SEMINARSKI RAD IZ MATEMATIKE
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Geometrija horizontaUkoliko se nalazite na morskoj pučini ili na ravnom polju, u daljini ćete zapaziti liniju na kojoj se ,,nebo sa Zemljom sastaje.’’ Okrenete li se oko sebe, shvatićete da ste u centru kruga. Da li je taj krug realan? Postoji li zaista linija koju vidite? Pokušajte da joj priđete i proverite njeno postojanje. Verovatno se u to niko neće upuštati; svesni smo da joj ne možemo prići. Dok se krećemo prema njoj, ona se neprestano udaljuje. Međutim, to što je ne možemo nagaziti ili uhvatiti rukom, još nije dokaz da linije nema. ,,Iako je nedostižna, ona ipak realno postoji.’’ ,,Za svaku tačku sa koje se posmatra postoji određena granica dela Zemljine površine koji se iz te tačke vidi.’’\ Ta granica je linija horizonta. Ona se menja kroz različite atmosferske prilike, menja se i od mesta do mesta. Dovoljno je da samo jednom zakoračimo levo ili desno, i iako nam se čini da se vidik uopšte nije promenio, horizont će ipak biti neznatno pomeren. Ljude opušta pogled ka horizontu, ili ih pak nadahnjuje. Bez obzira da li se nalazimo na pašnjaku, moru, oranici, ili u pustinji, on uvek ostaje impresivan. Gledajući ka pučini, na primer, zapitate li se koliko je daleko najdalja tačka koju vidite. Nije teško izračunati udaljenost horizonta. Način na koji se to može učiniti biće naveden u daljem tekstu, ali on ne predstavlja osnovni problem kojim ćemo se baviti.,,U najranije doba ljudskog djelovanja čovjek je upoznavao pojedine činjenice koje su ga tek kasnije dovele do određenih zakonitosti. Prirodne su ga pojave očito impresionirale, osobito neke’’…\\ Te naročite pojave bile su uglavnom nebeske. Bile su retke, nezgodne za posmatranje i proučavanje, i samim tim teško objašnjive ili potpuno misteriozne. Zato su bile jednako privlačne i naučnicima i ,,običnim smrtnicima’’. Dok su jedni uporno tragali za racionalnim rešenjima, drugi su, zbog svojih ograničenih pogleda, ta rešenja olako pripisivali natprirodnim silama. ,,Ipak, postojalo je i mnogo takvih pojava koje su bile redovite. Čovjek se na njih privikao i one su tako bile obične. Morao ih je zapaziti jer je to bio dio njegova života.’’\\ Te pojave, iako možda jednako ,,neobjašnjive’’ kao i one retke, daleko manje su privlačile pažnju običnih ljudi. Svi su se na njih navikli i prihvatili ih takve kakve su. Ili se nisu ni trudili da ih rasvetle, ili su brzopleto donosili zaključke o onome što im se činilo strašno očigledno. Jedna od takvih običnih i svakidašnjih pojava je linija horizonta. Vidimo je gde god se okrenemo, a da li smo o njoj dovoljno razmišljali da bi mogli da je objasnimo? Već smo videli šta je linija horizonta i pomenuli izračunavanje njene udaljenosti. Ali gde se ona nalazi u odnosu na posmatrača, od čega zavisi, šta na njoj zapravo vidimo? Ideja ovog rada je, upravo, da se ukaže na zablude vezane za prethodna pitanja. Visina linije horizontaJedna od takvih zabluda je da linija horizonta uvek leži u visini očiju. Čak i kada se penjemo na veću visinu i ona se penje zajedno sa nama. Na primer, ako se posmatrač nalazi u avionu na dovoljno velikoj visini, izgledaće mu da svaka tačka na zemlji leži ispod linije horizonta. To je optička varka. Na sledećoj skici primetimo posmatrača koji stoji na ravnom zemljištu i posmatrača koji leti balonom.
U tački C nalazi se posmatračevo oko na
visini CD nad Zemljinom površinom. Vidni zraci imaju
pravce tangenti m i n koje u tačkama
M i N redom dodiruju krug koji nam u
ovom slučaju predstavlja deo Zemljine površine. Dakle, tačke M
i N su na liniji horizonta, odnosno pripadaju granici
vidljivog dela Zemljine površine. Dalje od tih tačaka Zemlja se nalazi
ispod vidnog zraka. Udaljenost horizontaPitanje ,,koliko je daleko horizont’’ suviše je uopšteno da bi smo na
njega mogli precizno odgovoriti. Naime, udaljenost horizonta zavisi od
velikog broja činilaca koji na nju bitno utiču. Neki od njih su: oblik
reljefa, visina stajališta, visina posmatrača, atmosferske prilike. Međutim,
ovaj problem možemo preformulisati, i dati mu oblik klasičnog, čak i jednostavnog,
geometrijskog zadatka.
