SREDNJE VREDNOSTI

Obrada rezultata pedagoškog eksperimenta pocinje statistickom analizom, u kojoj se istražuje statisticka masa (osnovni skup ili populacija) u stanju mirovanja, odnosno struktura staticke mase u datom momentu, ili odredenom vremenskom periodu, u kome je ona posmatrana, s tim što se vreme kao faktor uticanja ne uzima u obzir.

Srednji statisticki podaci koji su tabelarno ili graficki prikazani služe za statisticku analizu, s ciljem istraživanja pravilnosti i zakonitosti posmatranih masovnih pojava. Statisticka analiza i ima taj zadatak da primenom razlicitih metoda i postupaka rašclani i uporedi podatke, otkrije i formuliše zakonitosti koje vladaju u posmatranoj masovnoj pojavi

Koristeci relativne brojeve i raspodelu frekvencija može se steci izvestan globalni utisak o posmatranoj pojavi i posmatranom statistickom skupu. Ipak za dalju i svrsishodniju analizu potebne su nam preciznije metode kojima cemo masu statistickih podataka obraditi tako da postane upotrebljiva u procesu donošenja odluka.

Analizu statistickih podataka možemo vršiti tako što cemo definisati izvesne pokazatelje ili parametre cije ce nam vrednosti izražavati odredene sumarne karakteristike datih podataka. Vrednost sumarnih parametara omogucice donošenje zakljucaka o odredenoj pojavi ili procesu koji su izraženi posmatranim podacima.

Prva grupa takvih parametara su tzv. srednje vrednosti ili proseci. Veoma cesto se koriste i u svakodnevnom životu (npr. prosecan licni dohodak ili prosecna produktivnost itd.). Ovi parametri pokazuju neku centralnu vrednost posmatranog obeležja X na elementima statistickog skupa.

Srednje vrednosti ili mere centralne tendencije prezentuju sredinu statisticke serije. Najcešce se oko te srednje vrednosti grupiše najveci broj jedinica. Srednje vrednosti se nalaze izmedu najmanje i najvece vrednosti obeležja.

Sednja vrednost je reprezentativna vrednost, koja po datim merilima, zamenjuje sve vrednosti obeležja u datoj seriji. U statistickoj literaturi dobila je naziv reprezentativna vrednost zato što predstavlja i zameljuje sve vrednosti serije, jer iz njih proistice i nosi njihove zajednicke karakteristike.

Kao reprezentativni pokazatelj serije srednja vrednost karakteriše statisticki skup. Ako se posmatra jedan statisticki skup po jednom numerickom obeležju i pode se od individualnih vrednosti tog obeležja, teško ce se uociti bitna i zajednicka karakteristika cak i kad su pojedinacni podaci, grupisanjem u serije, svedeni na manji broj. Zato se nastoji da se ta serija zameni jednim brojem koji omogucava da se uoci karakteristika posmatranog skupa.

Srednje vrednosti: aritmeticka, harmonijska i geometrijska sredina, zatim modus i medijana.

U zavisnosti od nacina definisanja, srednje vrednosti se dele na izracunate i pozicione.

2. SREDNJE VREDNOSTI

Srednje vrednosti su vrednosti obeležja koje na specifican nacin reprezentuju citavu statisticku masu, odnosno zamenjuju sve vrednosti u statistickoj seriji i karakterišu statisticku masu u celini.
Srednje vrednosti ili mere centralne tendencije zauzimaju u statistici vrlo znacajno mesto i vrlo se cesto primenjuju. Centralna tendencija je težnja ka okupljanju podataka skupa oko jedne centralne vrednosti, koja je opšta i reprezentativna za celu distribuciju. Znacaj mera centralne tendencije je u tome što one sintetizuje citav niz pojedinacnih vrednosti jednog skupa i njihova uloga je da, zanemarujuci individualne razlike izmedu podataka skupa, istaknu onu velicinu koja je za sve njih karakteristicna i koja može da služi kao sredstvo za uporedivanje raznih serija.
Neophodno je da se srednja vrednost odreduje iz homogenog skupa da bi imala znacaj reprezentativne i tipicne vrednosti. U slucaju da je skup heterogen, potrebno je najpre izvršiti podelu skupa u homogene delove, a zatim ce se posebno odrediti srednje vrednosti za svaki od tih delova. Moguce je naci srednju vrednost i u heterogenom skupu i racunarski i formalno, ali takva vrednost nema znacaj statisticke srednje vrednosti kao reprezentativnog pokazatelja. Pri odredivanju i primeni srednjih vrednosti mora biti zadovoljen princip homogenosti statistickog skupa.
Prema tome da li se izracunavaju ili odreduju prema položaju pojedinih vrednosti obeležja, srednje vrednosti se mogu podeliti u dve grupe: potpune srednje vrednosti i položajne srednje vrednosti.
Potpune srednje vrednosti, racunaju se upotrebom svih podataka u statistickom nizu. Potpune srednje vrednosti su: aritmeticka sredina, harmonijska sredina i geometrijska sredina.
Položajne srednje vrednosti odreduju se položajem podataka u nizu. Najvažnije položajne srednje vrednosti su: modus i medijana.
Svaka od pomenutih srednjih vrednosti odreduje se posebnim statisticko-matematickim metodama i ima odredene karakteristike. Srednje vrednosti se ne mogu izracunati kod svih serija. One se izracunavaju, odnosno odreduju samo kod numerickih (rasporeda frekvencija), a mogu se izracunati iz vremenskih serija. Za utvrdivanje karakteristika pasporeda frekvencija one predstavljaju polaznu osnovu.
Srednja vrednost jedne serije ne može biti manja od najmanje vrednosti obeležja, niti veca od najvece vrednosti obeležja. Srednja vrednost može biti i neka vrednost koja uopšte ne postoji u seriji. Srednja vrednost može imati i decimalan broj, i ako se vrednosti obeležja izracunavaju u celim brojevima (na primer: prosecan broj clanova domacinstva može biti 3,4).

