МАТЕМАТИКА И ЊЕНА ПРИМЕНА

1. ОПШТА ДРУШТВЕНА ПРАКСА КАО ИЗВОР МАТЕМАТИЧКИХ ПОЈМОВА И ТЕОРИЈА

 Наука сумом својих практичних и теоријских ефеката делује као битан чинилац друштвеног прогреса. Она је све важнији елемент свести и све неопходнији услов практичног и теоријског сналажења у лавиринту природних и друштвених појмова. Из онога што је опште и заједничко у науци, из њене филозофије, израста научно-филозофски поглед на свет са свим дилемама које порађа научно-филозофска спознаја света у коме човек живи и делује. У њему се као у некој жижи сустичу зраци савременог све снажнијег интердисциплинарног прожимања математичких, природних, техничких и друштвених наука. У том прожимању математици припада врло истакнута улога, посебно у савременим друштвеним токовима и у савременом положају човека према природи, тј. у међуодносу стварност-човек који се стално мења.
Развојни токови математике несумњиво потврђују плодотворно међудејство математичке мисли и опште друштвене праксе. На изворима те праксе, као манифестације сталне интеракције човека и стварности, рађале су се и стално рађају нове математичке методе и теорије, нови математички модели као њени логички, односно теоријско-спознајни апстракти, да би се као такви поново вратили свом извору, општој друштвеној пракси, мењајући и унапређујући је и добијајући нове подстицаје у свом узлазу ка апстракцији све вишег степена. Сама та пракса јавља се као критеријум истинитости математичких тумачења појава и процеса у природи, друштву и људском мишљењу. На тај начин општа друштвена пракса, а тиме и објективна старност, неисцрпним богатством својих појавних и суштинских односа, утиче на развитак математике и, обрнуто, математика на развитак опште друштвене праксе, у решавању проблема на које човек наилази у сталном сударњу са стварноћу. Тако непрестано живи и дијалектички обострано делује спрега опште друштвне праксе и математике, као битан вид испољавања међуодноса математика-стварност, где математичким моделима као апстрактним, мисаоним творевинама све дубље продиремо у саму стварност.