Označimo sa S tačku koja nam na slici predstavlja središte Zemlje, a sa R Zemljin poluprečnik. Označimo sa C tačku u kojoj se nalazi oko posmatrača, sa D stajalište, a sa h visinu posmatračevih očiju u odnosu na tlo. Prave m i n su tangente iz tačke C koje dodiruju Zemljinu površinu u tačkama M i N. Zadatak se svodi na izračunavanje dužine duži CM, odnosno CN. Trougao CMS je pravougli sa pravim uglom kod temena M. Dužinu duži CM dobićemo primenjujući Pitagorinu teoremu. CM²=(R+h)²-R² Kako je visina posmatračevog oka veoma mala u odnosu na Zemljin prečnik, to umesto 2R+h možemo u izraz uključiti činilac 2R, bez bojazni da ćemo značajno izmeniti rezultat. Time će se i formula uprostiti: CM²=2Rh Poluprečnik Zemlje iznosi 6378km, ali ćemo zbog jednostavnijeg računanja
u formulu uključiti R=6400km. Tada je Možemo smatrati da se udaljenost horizonta na Zemlji računa po sledećoj
jednostavnoj formuli: a za udaljenost horizonta na bilo kom nebeskom telu važi sledeća formula: udaljenost horizonta= Ovaj račun je geometrijski veoma uprošćen, ali zato ne smemo zanemariti fizičke faktore koji utiču na udaljenost linije horizonta. Najvažniji među njima je atmosferska refrakcija. Prelamanje svetlosnih zrakova u atmosferi povećava udaljenost horizonta za 1/15 izračunate udaljenosti; možemo računati za oko 6%. Kada taj procenat dodamo rezultatu do kog smo prethodno došli, dobićemo preciznije rešenje: 4.66+0.06∙4.66=4.94km . Dakle, odrastao čovek prosečne visine koji stoji na ravnom zemljištu,
vidi one tačke Zemljine površine koje su od njegovog stajališta udaljene
najviše 4.94km.
Kada se geometrija umeša u književnost…Mnogi smatraju da se sa povećanjem visine stajališta, horizont veoma
brzo udaljuje. Tako su mislili, između ostalih, i Gogolj i Puškin. 160 =
Kula visine 2km potpuno je nerealna; to je pak visina jedne veće planine.
Svakako da Gogolj nije očekivao da kule o kojima piše moraju biti tako
ogromne. Ipak ćemo se zadržati na uglu od 45o . Tada je visina kupe h podudarna poluprečniku osnove r. Nađimo tu visinu iz formule za izračunavanje zapremine: V = r2¶∙h/3 . Kako su r i h podudarni, daćemo im zajedničku oznaku x= r= h . Formula će sada glasiti: 20 = x3¶/3 Moramo primetiti da se gomila zemlje visoka 2.67m teško može nazvati
,,gordim bregom’’. Ipak, izračunajmo koliko to uzvišenje utiče na proširenje
vidika. Neka je visina carevih očiju dok stoji na ,,gordom bregu’’ Udaljenost horizonta tada će biti: = 7.48km . Uzmimo u obzir i uticaj atmosferske refrakcije: 7.48km∙1.06 = 7.93km . Dobijamo da će car, stojeći na ,,gordom bregu’’, videti pri idealnim uslovima, oko 8km unaokolo, što je samo 3km dalje nego što bi video nepenjući se na breg. Zaključujemo da se vojni logor nalazio vrlo blizu obale. Puškin je očekivao da će izgrađeno uzvišenje značajno proširiti vidik, čak možda više desetina kilometara. Takva očekivanja u svakom slučaju pokazuju nepoznavanje odnosa između daljine horizonta i visine posmatračevog oka. Brod na horizontu,,Kada sa obale mora ili velikog jezera posmatramo brod koji se pojavljuje na horizontu, čini nam se da brod vidimo ne u onoj tački u kojoj se on stvarno nalazi već mnogo bliže, u tački gde naš vidni zrak klizi po ispupčenoj površini mora.’’