Poželjno je da srednje vrednosti imaju sledece osobine:
1. Ako su sve vrednosti posmatranog obeležja X na statistickom skupu medusobno jednake onda i njihova srednja vrednost treba da je jednaka toj vrednosti.
2. U datom statistickom skupu postoji najmanja i najveca vrednost posmatranog obeležja X. Srednja vrednost treba da je veca od najmanje a manja od najvece vrednosti obeležja X.
3. Srednja vrednost treba da zavisi od svih vrednosti obeležja X na celim statistickom skupu.

2.1.ARITMETICKA SREDINA

Ovo je najpoznatija srednja vrednost. U svakodnevnom životu najviše se koristi aritmeticka sredina kao srednja vrednost. Zato se pod pojmom prosek misli na aritmeticku sredinu. Aritmeticka sredina niza brojeva je broj koji se dobije kada se njihov zbir podeli sa ukupnim brojem clanova tog niza.
Aritmeticka srednja vrednost ili prosecna srednja vrednost ili samo srednja vrednost ima najširu primenu u statistici. Ponaša se kao ”ravnotežna tacka” u skupu, a nedostatak joj je što na njenu vrednost uticu ekstremne vrednosti (”outliers”). Srednja vrednost se izražava u istim jedinicama kao i osnovni podaci.
Najcešce upotrebljivana mera centralne tendencije jeste aritmeticka sredina. Ona je ujedno i najlakša za razumevanje obzirom da se neretko koristi u svakodnevnom životu (najcece koristimo rec ‘prosek’ da izrazimo upravo aritmeticku sredinu). Aritmeticka sredina predstavlja prosecnu vrednost nekog kontinuiranog niza brojeva.
U statistickoj analizi aritmeticka sredina najcešce se izracunava za vrednosti numerickog obeležja, pa je polazna velicina za izracunavanje aritmeticke sredine je zbir vrednosti numerickog obeležja elemenata osnovnog skupa.
Neophodan uslov za pravilnu primenu aritmeticke sredine jeste da podaci u seriji pokazuju dovoljan stepen homogenosti a kriterijum za odredivanje te homogenosti zavisi od prirode i vrste pojave koja je prikazana u seriji kao i da znamo suštinu i smisao rezultata kojeg želimo da dobijemo. Aritmeticka sredina ima dva osnovna nacina izracunavanja.

Prema tome da li su podaci grupisani ili ne, razlikuju se:
• prosta aritmeticka sredina ,
• ponderisana (složena, vagana) aritmeticka sredina.

Prvi nacin odnosi se na izracunavanje iz prostih serija, tj. iz onih serija u kojima se svaki podatak javlja samo po jedanput. Ako se aritmeticka sredina odreduje za jedan obican statisticki niz, onda se ona naziva prosta ili jednostavna aritmeticka srednja vrednost. Jednostavna aritmeticka srednja vrednost izracunava se tako što se zbir svih podataka podeli njihovim brojem.
Drugi nacin izracunava aritmeticke sredine primenjuje se kod sredenih serija (serije distribucije frekvencija), tj. kod onih serija u kojima se pojedini podaci (modaliteti) javljaju u nejednakim frekvencijama, i tu se uzima i obzir velicina frekvencije svakog modaliteta. Svaki modalitet se ponderiše, vaga, svojom frekvencijom pa se ova aritmeticka sredina naziva ponderisana (vagana) aritmeticka sredina.
Ponderisana aritmeticka srednja vrednost izracunava se tako što se zbir svih proizvoda numerickih podataka i odgovarajucih frekvencija podeli ukupnim zbirom frekvencija,odnosno ukupnim brojem podataka.
Aritmeticka sredina može se racunati i za više skupova i to je aritmeticka sredina aritmetickih sredina.
Najširu upotrebu u statistickoj analizi, a i šire, ima aritmeticka sredina. Izracunava se tako što se zbir svih vrednosti obeležja podeli njihovim brojem. Ako posmatrano obeležje oznacimo sa X, njegove vrednosti sa x1 ,x2,.... xi,.... xn, imacemo:

µ = x1+ x2 +...+ xn = 1 ?x i ili prostije µ = ? x
N N i=1 N

Ako, primera radi, pet slucajno anketiranih turista dnevno troše: 320, 330, 360, 380 i 410 dinara, prosecna dnevna potrošnja, odnosno aritmeticka sredina iznosice:

µ = ? x = 320 + 330 + 360 + 380 + 410 = 1800 = 360
N 5 5

U ovom prostom primeru uocljivo je da se svaka vrednost javlja jedanput (sa frekvencijom 1). Za sve ovakve negrupisane serije prosek se, kao što vidimo, utvrduje jednostavno, rec je o tzv.prostoj aritmetickoj sredini.

Znatno cešce imamo posla sa grupisanim podacima u vidu rasporeda frekvencija, tj.sa skupovima unutar kojih se svaka vrednost obeležja može javiti više puta. Ako, u opštem slucaju, vrednosti obeležja oznacimo sa x1, x2,.... xi,.... xn, a odgovarajuce frekvencije sa f1, f2, ... fi, ... fn , aritmeticka sredina ce biti:

µ = f1 x1 + f2 x2 + ... + fn xn , tj.
N

n
µ = 1 ? fi xi ili prostije
N i=1

µ = ? f x , gde je
N

n
N = f1 + f2 + ... + fn = ? fi = ? f.
i=1

Ovako utvrdena prosecna vrednost poznata je kao ponderisana aritmeticka sredina jer se sve vrednosti uzimaju u zbir onoliko puta koliko se one i javljaju unutar rasporeda. Ponderacioni faktor je, dakle, frekvencija ( f ).

Posmatrajmo, na primer, dnevnu potrošnju jednog skupa slucajno anketiranih domacih turista. Rezultat ankete u vidu rasporeda frekvencija dat je u tabeli 1.

Tabela 1. Struktura skupa stranih turista prema iznosu dnevne potrošnje
( u dolarima)

Dnevna potrošnja Broj turista (f) X fx
1 2 3 4
Do 220 5 200 1000
220-260 15 240 3600
260-300 45 280 12600
300-340 25 320 8000
340-380 8 360 2880
380 i više 2 400 800
? 100 28880

U ovom rasporedu vidimo još jednu mogucnost razgranicenja grupisanih intervala. Umesto decimalnim brojem (na primer 220 - 259,9), ono je, kao što vidimo, izvršeno opisno. Radi izracunavanja prosecne dnevne potrošnje (ponderisane aritmeticke sredine) za posmatrani skup turista, moraju se utvrditi sredine grupnih intervala (kolona 3 u tabeli 1.) i pomnožiti odgovarajucim frekvencijama (kolona 2). Imacemo, dakle:

n
µ = 1 ? fi xi = ? f x = 28880 = 288,80.
N i=1 N 100

Ponderisana aritmeticka sredina, tj.prosecna dnevna potrošnja za posmatrani skup turista, iznosi 288,80 dolara, koliko, u proseku, svaki od posmatranih turista troši dnevno, pri cemu stvarna potrošnja svakog pojedinacno po pravilu odstupa od ovog proseka.

Aritmeticka sredina, uz osobine koje karakterišu svaku srednju vrednost, ima i izvesne karakteristike (analiticke i matematicke prirode) znacajne za njeno izracunavanje i primenu u statistickom radu.

Aritmeticka sredina, jedan broj koji reprezentuje ceo skup podataka, ima važne prednosti. Prvo, ona je odomacena i intuitivno jasna vecini ljudi. Drugo, svi podaci imaju aritmeticku sredinu i to samo jednu. Aritmeticka sredina je pogodna za korišcenje u vecini statistickih procedura. Nedostatak aritmeticke sredine je što na njenu vrednost uticu ekstremne, jako male i jako velike, vrednosti. Drugi problem što svaki podatak iz serije ulazi u obracun što nije pogodno za serije sa velikim brojem podataka. Treci problem je što ne može da se izracuna za otvorene klasne intervale tipa "vece od" ili "manje od".

