvadratnog broja U vezi trougla 7, 8, 9 Heron daje važnu izjavu o svom metodu izračunavanja približne vrednosti iracionalnog broja, koji je pre otkrića delova Metrike bio predmet beskonačnih pretpostavki kao što je i pitanje kako je Arhimed našao približnu vrednost . za drugu aproksimaciju uzimamo i tako dalje. Heron izgleda ne koristi ovu formulu sa negativnim brojevima, osim u
Stereometrici I. 33 (34, Hultsch) gde je
dat približno kao .
U Metrici I. 9, kao što smo videli,
je dat kao ,
što je bez sumlje dobijeno formulom (1) kao. (g) Četvorouglovi Nepotrebno je detaljno navoditi metode merenja četvorouglova (poglavlja 11-16). Heron se bavi sa sledećim vrstama četvorouglova, trapezom(jednakokrakim i nejednakokrakim), rombom i romboidom, i četvorouglovima koji imaju jedan prav ugao i u kojima četiri strane imaju date dužine. Heron naglašava da je u rombu ili romboidu, i uopšte u svim četvorouglovima, potrebno znati dijagonalu kao i sve četiri strane. Merenja u svim ovim slučajevima se svode na merenja pravougaonika i trouglova. (d) Pravilni poligoni sa 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ili 12 strana Počevši sa jednakostaničnim trouglom (poglavlje 17), Heron dokazuje da , ako je a stranica trougla i p normala iz naspramnog temena na tu stranu , važi a2:p2=4:3, pa tako da je a4:(DABC)2=16:3 Neka je ABC pravougli trougao, sa uglom A koji je jednak . Produžiti AC do O tako da CO=AC. Ako je sada AO podeljen na veći i manji deo, onda je AB jednak većem segmentu. (Ako se AB produži do D tako da je AD=AO, i spoji BO i DO, tada , pošto je ADO jednakokraki trougao i ugao kod A , ÐADO=ÐAOD=, i iz jednakosti trouglova ABC i OBC ÐAOB=ÐBAO=. Sledi da je trougao ADO jednakokraki trougao iz Eukl. IV. 10, , i tada je AD podeljena na veći i manji deo u B. Zato, kaže Heron, .[Ovo je EUkl. XIII. 1.] Pravilan sedmougaoHeron predpostavlja (poglavlje 20), da , ako je a stranica i r poluprečnik opisanog kriga, postoji veza , što je približno normali povučenoj iz centra kruga na stranu šestougla upisanog u taj krug (zato što je približno ). Ova teorema citira Joradnus NEmorarius (d. 1237) kao 'indijsko pravilo'; on ga je verovatno preuzeo od Abul Wafa (940-98). Metrika pokazuje da je ona gročkog porekla, i ako je Arhimed zaista napisao knjigu o sedmouglu u krugu, možda za to treba njemu zahvaliti. Ako je p normala povučena iz centra kruga na stranu (a) upisanog sedmougla, ili , pa i ili .. Zbog toga je površina sedmougla jednakaPravilan osmougao, desetougao I dvanaestougao U ovim slučajevima (poglavlja 21, 23, 25) Heron nalazi p crtanjem normale OC iz O, centra opisanog kruga, na stranu AB, a zatim se povlači prava ad takva da je ugao OAD jednak uglu AOD.
Pravilan devetougao i jedanaestougao
U ovim slučajevima (poglavlja 22, 24) poziva se na Tabelu tetiva (tj.
verovatno Hipparkusovu tabelu). Ako je AB strana (a) devetougla i
jedanaestougla upisanih u krug, AC prečnik povučen kroz tačku
A, kaže se da Tabela tetiva daje respektivne približne vrednosti
i
odnosa AB/AC. Uglovi naspram centra O na strani AB su 40o i respektivno,
i Ptolomejeva tabela daje , kako su tetive naspram uglova od 40o i 33o
respektivno ,
i (izraženo
u 120-tom delu prečnika); Heronove cifre odgovaraju
i
respektivno. Za devetougao važi AC2=9AB2 , pa je BC2=8AB2 ili
približno
i ;
zato je (površina devetougla) jednaka .Za
jedanaestougao: ili
tako da je
i površina jedanaestougao je . (e) Krug Kod kruga (Metrika I. 26) Heron koristi Arhimedovu vrednost za p, zj , praveći obim kruga kao i površinu , gde je r poluprečnik a d prečnik. Baš ovde on daje više tačnih ograničenja za p za koje je, po njemu, pronašao Arhimed u svojim radovima O Stubovima i Cilindrima, ali koji nisu pogodni za računanje. Granice , onako kako ih mi vidimo su u tekstu date kao , i sa Tanerijevim izmenama su sasvim zadovoljavajuće: . Prema Heronu (Metrika I. 30) stara merenja površine kruga su prilično netačna. Po njima je površina gde je b osnova a h visina. On pretpostavlja da je proizašla uzimanjem p=3, zato što ako ovu formulu primenimo na polukrug površina postaje , gde je r poluprečnik. Oni, kaže Heron (poglavlje 31), koji su detaljnije istraživali površinu , dodali su gornjoj formuli praveći , i čini se da ovo odgovara vrednosti za p, pošto, kada se primeni na polukrug dobijamo . On dodaje da ova formula treba da se primenjuje na segmente kruga koji su manji od polukruga, pa čak ne na svaki takav segment već samo na onaj gde b nije veće od 3h. Pretpostavimo npr. da je b=60, h=1; u tom slučaju koje je čak veće i od paralelograma sa 60, 1 kao stranicama, a koji je opet veći od segmenta. Tamo gde je b>3h on usvaja drugu proceduru. DB prepolove tačkama E, F, onda. DADB<4(DAED+DDFB) (h) Elipsa , paraboličan segment, površina cilindra, pravougla kupa, sfera i segment sfere Posle površine elipse (Metrika I. 34) i paraboličnog
segmenta (poglavlje 35), Heron daje površinu cilindra(poglavlje 36) i
pravougle kupe (poglavlje 37); u oba slučaja on razmotava površinu ravni
tako da površina postaje paralelogram u jednom slučaju i deo kruga u drugom
slučaju. Za površinu sfere (poglavlje 38) i dela sfere (poglavlje 39)
on prosto koristi Arhimedove rezultate. LITERATURA 1. sir Thomas Heath - "A History of Greek Matematics II"
preuzmi seminarski rad u wordu » » »
|