\ Na slici 4, tačku u kojoj vidni zrak dodiruje površinu mora, označićemo sa T. To je najudaljenija tačka na Zemljinoj površini koju vidi posmatrač gledajući u pravcu broda. To što posmatrač ne vidi Zemljinu površinu iza tačke T, ne znači da se njegov vidik u tački T završava. Naime, on vidi svaki objekat koji preseče njegov vidni zrak, pa makar on bio i iza tačke T\\. Kada brod, krećući se od pučine ka obali, priđe dovoljno blizu, tako da se njegova najviša tačka nađe na vidnom zraku, u tom trenutku posmatrač prvi put uočava brod. Kako se Zemljina površina iza tačke T nalazi ispod vidnog zraka, nama se čini da se brod pojavljuje u tački T. ,,Ako posmatramo golim okom, teško se možemo oteti utisku da se brod nalazi’’\ na horizontu. ,,Međutim, durbinom se taj podbačaj u oceni udaljenosti broda mnogo jasnije zapaža. Durbinom ne vidimo podjednako jasno i bliske i udaljene predmete; durbinom podešenim za daljinu bliske predmete vidimo rasplinuto, i obrnuto, durbinom podešenim za blizinu udaljene predmete vidimo u magli. Stoga, ako upravimo durbin (koji dovoljno uvećava) ka pučini i podesimo ga tako da jasno vidimo površinu vode, brod će se videti u rasplinutim konturama, otkrivajući na taj način svoju veću udaljenost od posmatrača (slika levo). Naprotiv, ako durbin podesimo tako da se oštro vide obrisi broda upola skrivenog iza horizonta, zapazićemo da je kod horizonta površina vode izgubila svoju pređašnju jasnost i da nam se ocrtava kao u magli (slika desno).’’\ Ove zanimljive probleme vezane za pojam horizonta mogli smo da razjasnimo i neznajući koliko je zapravo linija horizonta udaljena od posmatrača. Međutim, pomoću formule koju smo izveli, lako možemo izračunati na kojoj udaljenosti d će posmatrač prvi put ugledati brod koji prilazi obali. Potrebno je samo da znamo visinu najviše tačke broda h1, i visinu posmatračevog oka h2. Tada je: D = Sastaju li se šine?Ako se nalazimo na pravom putu ili pruzi i gledamo u daljinu, učiniće
nam se da se put, odnosno pruga, postepeno sužavaju. Ivice puta u daljini
će se približiti, svetiljke kraj puta smanjiti, a šine izgledaju kao da
će se sastati. Naravno, realno se ništa od toga ne dešava. Ali zašto imamo
taj privid?
Neka je rastojanje tela od oka posmatrača d = kD, gde je D prečnik tog tela. Tada je: sin 0.5’ = D/(2d) Dakle, udaljenost tela prečnika D koje vidimo pod uglom
od 1’, iznosi 3438∙D . Tako, na primer, nećete raspoznati
lice čoveka na udaljenosti od 200m. Rastojanje između očiju čoveka iznosi
samo 3cm, pa se već na udaljenosti na oko 100m oči stapaju u jednu tačku. d = 3438∙1,435m ≈ 4933m ≈ 4.93km . Udaljenost horizonta u ovom slučaju prethodno smo izračunali, i ona iznosi
4.94km. Zaključak je da možemo videti tačku spajanja šina. d1 = 3438∙1.52m ≈ 5225m ≈ 5.22km . Ta tačka se nalazi iza linije horizonta pa je ne možemo videti. Ona će postati vidljiva ako izmenimo uslove:
Kod trećeg uslova potrebno je izračunati kolika je najmanja visina na
kojoj se može naći oko posmatrača, tako da on može da vidi spajanje šina.
Nju ćemo pronaći preko formule za udaljenost horizonta: Ako želimo da nam udaljenost horizonta bude bar onolika kolika je udaljenost tačke spajanja šina, posmatračevo oko se mora naći bar na visini od 2.13m. U tom slučaju tačka spajanja šina biće na samom horizontu. Horizont na MesecuFormula
koju smo izveli za izračunavanje udaljenosti horizonta, biće valjana bez
obzira na kom se nebeskom telu nalazimo. Ona je uvek jednaka gde je h
visina očiju posmatrača, a R poluprečnik odgovarajućeg
nebeskog tela. =
2.44km = 72.46km . Zatim ćemo udaljenosti d1 dodati udaljenost horizonta na Mesecu za čoveka srednjeg rasta koji stoji na ravnom tlu. To je d2=2.44km koje smo prethodno izračunali. d1 + d2 = 72.46km + 2.44km ≈ 75km Dakle, 75km je najveća udaljenost sa koje bi čovek, stojeći u kotlini, mogao da vidi greben.