2.2.GEOMETRIJSKA SREDINA

U analizama vremenskih serija najpogodnija srednja vrednost je geometrijska sredina. Njeno izracunavanje je malo komplikovanije od izracunavanja aritmeticke sredine jer zahteva i operacije množenja i korenovanja realnih brojeva. Geometrijska sredina niza brojeva je N-ti koren iz proizvoda njegovih clanova. Da bi odredili geometrijsku sredinu za svako N vrednosti obeležja X moraju biti pozitivne. Zato je i upotreba geometrijske sredine ogranicena samo na ona obeležja koja su pozitivna.
Geometrijska sredina je izracunata srednja vrednost ali se razlikuje od aritmeticke sredine i po svojim karakteristikama i po nacinu izracunavanja.
Geometrijska sredina dobija se kada se iz proizvoda pojedinih vrednosti obeležja date serije izvadi koren ciji je izložilac ravan broju svih clanova serije. Geometrijska sredina je N-ti koren proizvoda svih vrednosti negrupisanog numerickog obeležja jednog niza.
Geometrijska sredina primjenjuje se u analizi vremenskih nizova. Pomocu nje izracunava se prosecna stopa promene pojave. Geometrijska sredina, kao i svaka srednja vrednost, nalazi se izmedu najvece i najmanje vrednosti niza za koji se izracunava. Brojcano se razlikuje od aritmeticke sredine, osim ako svi clanovi niza nisu jednaki. Geometrijska sredina je uvek manja od aritmeticke.
To je srednja vrednost koja izracunava proporcionalne promene izmedu podataka posmatrane serije, za razliku od aritmeticke koja izravnava apsolutne razlike izmedu podataka. Ona se, dobija kada se iz proizvoda pojedinacnih vrednosti obeležja date serije izracunava koren ciji je izložitelj jednak broju clanova te serije.
Ako posmatrano obeležje oznacimo sa x , njegove pojedinacne vrednosti sa x1, x2,... xn, a njihov broj sa N, onda ce po prethodno datoj definiciji geometrijska sredina biti:
N
G = v x1 * x2 ...* xi... xn*

Izracunavanje geometrijske sredine ima smisla samo za ona obeležja cije su vrednosti vece od nule. Polazeci od ove predpostavke, logaritmovanjem prethodnog izraza dobijamo:
n
log G = 1 ( log x1 + log x2 +... + log xn) = 1 ? log x i , odnosno
N N i=1

Antilogaritmovanjem:

n
G = v1 ? fi log xi

N i=1

Dobijamo obrazac za izracunavanje proste geometrijske sredine, slucaj kada se svaka vrednost u seriji javlja samo po jedanput.

Za razliku od negrupisanih podataka (prosta geometrijska sredina), kod rasporeda frekvencija izracunavamo ponderisanu geometrijsku sredinu prema sledecem obrascu:

G = x1 f1 * x2 f2* ... * xn fn
n
Gde je: N = f1 + f2 + ... fi + ... fn = 1 ? fi log xi ,
N i=1

Logoritmovanjem dobijamo:

Log G = fi log xi

Odnosno antilogoritmovanjem:

G =

Uzmimo za primer, podatke iz tabele 2. na osnovu kojih ce ponderisana geometrijska sredina dnevne potrošnje turista, odnosno logaritam geometrijske sredine biti:

Tabela 2. Obracun geometrijske sredine

Sredine grup.intervala Broj turista
x f log x f log x
200 5 2,30103 11,50515
240 15 2,38021 34,70315
280 45 2,44716 110,1220
320 25 2,50515 62,62875
360 8 2,55630 20,45040
400 2 2,60206 5,20412
? 100 245,61377

n
Log G = 1 ? f log x = 1 (5 * log 200 + 15 * log 240 + ... + 2 * log 400) =
N i=1 100

= 245,61377 = 2,45614.
100

Pošto je nama potrebna geometrijska sredina a ne njen logoritam treba izvršiti antilogoritmovanje, pa ce odavde geometrijska sredina iznositi:

G = v2,45614 = 285,8.

Ovo pokazuje da je za izracunavanje ponderisane geometrijske sredine potrebno logaritme vrednosti x pomnožiti sa odgovarajucim frekvencijama i te proizvode sabrati.
Kao što vidimo, geometrijska sredina dnevne potrošnje turista u našem primeru manja je od aritmeticke sredine (288,8 dolara). Opšte je pravilo da je geometrijska sredina manja od aritmeticke za svaki raspored (izuzimajuci slucaj kada su sve vrednosti jednake), mada treba istaci da se geometrijska sredina, zbog svojih osobina, retko koristi kao pokazatelj centralne tendencije rasporeda frekvencija.

Geometrijska sredina je, kao i aritmeticka, veca od najmanje i manja od najvece vrednosti u posmatranoj seriji, odnosno:
x1 < G < xn,

a u slucaju jednakosti ovih vrednosti i ona se sa njima izjednacuje:

x1 = x2 = ... = xn = a = G.