2. МАТЕМАТИЧКИ МОДЕЛИ

2.1. Улога математике у општој друштвеној пракси састоји се у томе да себи својственом апстракцијом  једну реалну практичну ситуацију претвори у теоријску, односно да једну теоријску ситуацију нижег степена апстракције трансформише у теоријску ситуацију вишег степена апстракције и да сви ти изрази себи својственим језиком симбола и релација, да све то формализује. Тако се долази до "математичког модела" реалне практичне ситуације, односно извесне теоријске ситуације тј. оне се тако "математички моделују".
Уопште узев, можемо рећи да се под математичким моделом" неке појаве, или неког процеса, затим неког односа или предмета, или неке торијске ситуације, разуме конструкција једне математичке релације, или једног система математичих релација, односно конструкција једног или више математичких појмова путем апстраховања, почев непосредно од стварности, па посредно преко ступњевитих,  дијалектичких  прелаза од апстракције нижег ка апстракцији вишег степена, а у циљу да се дубље и свестраније проучи појава или процес, однос или предмет, или нека теоријска ситуација.
2.2. У том смислу истакнимо неке примере математичких модела који су, за ову прилику, једноставни и инструктивни.
2.2.1. Реалан број као апстрактан појам, односно као математички модел, користи се, на пример, у свим ситуацијама разноврсних мерења.
Као виши степен апстракције, тј. као апстракција апстракције, јавља се комплексни број у виду уређеног пара реалних бројева. Скуп реалних и скуп комплексних бројева бивају даљом апстракцијом дијалектички  сједињени у појму линеарног простора. На тај начин линеарни простор, математички модел вишег степена апстракције, настао претежно испољава индиректно, мање или више, оне потребе и захтеве опште друштвене праксе који су директно били испољени реалним бројем као математичким моделом нижег степена апстракције.
 2.2.2. Конкретне величине у вези са реалним појавама кретања и другим – сила, брзина, убрзање и друге – сугерисале су вектор као математички модел. Теорија вектора, целовита теорија тог модела, одражава апстрактне особине и односе конкретних величина на основу којих је настао вектор као модел математички модел.
Вектор као оријентисана дуж – математички модел нижег степена апстракције – који је директно испољавао потребе и захтеве праксе у физици, техници, поготово у механици, даљом апстракцијом се трансформише у појам уређене тројке реалних бројева – математички модел вишег степена апстракције – да би оба појма, дијалектички  били сједињени у појму линеарног простора – математичком моделу вишег степена апстракције. Савремени појам вектора, крајње апстрактно генералисан, као уређено мноштво реалних бројева, нашао је веома значајне примене у различитим наукама и постао је нопходан математички модел за савременог физичара, хемичара, биолога, медицинара, психолога, економисту, социолога, итд.
2.2.3. У проучавањима реалних појава у пприроди и друштву се на конкретне променљиве величине и откривају се разнолике везе међу тим величинама. Облике тих веза, апстраховане од конкретних садржаја, разматра математика у виду апстрактних појмова статистичке, корелиране и функционалне зависности, као математичких модела. Теорија тих зависности, као целовите теорије споменутих модела, кроз своје појмове и њихове примене, одражавају разне ситуације у односима конкретних величина и у односима реалних појава за које су везане те величине.
2.2.4. Од посебног су значаја једначине (алгебарске линеарне, диференцијалне, интегралне, функционалне и друге) као математички модели који настају, уопштено речено, путем математичке апстракције веза између оног што је дато или познато и оног што се истражује као непознато у појавама и процесима. Конкретни облици тих веза апроксимативно и целовито се изражавају у теоријама једначина као математичких модела.
2.2.5. Вероватноћа  као математички модел спада међу најилустративније примере генезе математичких модела апстраховањем практичних ситуација и трансформисања ових у теоријске ситуације.
Тако се вероватноћом и на њој заснованим статистичким појмовима, као математичким моделима, сасвим практичне ситуације трансформишу у теоријске, а теорија вероватноће и статистика, као целовите теорије тих модела, одражавајући апроксимативно реалне ситуације у вези са конкретним случајним догађајима, јављају се као моћни инструменти истраживања појава у природи и друштву.
У ствари, вероватноћа, као математички модел, јавља се, у виду фреквенције, која је дефинисана на скупу случајних догађаја у чије су вредности реални бројеви који нису мањи од нуле ни већи од јединице. Овим се јасно оцртава висок степен апстраховања практичних ситуација у вези са конкретним случајним догађајима.
2.2.6. Појам структуре (група, прстен, простор, оператор, итд.), као математички модел веома апстрактне и генералисане природе, настао је и развио се претежно на бази логике својствене унутрашњим потребама изградње математике као хипотетичко-дедуктивног система. Отуда веома су плодоносне примене појма структуре у савременим токовима развитка многих наука и технике, односно у савременој општој друштвеној пракси.
2.3. Многи математички модели настају на основу уочавања сличности или истоветности међу диспаратним чињеницама или феноменима. Полазећи од тога ствара се њихова аналошка група, односно аналошко језгро, које чини подлогу математичком моделу појаве, стања или процеса. Реалне појаве и процеси (који могу бити веома диспаратни) математички се пресликавају на њихово аналошко језгро.
2.3.1. Уопште узев, у такве математичке моделе спадају детерминистички модели, који се заснивају на појму функционалне зависности. То су разни типови једначина (на пример: диференцијалне једначине). Они одражавају детерминистичку законитост природних појава (на пример: законитост појава у космосу и макрокосмосу). Помоћу њих су постигнути огромни успеси у небеској механици, међу чије најистакнутије ствараоце спада П. Лаплас (P. Laplace, 1749 – 1827).
2.3.2 Стохастички модели заснивају се на појму вероватноће. Ту је, увек реч о некој случајној променљивој, карактеристичној за реалну појаву, која не добија вредности строго одређено по неком фиксном пропису, дакле, не функционално, него са одговарајућим вероватноћама.