Kako je centar kotline, u kome se nalazi posmatrač, udaljen od ruba kratera 45km, to je sasvim moguće videti greben iz centra kotline. Mesec na horizontu,,Matematika se tokom cele svoje istorije ne može odvojiti od astronomije’’…
,,Numerička astronomija je veoma napredovala na Istoku u epohi koja je
neposredno prethodila helenističkoj, i to naročito u Mesopotamiji u poznoasirskoj
i persijskoj epohi.’’ ,,Za matematičare je kretanje Meseca bio jedan od
najtežih, ali i najinteresantniji astronomski problem, i to kako u stara
vremena tako i u XVIII veku. Vavilonski (,haldejski’) astronomi uložili
su mnogo truda u ispitivanje Mesečevog kretanja.’’\
Među naučnicima XVIII veka koji su se posvetili ovom problemu, najistaknutiji
su Ojler i Njutn. Zašto se
onda Mesec uvećava kad se približava horizontu? Nije dovoljno što smo
uočili problem. Potrebno je ,,objašnjenje, a ne samo registracija nebeskih
pojava.’’\\\\
Da bi smo došli do odgovora, izmerićemo vidni ugao Mesečevog kotura na
horizontu i u zenitu. Dobićemo uglove iste veličine, oko 30’. Ukoliko
se merenja vrše izuzetno preciznim instrumentima, pokazuje se da je vidljivi
prečnik Meseca ,,čak i manji kad se Mesec nalazi blizu horizonta usled
toga što se zbog refrakcije Mesečev kotur vidi nešto spljošten.’’\\\\\
Sada je već jasno da se radi o optičkoj varci. Iluzija smanjenja i povećanja
nebeskih tela prilikom njuihovog kretanja po nebeskom svodu, i postoji
zato što svod ,,ne izgleda kao polusfera u geometrijskom smislu reči već
kao sferna kalota (kapa) čija je visina dva do tri puta manja od poluprečnika
osnove. Do toga dolazi zato što pri običnom položaju glave i očiju za
horizontalna i njima bliska rastojanja stičemo utisak da su veća u poređenju
sa vertikalnim rastojanjima; u horizontalnom pravcu predmet posmatramo
pravo, a u svakom drugom podignutim ili spuštenim pogledom. Ako Mesec
posmatramo ležeći na leđima, on će nam, naprotiv, izgledati veći kad je
u zenitu negoli kad je nisko nad horizontom. Pred psihologe i fiziologe
se postavlja zadatak da objasne zašto vidljive dimenzije predmeta zavise
od naših očiju.’’\
,,Mesečev kotur uvek vidimo pod uglom od 30’, bilo da je Mesec na horizontu
ili u zenitu. Ali naše oko ne posmatra taj kotur uvek na jednom istom
otstojanju: Mesec u zenitu primiče nam se na manje otstojanje negoli kad
je na horizontu i zato nam njegova veličina kad je u ta dva položaja ne
izgleda ista – unutar jednog istog ugla krug (koji je upisan u taj ugao)
je manji što je god bliži temenu.’’\\
Nekoliko reči za kraj Dok smo još bili mali, i nismo znali da ćemo se u životu baviti matematikom,
čitali smo, ili su nam čitali, priču o Hajdi. U toj priči postoji jedan
veoma upečatljiv deo, bar je meni ostao u takvom sećanju, u kome Hajdi
tuguje. Dok je živela u gradu, sa prozora svoje sobe mogla je da vidi
samo ulice i krovove kuća. Zato je odlučila da se popne na ,,crkveni toranj
sa zlatnom loptom na vrhu’’ ne bi li odatle konačno ugledala brda, livade
i pašnjake, i dedinu kućicu. I sama sam tada očekivala da će na ovaj način
Hajdi zadovoljiti svoju želju. Međutim, Frankfurt, u kome je tada živela,
samo je 180km udaljen od planine Švarcvald na kojoj je bio njen deda. LITERATURA:
preuzmi seminarski rad u wordu » » »
|