Kao i aritmeticka srednja vrednost i geometrijska ima izvesna specificna svojstva koja odreduju njenu primenu:
1) izracunavanje geometrijske sredine ima znacaja samo za seriju pozitivnih vrednosti u kojoj ni jedan clan nije nula;
2) na njenu velicinu uticu svi clanovi serije, sa tim što manje vrednosti dobijaju srazmerno veci uticaj nego vece;
3) geometrijska sredina je, za istu seriju podataka, manja od aritmeticke sredine i
4) dok aritmeticka sredina izravnava razlike izmedu vrednosti obeležja, dotle geometrijska sredina izravnava razlike izmedu vrednosti obeležja, dotle geometrijska sredina izravnava njihove odnose.

Ako je neki od podataka u seriji jednak nuli, onda se ne izracunava geometrijska, kao ni harmonijska sredina (u tom slucaju je G = H = 0). Osim toga, ako serija sadrži neparan broj negativnih vrednosti obeležja, njen prosek ne može da se izracuna primenom geometrijske sredine.
Najvažnija osobina geometrijske sredine, narocito u ekonomskim istraživanjima, ta je da izracunava odnose, tj.proporcionalne promene podataka, zbog cega je proizvod odnosa geometrijske sredine prema manjim vrednostima posmatrane serije jednak proizvodu odnosa vecih vrednosti prema geometrijskoj sredini. Ovo svojstvo je cini narocito korisnom u istraživanju dinamike, gde su važnije razlike u odnosima nego u apsolutnim velicinama.
Ako se, na primer, cena jednog turistickog aranžmana udvostruci, kažemo da se index cene povecao od 100 na 200. ako se suprotno, cena smanji za polovinu, onda je index opao od 100 na 50. Jasno je da sredina ova dva indeksa treba da bude 100, a geometrijska sredina upravo daje tu vrednost:

G = v200 * 50 = 100

Aritmeticka sredina bi u ovom slucaju dala pogrešnu vrednost (125), zbog cega se geometrijska sredina i koristi za izravnavanje indeksnih brojeva, tj.kao njihova srednja vrednost.

Tabela 3. Promet stranih turista u Evropi od 1990 -1999. godine
(u milionima)
Godina Broj turista Lancani indeksi (tempo razvitka u %) log x
1 2 3 4
1990 188,173 - -
1991 206,339 109,65 2,04001
1992 217,947 105,63 2,02379
1993 235,540 108,07 2,03371
1994 245,567 104,26 2,01812
1995 257,684 104,93 2,02090
1996 279,685 108,54 2,03559
1997 289,893 103,65 2,01557
1998 301,191 103,90 2,01662
1999 325,444 108,05 2,03362
2000 347,232 106,69 2,02812
20,26605

Geometrijska sredina se najcešce primenjuje za izracunavanje srednjeg tempa razvitka. Primenimo sada geometrijsku sredinu za izracunavanje srednjeg tempa razvitka prometa stranih turista u Evropi od 1990. do 1999. godine, prema podacima iz tabele 3. Da bi se izracunao srednji tempo razvitka prometa stranih turista u posmatranom periodu, potrebno je da se izracuna geometrijska sredina iz tempa razvitka, odnosno, da se izracuna geometrijska sredina lancanih indeksa. To znaci da se najpre mora naci tempo razvitka u procentima – lancani indeksi, a zatim odgovarajuci logaritmi za lancane indekse ove serije, koje unosimo u cetvrtu kolonu tabele 3.
Lancani indeks se dobija kao odnos vrednosti date pojave u posmatranom vremenskom intervalu (godini, kvartalu, mesecu) prema njenoj vrednosti u prethodnom intervalu. Za ilustraciju postupka izracunavanja stope rasta poslužicemo se podacima tabele 3., cija poslednja kolona sadrži lancane indekse.
Podaci u tabeli pokazuju da je turisticki promet u 1991.godini za 9,65% veci nego u 1990.godini, u 1992.godini za 5,63% veci nego u 1991.godini itd. To ukazuje da je turisticki promet nekad rastao više, a nekad manje u odnosu na predhodnu godinu. Na osnovu ovih podataka izracunace se koliko procenata je promet turista u proseku rastao, i to pomocu geometrijske sredine po radnom obrascu:
G = v? log x ,
N
sa tim što je obeležje x tempo razvitka. Prema tome, srednji tempo razvitka iznosi:

G = v? log x = v20,26605 = v2,026605 = 106,32%
N 10

a srednji tempo rasta, ili stopa rasta, iznosi 6,32%. To znaci da je promet turista svake godine u proseku bio 6,32% veci od turistickog prometa prethodne godine. Sa druge strane, izracunata geometrijska sredina lancanih indeksa pokazuje da je relativan rast prometa turista u periodu od 1990. do 1999.godine, iznosio 106,32, što znaci da se broj turista u posmatranom periodu svake godine povecavao prosecno za 6,32% (racunato kao geometrijska sredina lancanih indeksa).