3. УТИЦАЈ МАТЕМАТИЧКИХ ИДЕЈА И МЕТОДА НА СВЕ ГРАНЕ НАУКЕ, ТЕХНИКЕ И И ПРАКСЕ

Назадрживо и брзо продирање математичких идеја и метода у готово све гране науке, технике и праксе уопште једна је од најбитнихих одлика савременог прогреса науке и технике.
Науке као што су механика, физика, астрономија и низ техничких, које се одавно развијају у сферама математичких модела, под утицајем токова савременог развитка математике, радикално мењају своје класичне методе истраживања, када су у питању нарочито они проблеми које је са собом донео век аутоматизације, космонаутике и свет слементарних честица.
Синтезом огромног броја експериментално откривених чињеница, с једне стране, и математичке теорије, с друге, засноване на моделима које пружају теорија поља, теорија матрица и теорија група, савремени истраживачи-физичари постигли су и постижу крупне успехе у својим настојањима да се размрсе путеве у лавиринту микросвета. При откривању веза које постоје међу елементарним честицама битну улогу одиграла је теорија група; на основу ње конструисана је теорија симетрије елементарних честица, у сагласности са законима квантне механике. Апстрактни појам групе је пример математичког модела који је управо својом апстракношћу омогућио дубок продор људског ума у тајне објективне стварности, откривањем и предвиђањем најскривенијх веза међу микрочестицама.
За савремено матеметичко моделовање биолошких појава и процеса карактеристично настојање биолога и математичара заједно да одговоре, на питања, да ли је људски мозак машина своје врсте, односно може ли се конструисати рачунска машина слична мозгу која би "умела да мисли".
Моделована је нервна ћелија или неурон, у виду коначног аутомата са два могућа стања-надажености и мировања. Комбинацијом тих модела-формалних неурона-добијен је модел нервног система-формални нервни систем. Проучавања мреже формалних нурона довела су до одређених теоријских достигнућа у логици и електротехници.
Формални неурони и апстрактна Тјурингова машина, као математички модели, постали су основа бројних занимљивих истраживања о природи мишљења и огућностима савремених електронских машина у вези са мишљењем. Покушавају се открити помоћу математичких модела тајне функционисања нервне ћелије и нервног система уопште.
На основу имитације процеса самообнављања, најпримитивније карактеристике живота, разматрају се методе конструисања самостварајућих машина, које је први разрадио математичар Фон Нојман (J. Von Neumann, 1903-1957). Поставио је питање да ли се може конструисати машина из појединих простијих елемената, која ће, ако се смести у средину снабдевену довољним бројем споменутих елемената, произвести машину-аутомат, сличну првобитној. Приказао је да се таква машина може конструисати. Савремена открића у генетици показала су да постоји, изненеђујућа сличност између Фон Нојмановог модела и процеса који настају у живој ћелији. Тако се биолошки процес самообнављања може разматрати у крајње апстрактној форми, односно може се математички моделовати.
Сва ова и њима слична истраживања доживела су пуну кристализацију и синтезу у Винеровој (N. Wiener, 1894-1964) кибернетици, науци о управљању системима, која данас, с једне стране, практично обједињује низ врло апстрактних дисциплина математике и којој су, с друге стране, материјална основа електронске машине.
Математика све више постаје неопходна за науке које се баве друштвеним феноменима. Друштвене појаве и друштвени процеси се све више "егзактно" разматрају путем математичких модела.
Проблеми управљања у техничким, економским, биолошким, информационим и другим процесима подстакли су стварање читавих нових области у математици, као што су: динамичко програмирање, оптимално управљање и теорија случајних процеса.
Математичка логика и апстрактна алгебра су данас у научној, техничкој и уопште друштвеној пракси поуздани посредник између човека и разних компликованих аутомата; на њиховом језику прецизно се постављају програми за аутомате. Ту се електронске цифарске машине појављују као снажно оруђе математизације оних ситуација у научној, техничкој и уопште друштвеној пракси пред којима су стајали немоћни многи класични матеметички модели.
С обзиром на савремене токове развитка математике који се огледа у стварању математичких модела адекватних, на пример, за проучавање проблема језика – математичка лингвистика, универзална граматика, итд., затим за проучавање проблема којима се баве психологија, социологија и друге науке о друштву, може се очекивати са сигурношћу да ће се математика све више и више примењивати у наукама које се баве друштвеним феноменима. Данас се математичким методама врше истражживања у области археологије, палеографије, нумизматике и историје књижевности.
Симетрија, толико значајна као уметничка категорија, нашла је своју рационалну, дубоко суптилну, разраду у теорији симетрије Хермана Вејла (H. Weyl, 1885 – 1955), која је заснована на апстрахтној теорији група као математичком моделу. Ова теорија налази своје примене у тумачењу уметнчких дела, давно насталих, као и у стварању нових. Или, узмимо на примерматематичку поетику, дисциплину чије је конструисање у току. У њој се питањима песничког језика и његових фигура прилази путем логичког моделовања на основу теорије скупова, апстрактне алгебре и топологије.
Дедуктивно резоновање, битно за математику (као модел), често се сусреће у правнимм наукама и правној пракси, иако је ту ограничено самом природом чињеница. Математика, посебно математичка логика (својим моделима), може правнику пружити изванредну прилику да се учи потпуној, чврстој и објективној аргументациј, толико потребној његовој теорији и пракси. Аксиоматска метода, као најапстрактнија математичка метода, донедавно је била својствена само истраживањима која су се односила на проблеме основа математике, односно њених дисциплина. Међутим, аксиоматски начин расуђивања све више постаје стил расуђивања у научној и техничкој пракси, а тиме и у друштвеној. То произилази из тога што савремена пракса модерно организованог друштва има све већу потребу за строгим и логички јасним расуђиваима, за прецизно и јасно формулисаним претпоставкама, на основу којих треба стварати теорије од битног значаја и доноси одлуке за успешно управљање различитим процесима у друштву.

