SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
KURT GEDEL, GENIJE I ČUDAKKada je 2000. godine magazin „Tajm“ pravio listu 20 najuticajnijih mislilaca
proslog veka, na njoj je bio i Kurt Gedel kao jedan od dvojice matematičara.
Kurt Gedel je rođen 1906. godine u Brnu, tada Austrougarskoj
monarhiji, danas u Češkoj Republici. Njegovi roditelji bili su austrijskog
porekla. Od oca koji je bio suvlasnik jedne fabrike tekstila, nasledio
je sklonost za logičko razmišljanje. Mali Kurt, iako je bio stidljiv i
nervozan dečak, bio je tako radoznao da su ga ukućani zvali „gospodin
Zašto“ (Herr Warum). Zato je njegova majka želela da njen sin što pre
počne sa obrazovanjem. I već u desetoj godini ovaj „gospodin“ studira
matematiku, veronauku i nekoliko jezika. Majstor za aksiomeDa
bi se bilje shvatio značaj ovog rada podsetimo se kako radi matematika
i šta je ova nauka bila do pojave Gedelove teoreme. Pošto matematika barata
apstraktnim pojmovima, činjenice ne može da utvrđuje pomoću ogleda kao
što se radi u drugim naukama. Matematičari koriste „dokaze“ – postupke
kojima se utvrđuju činjenice poštujući logičko rasuđivanje. Ali, i ti
postupci moraju da imaju neki koren, polaznu tačku. To su takozvani aksiomi,
osnovne pretpostavke koje moraju da budu neprotivrečne, nezavisne i potpune.
Aksiomi se ne dokazuju. Aksiom je, recimo, tvrdnja da kada sabirate dva
broja nije važno koji je prvi, a koji drugi. Kada se jednom aksiomi napišu,
da bi se utvrdilo da li je neka tvrdnja istinita, proverava se da li poštuje
postojeće aksiome. Ovakav matematički postupak uveli su još stari Grci
pre 2500 godina i kroz istoriju se pokazao kao ispravan. Na ovim osnovama
matematika je konačno uobličena krajem 19. veka. Stvoreni su takozvani
formalni sistemi (najbolji primer bila je Raselova i Vajthedova „Principia
Mathematica“) u kojima teoreme, sledeći stroga pravila logičkog zaključivanja,
niču iz aksioma kao grane iz stabla drveta. Smatralo se da je jedina teškoća
koja može da spreči nalaženje odgovora na odredjeno pitanje nedostatak
ili zanemarivanje nekog aksioma. Trebalo je samo dodati nedostajuće aksiome
i teškoća bi bila rešena. Marsovci, pomagajte!„Gedelov dokaz“ sastoji se zapravo od dve teoreme. U prvoj se dokazuje
da je nekompletna bilo koja teorija koja uključuje prirodne brojeve (1,
2, 3, 4, ... ). U drugoj teoremi Gedel tvrdi da se takve teorije ne mogu
dokazati unutar istog sistema aksioma. Za dokazivanja ovakvih teorema
polazni aksiomi su nedovoljni, potrebno je izaći u neki veći sistem aksioma.
Ali, dokazivanje u većoj teoriji takođe zahteva jos veću teoriju – i tako
u nedogled. Gedelova teorema, ali stvarnoPokušao sam u dosadasnjem tekstu na interesantan i šaljiv način da kažem
nešto o Gedelovoj teoremi. Sada ću reći nešto o Gedelovoj teoremi, na
način koji će se svideti pravim matematičarima. Postoji račun predikatske logike prvog reda takav da za svaki skup formula Γ i svaku formulu φ važi: φ sledi iz Γ ako i samo ako se φ može izvesti iz Γ u ovom računu Teorema o potpunosti ustanovljava temeljnu vezu između semantike (teorije modela, koja izučava šta je tačno u različitim interpretacijama) i sintakse (teorije dokaza, koja izučava šta se može dokazati u pojedinačnim formalnim sistemima). Ako označava semantičku posledicu i izvedivost u računu, Gedelova teorema glasi: Izvorni Gedelov dokaz se danas uglavnom više ne koristi. Umesto njega, obično se upotrebljava sledeća „Osnovna teorema logike prvog reda", koju je formulisao Henkin 1949 : “Svaki konzistentan skup formula ima model” U matematičkoj logici, Gedelove teoreme o nepotpunosti su dve čuvene teoreme o ograničenjima formalnog sistema, koje je dokazao Kurt Gedel, 1931 godine. Ove teoreme pokazuju da ne postoji potpun i konzistentan formalni sistem koji korektno opisuje prirodne brojeve i da nijedan dovoljno strog sistem koji opisuje prirodne brojeve ne može da potvrdi svoju sopstvenu konzistentnost. Pri tome, u matematičkoj logici, neki formalni sistem smatra se