2.3.HARMONIJSKA SREDINA

Za analizu onih pojava ciji je intenzitet obrnuto proporcionalan vrednostima posmatranog obeležja najpogodnija srednja vrednost je harmonijska sredina. Na primer, pri ispitivanju produktivnosti meri se vreme potrebno za izradu nekog proizvoda ali je produktivnost obrnuto proporcionalna tom vremenu pa je zato harmonijska sredina najpogodnija srednja vrednost za razmatranje.
Harmonijska sredina niza brojeva je reciprocna vrednost aritmeticke sredine reciprocnih vrednosti clanova tog niza.
Mada u daleko manjoj upotrebi nego što su aritmeticka i geometrijska sredina, harmonijska sredina nalazi svoju primenu u istraživanju proseka u slucajevima kada se radi o obrnuto proporcionalnim velicinama. Definiše se kao reciprocna vrednost aritmeticke sredine reciprocnih vrednosti obeležja.
Upotreba harmonijske sredine (H) još je ogranicenija od upotrebe geometrijske sredine. Ona se koristi samo u specijalnim slucajevima gde se problem može postaviti i u obrnutom, reciprocnom vidu.
U zavisnosti od toga da li su podaci negrupisani ili grupisani, može se izracunati prosta ili ponderisana (složena) harmonijska sredina.
Prosta harmonijska sredina je reciprocna vrednost proste aritmeticke sredine odredene iz reciprocnih vrednosti obeležja.
Ako se sa x1, x2, x3 ... xn oznace vrednosti obeležja, a sa N njihov broj, obrazac za utvrdivanje proste harmonijske sredine bice:

H = N .
N
? 1
i=1 xi

Harmonijsku srednju vrednost, kao i geometrijsku, ima smisla izracunati samo za ona obeležja cije su vrednosti razlicite od nule. Ova mera proseka osetljiva je na male vrednosti clanova serije.
Za ilustraciju postupka izracunavanja proste harmonijske sredine neka posluži serija od tri clana: x1 = 4, x2 = 8, x3 = 16.

H = 3 = 3 = 48 = 6,86
1/4+1/8+1/16 4 + 2 + 1 7
16

Za ukazivanje na smisao njene primene može se uzeti sledeci primer: u procesu proizvodnje jedan radnik utoši za izradu jednog proizvoda 3 minuta, a drugi radnik 5 minuta. Koje prosecno vreme troše oba radnika?
Aritmeticka sredina utrošenog radnog vremena je: (3+5)/2 = 4 minuta. Ako je za jedinicu proizvoda utrošeno prosecno 4 minuta, kao što se vidi na osnovu izracunate aritmeticke sredine, onda ce se u jednom casu proizvesti 15 proizvoda (60/4 = 15), a za jedan radni dan 105 proizvoda (7*17 = 105). Oba radnika proizvešce 210 proizvoda. Ako se ovaj obracun sprovede prema individualno utrošenom radnom vremenu, prvi radnik sa utroškom od 3 minuta u sedmocasovnom radnom danu proizvešce 140 proizvoda (60/3 = 20*7 = 140). Drugi koji troši 5 minuta proizvešce 84 proizvoda (60/5 = 12*7 = 84). To znaci da ce oba radnika prema individualno utrošenom vremenu izraziti 224 proizvoda u toku jednog radnog dana.
Kako objasniti razliku izmedu rezultata rada ocenjenog pomocu aritmeticke sredine i stvarnog? Obracun proseka na osnovu aritmeticke sredine ne može da se koristi u ovom primeru, njemu odgovara prosek obracunat po harmonijskoj sredini:

H = 1+1 = 2 = 30 = 3,75.
1/3 + 1/5 5 + 3 8
15

Sa ovako utvrdenim prosekom za jedan radni cas radnik proizvode 16 proizvoda, a za sedam casova 112 proizvoda, što znaci da dva radnika proizvedu 224 proizvoda, što odgovora obracunu na osnovu stvarnih podataka.
Prosecna produktivnost ova dva radnika iznosi 16 proizvoda za 1 cas, ili reciprocno, potrebno je 3,75 minuta za izradu jednog komada.
Kod serija ciji podaci pokazuju reciprocne odnose ili njihove frekvencije nisu iste izracunava se ponderisana harmonijska sredina. Ona ce tada biti reciprocna vrednost aritmeticke sredine reciprocnih vrednosti obeležja pomnoženih odgovarajucim frekvencijama.