4. НЕКИ ФИЛОЗОФСКИ ПРОБЛЕМИ У ВЕЗИ С МАТЕМАТИЧКИМ МОДЕЛИМА

Математички модели при површном посматрању могу изгледати да су неке вештачке и произвољне творевине неког људског априорног духа или неке априорне имагинације, без везе са општом друштвеном праксом.
Међутим, ако им се приђе са позиција њихове стварне генезе и њихове историјске и научне еволуције, који су битно условљени општом друштвеном праксом и захтевима унутрашње изградње математике као науке (а ови веома често представљају индиректно испољавање потреба и захтева опште друштвене праксе), онда се ситуација битно мења у нашим представама тих модела; открива се њихов реалан и дубок смисао као природних средстава спознаје стварности, а њихове коначне и формализоване формулације као круна његовог развитка, јер они настају из сталног сударања човека са стварношћу, без којег би остали скривени у човеку само као могућност.
Зато је у математици, као и у свакој другој науци, од битног значаја разматрати "садашње" у вези са "прошлим", јер се "садашње" развило из "прошлог", а исто тако "будуће" ће се развити из "садашњег". Проучавање "прошлог" у свакој науци, па и у математици, претвара се у средство којим се појми "садашње" и предвиђа "будуће" и тако се осмишљава развитак сваког математичког модела као историјски процес у спознаји стварности.
У међуодносу математика-стварност увек се поставља питање на који се начин остварује "пресликавање" стварности у математички модел, односно како се одражава стварност математичким моделом, другим речима како настаје математичко мишљење као посебан вид мишљења уопште. Поставља се и обратно питање "пресликавања" математичког модела на стварност.
У оквирима целовитих теорија одговарајућих математичких модела долази се до извесних теоријских ставова који се односе на математички моделоване практичне ситуације. Тада се поставља питање, без обзира што су такви ставови односно закључци математички и логички исправни у оквиру дате теорије, колико су они релевантни, тј. стварно значајни, за практичне ситуације на које се односе. На то питање не може се дати апсолутан одговор, јер све зависи од тога колико је она била упрошћена математичким апстраховањем приликом изградње модела. У том погледу не постоји потпуно савршен модел, а праксом се проверава колико су закључци изведени на основу модела истинити, односно остварљиви, другим речима, проверава се вредност модела као истраживачког инструмента у проучавању односа и појава стварности. Такво проверавање сугерише путеве евентуалне корекције модела, односно његовог усавршавања у смислу да што верније одражава практичну ситуацију и да тако постане ефикаснији као инструмент истраживања појава стварности, или његово потпуно одбацивање, јер "чисти математичар које би заборавио да постоји спољни свет" – каже велики француски математичар Анри Поанкаре (H. Poincaré, 1854 - 1912) – личио би на сликара који би знао да складно комбинује боје, али који не би успео да створи слике. Његова стваралачка моћ би ускоро пресахла.
На дијалектичком путу спознаје истине, спознаје објективне реалности "од живог опажања ка апстрактном мишљењу и од њега ка пракси" (Лењин), математичко моделовање стварности, својом апстрактношћу и конкретношћу, најубедљивије потврђује да се људска мисао креће и развија у непрестаној интеракцији са законима објективне стварности, јер би иначе било немогуће математичким моделима, као мисаоним творевинама, разрешавати конкретне компликоване проблеме опште друштвене праксе.
Математички модели можда најрељефније показују како се једном сазнати закони и облици развитка објективне стварности трансформишу у принципе и модалитете теоријске мисли, која се затим свесно и креативно, по изгледу само априорно, користи у дубљем истраживању саме те стварности, потврђујући незаменљиву улогу апстракције у откривању праве истине о тој стварности. Јер "нема гране математике, ма како да је апстрактна, која се једног дана не би могла применити на појаве стварног света" – истицао је Лобачевски (Н. Лобачевский, 1792 – 1856), творац нееуклидске геометрије, крајње апстрактног геометријског модела који је нашао своје примене у конкретним проблемима савремене физике.