konzistentnim ako ne sadrži kontradikcije (za svaku propoziciju φ ne mogu u isto vreme i φ i njoj protivrečna φ biti dokazive), a sistem je potpun ako je dovoljan da se na njemu izgradi odgovarajuća teorija u celini. Ove teoreme su široko prihvaćene kao dokaz da je nemoguće ostvariti Hilbertov program pronalaženja potpunog i konzistentnog skupa aksioma koji bi važio za celu matematiku. Ili drugim rečima, nemoguće je pronaći neki univerzalni sistem aksioma iz kojeg bi automatski sledio i dokaz o neprotivurečnosti teorije koja bi bila izgrađena na bazi tog sistema. Naprotiv, neprotivrečnost nekog sistema aksioma svodi se na neprotivrečnost nekog drugog sistema aksioma koji se već smatra neprotivrečnim. Kao primer toga može se navesti odnos između euklidske i neke od varijanti neeuklidskih geometrija, recimo geometrije Lobačevskog. Naime, neprotivrečnost geometrije Lobačevskog, koja je nastala negacijom Euklidovog petog postulata (aksiome paralelnosti) , dokazuje se u stvari neprotivrečnošću euklidske geometrije, gde takođe važi i obrnuto. S druge strane, problem nezavisnosti sistema aksioma svodi se na problem neprotivrečnosti. Ili u konkretnom primeru, nezavisnost Euklidovog petog postulata u odnosu na ostale postulate euklidske geometrije dokazuje se neprotivrečnošću geometrije Lobačevskog. Gedelova prva teorema o nepotpunosti je verovatno najslavniji rezultat u matematičkoj logici. Ona tvrdi da: Za bilo koju formalnu teoriju koja potvrđuje osnovne aritmetičke istine, može se konstruisati aritmetičko tvrđenje koje je istinito ali nije i dokazivo unutar same te teorije. To znači, da bilo koja teorija koja je sposobna da izrazi elementarnu aritmetiku ne može biti u isto vreme i konzistentna i potpuna. Gedelov matematički dokaz o postojanju BogaMnogi matematičari, fizičari i astronomi su religiozni, biolozi mnogo
ređe, a ekonomisti i psiholozi retko. Izgleda da, što su pitanja kojima
se stričnjaci bave bliža samom čoveku, slabije su njihove sklonosti ka
veri. Aksiom 1 Aksiom 2 Teorema 1 Definicija Aksiom 3 Aksiom 4 Definicija Teorema 2 Definicija Aksiom 5 Teorema 3
Otkačeni genijeKurt Gedel bio je čudak baš kao što su bile čudne i njegove teorije. Predavanja koja je držao na Univerzitetu u Beču od 1933. do 1938. godine bila su loša, nerazumljiva čak i za malu grupu studenata koji su ih pohađali. Patio je i lečio se od depresije, bio je i uobraženi bolesnik. Ovaj izvanredni matematičar oženio se 1938. godine igračicom iz noćnog kluba, sa kojom je napustio Austriju 1939. godine. Da ne bi učestvovao u ratu, beži na Zapad – preko Rusije i Japana! Putuje vozom preko Sibira i brodom od Jokohame do San Franciska. Gedelovi su prešli i celu Ameriku, do Prinstona, gde je Kurt dobio privremeno mesto na novootvorenom institutu za napredne studije. Tamo je već radio Albert Ajnštajn i njih dvojica postaju dobri prijatelji. Gedel i Albert AjnštajnGodine
1942. Gedel doživljava nervni slom. Po izlasku iz bolnice, pored supruge
glavni oslonac bio mu je Ajnštajn,
sa kojim često šeta i razmenjuje misli o nauci, filozofiji i politici.
Krajem četrdesetih godina Gedel je došao do neobičnih rešenja Ajnštajnovih
kosmoloških jednačina: ona su dozvoljavala putovanje kroz vreme, u prošlost.
Ajnštajn ih je nevoljno prihvatio jer su odbacivala njegov klasični pogled
na svet. Ipak, to nije pomutilo prijateljstvo ova dva sasvim različita
čoveka. Ajnštajn je bio društven, veseo, krasio ga je zdrav razum. Gedel
je bio sušta suprotnost. Slagali su se u nečemu što je obojici bilo važno:
nepokolebljivo su stremili po suštini stvari. Zato, kada nije video budućnost
u Ajnštajnovoj teoriji objedinjenog polja, Gedel je odbio da radi na njoj
zajedno sa velikim fizičarem, iako je on na nju potrošio poslednjih nekoliko
decenija života (pokazalo se da je Gedel bio u pravu). Godine 1953. dobija
stalno mesto profesora matematike na institutu u Prinstonu.
1. G. Vojinović : članak iz Politikinog izdanja, 30. 3. 2007.
preuzmi seminarski rad u wordu » » »
|