2.4.MODUS

Kako se i iz naziva može videti, pozicione srednje vrednosti, za razliku od izracunatih, odreduju se na osnovu mesta – pozicije, koju zauzimaju u seriji. Najcešce korišcene medu njima su modus i medijana.
Svaka srednja vrednost, izracunata ili poziciona, ima svoje mesto, kako sa aspekta njenog znacaja, tako i sa aspekta njenog izracunavanja, odnosno odredivanja. Koju od njih odabrati kao najpodesniju karakteristiku odgovarajuceg rasporeda frekvencija zavisi, u krajnjoj liniji, od cilja istraživanja.
Od pozicionih srednjih vrednosti najcešce se primenjuje modus (??). Modus je vrednost statistickog obeležja koje se najcešce javlja u nekom nizu, tj.vrednost obeležja kojoj pripada najveca frekvencija.
Modus ili modalna vrednost (obeležava se sa Mo) ne zavisi od same pozicije u statistickom nizu vec od frekvencije. To je ona vrednost koja ima najvecu frekvenciju i to je cesto jedina informacija o skupu koja se dobija modusom. Statisticke grupe mogu biti unimodalne, odnosno da imaju samo jedan modus, bimodalne sa dva modusa ili multimodalne - sa više modusa, ali je isto tako moguce da u jednom statistickom skupu ne može uopšte da se odredi modus.

Kod negrupisanih podataka modus se ne izracunava, vec se samo posmatranjem niza iz njega izdvaja ona vrednost koja ima najvecu frekvenciju. Na isti nacin se odreduje modus kod podataka koji su grupisani kao numericke vrednosti sa odgovarajucim frekvencijama.
Modus je ona vrednost obeležja X koji ima najvecu frekvenciju u posmatranom statistickom skupu ili ona vrednost u cijoj se okolini najcešce pojavljuju izmerene vrednosti obeležja X na statistickom skupu. Kad je obeležje x grupisano i dato raspodelom frekvencija za modus se uzima sredina onog grupnog intervala koji ima najvecu frekvenciju.

Modus je vrednost obeležja koja se najcešce javlja u seriji, tj. vrednost klase sa najvecom frekvencijom. Ukoliko se svaki podatak u seriji javlja samo jedanput modus ne postoji. Serije koje imaju jedan modus nazivaju se unimodalne, serije sa dva modusa nazivaju se bimodalne i ako imaju više od dva modusa nazivaju se polimodalne. Dakle, na modus ne uticu ostale vrednosti obeležja, vec se jednostavno odreduje na osnovu najvece koncentracije jedinica. Modus se oznacava sa Mo.

Modus je vrednost obeležja koja u posmatranoj seriji ima najvecu frekvenciju – najcešce se javlja. To je, dakle, vrednost oko koje se koncentriše najveci broj clanova serije i zato se smatra najtipicnijom vrednosti u seriji.
Ako se u posmatranoj seriji samo jedna vrednost javlja najviše puta (ima najvecu frekvenciju), kažemo da je unimodalna, a ako postoje dve ili više vrednosti sa istom – najvecom frekvencijom, serija je bimodalna, odnosno multimodalna. Takode, može se dogoditi da neka distribucija frekvencije uopšte nema modusa.
Za rasporede frekvencija po neprekidnim vrednostima obeležja modus nije tako uocljiv. Treba ga tražiti u intervalu sa najvecom frekvencijom, tzv. modalnom intervalu. Odreduje se tzv.interpolacijom kroz modalni interval pomocu obrasca:

Mo = L1 + f 2 - f1 * i
(f2 - f1) + (f2 - f3)

Gde je Mo vrednost modusa, L1 donja granica modalnog intervala, i velicina grupnog intervala a f1, f 2 i f3 frekvencije predmodalnog, modalnog i poslemodalnog intervala respektivno.

Za raspored dat u tabeli 3.modalni interval bice treci po redu (260-300) jer je njegova frekvencija f 2 = 45 najveca. Donja granica tog intervala, L1 je 260, frekvencija predmodalnog intervala, f1 = 15, poslemodalnog, f3 = 25, a velicina grupnog intervala, i = 40, pa ce modus, po prethodno datom obrascu:

Mo = L1 + f 2 - f1 * i = 260 + 45 – 15 * 40 = 284.
(f2 - f1) + (f2 - f3) (45-15)+(45-25)

Znaci, za posmatrani skup turista najcešci iznos dnevne potrošnje je 284 dolara.

Modus kao srednja vrednost pogodan je pokazatelj za unimodalne rasporede, i to posebno ako je frekvencija modalne vrednosti velika. U tom slucaju modus je tipicna vrednost koja pokazuje u pravom smislu centralnu tendenciju posmatrane serije.
Iako se znatno rede primenjuje od aritmeticke sredine, modus je za neke vrste istraživanja pogodniji, jer daje jasniju informaciju o tendenciji okupljanja vrednosti obeležja oko srednje vrednosti. Tako, na primer, za sagledavanje turisticke tražnje jasniju konkretnu informaciju daje broj aranžmana koji se najcešce traži, nego prosecan broj koji može biti i decimalan pa samim tim i nedovoljno informativan. Isto tako, najcešca cena, cena po kojoj se proda najveci broj aranžmana, predstavlja znacajnu karakteristiku turistickog tržišta i neophodnu dopunu prosecne cene.