ЕПИЛОГ

У спознавању међуодноса човек-стварност математици припада истакнута улога. На изворима опште друштвене праксе, као укупне теоријске и практичне делатности човека, чији развитак стално подстиче споменути међуооднос са његовим проблемима и дилемама, настају математички појмови теорије, односно матемаматички модели, и са општом друштвеном праксом се и даље развијају. Тај развитак математичких модела тече почев од непосредне апстракције стварности, затим преко ступњевитих, дијалектичких  прелаза од апстракције нижег ка апстракцији све виђег степена, што математичким методама даје карактер релативно слободних, априорних мисаоних творевина људског ума. Те прелазе карактерише дијалектичка  генерализација математичких појмова и теорија, којој је гносеолошка подлога дијалектичком Принципу негације негације, при чему је дијалектичка синтеза  супротних појмова, на основу дијалектичке релативности појмова појединачног и општег, један од битних момената математичких метода креирања појмова и теорија. Такав онтолошко-гносеолошки приступ математичким појмовима и теоријама, заснован на чињеницама њихове стварне генезе и еволуције, води ка материјалистичком и дијалектичком разјашњавању основних онтолошко-гносеолошких, односно филозофских, дилема које се јављају у међуодносу математика-стварност, као што су дилеме на релацијама: "à priori – à posteriori", односно "апстрактно-конкретно", или "рационална и емпиријска истина", односно "математички рационалзам и емпиријски реализам". У том смислу математика, у у едификацији прогресивног, научно-филозофског, посебно марксистичког, погледа на свет игра све већу и значајнију улогу. Зато је, на пример, у читавом образовном систему, на свим нивоима, где је математика заступљена на врло широком фронту, потребно и веома важно узети у обзир, поред њене чисто образовне улоге, и ту њену идејно-васпитну улогу, која има практичних и теоријских последица за васпитање и образовање, како педагошких, тако и научних кадрова у области математике и њених примена.
Човек у сталној интеракцији са стварношћу, општом друштвеном праксом, мења ту стварност и истовремено се и сам мења. Он је хуманизује, прилагођава је себи, али уједно и себе прилагођава њој. У тој интеракцији међуоднос математика-стварност открива теоријско-спознајну и вредносно-хуманистичку бит математике. Математика постаје, тако рећи, "савест" спознаје стварности, а не само "инструмент" те спознаје, али би било илузорно и помислити да се специфичне методе појединих наука, с обзиром на савремено "математичко освајање" опште друштвене праксе, могу заменити математичким методама (такве се идејне и методолошке девијације јављају, на пример, у вези са применама електронских рачунара и других аутомата), што би био идеализам своје врсте – математизам, изражен становиштем о некој "свемоћи" математике као инструмента којим се служимо у проучавању разних феномена, јер математика данас заиста може много, али је далеко од тога да може све. Тако се математички појмови и теорије уграђују у дијалектику као општу теорију мењања света. Они је потврђују у ширем смислу и као науку о мишљењу, помоћу које се схвата тај свет, његови закони и његови облици, да бисмо затим, схвативши га, активно се осносили према њему и мењали га општом друштвеном праксом. То одговара сталној човековој тежњи да што више осмисли своје место и своју улогу у природи и да непрекидно унапређује материјалне и духовне услове своје егзистенције. За постизање тих циљева математика пружа велике теоријско-спознајне практично-хуманистичке могућности, па се тако, она уграђује као незаменљив елемент научно-филозофског погледа на свет нашег и будућег времена.

Л И Т Е Р А Т У Р А:

1. Ђ. Курепа: Математички модели у природним и друштвеним наукама, Дијалектика 2, Београд 1966;
2. Ж. Марковић: Како математика ствара своје теорије, Гласник математичко-физички и астрономски, Серија II, T. No 2, Загреб 1946;
3. М. Петровић: Елементи математичке феноменологије, СКАН, Београд,1936;
4. М. Бертолино: Математика и дијалектика, Завод за уџбенике и наставна средства, Београд 1974;
5. V.Davidé: Značaj i mjesto suvremene matematike u modernoj znanstvenoj misli, Encyclopedia moderna 26, Zagreb 1974;
6. С. Баркер: Филозофија математике (превод са енглеског на српскохрватски), Нолит, Београд 1973;
7. J. Hintikka: The philosophy of mathematics, Oxford university press, London 1969;
8. Mathematicsinthemodernworld, Scientific American (Зборник чланака о савременој математици истакнутих америчких математичара), New York, 1964;
9. Е. Стипанић: Математизација науке и праксе, Дијалектика 3; Београд 1966; О међудејству математике и опште друштвене праксе, Настава математике III (XXV), 1, Београд 1976.

 preuzmi seminarski rad u wordu » » » 

Besplatni Seminarski Radovi