Modus se, za razliku od izracunatih srednjih vrednosti, može koristiti i kao mera centralne tendencije atributivnih serija. Na primer, ako je medu licima koja traže zaposlenje u preduzecima turisticke privrede najveci broj onih koji imaju diplomu Više turisticke škole, onda se završena Viša turisticka škola kao modalitet obeležja školske spreme može smatrati modusom.
Pri korišcenju modusa treba imati u vidu, sa obzirom na postupak obracuna, da na njegovu velicinu utice nacin grupisanja podataka. Naime, promenom velicine grupnih intervala ili njihovih granica, pri istim intervalima, mogu se dobiti razlicite vrednosti modusa. Sa druge strane modus je potpuno neosetljiv na promene frekvencija raznih vrednosti obeležja, ukoliko frekvencija obeležja, koja je jednaka modusu, ostaje i dalje najveca.

2.5.MEDIJANA

Medijana (??) je poziciona srednja vrednost i nalazi se u sredini serije, ciji su clanovi rasporedeni po velicini vrednosti obeležja. Medijana je vrednost statistickog obeležja koja statisticki skup deli na dva jednaka dela.

Medijana predstavlja drugaciju meru centralne tendencije u odnosu na aritmeticku sredinu. Medijana, takode, jeste neka vrsta prosecne vrednosti. Medijana nekog kvatnitativnog skupa podataka jeste srednji broj u situaciji kada se sve vrednosti poredaju od najniže do najviše ili obrnuto. Ukoliko je niz brojeva neparan, onda je medijana broj u sredini. Ukoliko je broj paran, onda je medijana srednja vrednost srednja dva broja. U nekim situacijama medijana je bolja mera centralne tendencije u odnosu na aritmeticku sredinu. Ovo zato što je medijana manje senzitivna na ekstremno male i ekstremno velike vrednosti.

Medijana je ona vrednost obeležja koja se nalazi u sredini serije ciji su podaci sredeni po velicini od najmanje do najvece vrednosti, odnosno vrednosti koja citav skup podataka serije deli na dva jednaka dela, tako da jedna polovina ima manju, a druga polovina vecu vrednost od medijane. Za razliku od aritmeticke sredine koja se definiše kao tipicna vrednost obeležja, medijana je vrednost obeležja za tipicnu jedinicu. Zbog ove specificnosti medijana je poziciona mera centralne tendencije. Prakticno, ona zavisi od broja clanova u jednoj distribuciji, a ne od njihove velicine. Na iznos ove srednje vrednosti ne uticu ekstremne vrednosti obeležja, pa je zbog toga pogodna kao srednja vrednost u rasporedima frekvencije sa otvorenim intervalima. Generalno, svuda gde vrednosti obeležja u distribuciji znatnije variraju, medijana je bolja mera centralne tendencije od aritmeticke sredine. Smisao ove mere nije teško shvatiti. Medijana jednog rasporeda bice vrednost koja odgovara tacki apcise jednog histograma frekvencija iz koje povucena vertikala deli površinu histograma na dva jednaka dela.
Pri odredivanju medijane treba razlikovati slucajeve kada je, prvo, broj jedinica neparan, i, drugo, paran. Ako je u pitanju negrupisana serija sa neparnim brojem podataka, tada je njen srednji clan deli na dva jednaka dela. Tako ce u seriji podataka o starosti zaposlenih u jednoj turistickoj agenciji, sredenih po velicini:

24, 26, 28, 30, 35

Medijana biti 28, jer se ta vrednost nalazi u sredini ove serije. Dakle, za neparne nizove negrupisanih podataka medijana se odreduje jednostavno traženjem srednjeg clana niza ciji su podaci sredeni po velicini.

Ako je u pitanju negrupisana serija sa parnim brojem podataka, tada se dve vrednosti nalaze u njenoj sredini, pa se njihov prosek (aritmeticka sredina) uzima kao vrednost medijane. Ako predhodnoj seriji dodamo, na primer, još jednu vrednost (38) dobicemo novu seriju podataka o starosti zaposlenih:

24, 26, 28, 30, 35, 38,

u kojoj ce medijana biti 29, tj.aritmeticka sredina dva središna podatka (28 i 30).

Za serije grupisanih podataka, raspored frekvencija po neprekidnim obeležjima, medijana se utvrduje interpolacijom izmedu donje i gornje granice intervala (medijalni interval) u kome se medijana nalazi:

N - ? f1 N - ? f2
Me = L1 + 2 * i ili Me = L2 + 2 * i
fme fme

gde je Me vrednost medijane, L1 i L2 donja i gornja granica medijalnog intervala, N broj vrednosti u seriji, ? f1 zbir frekvencija (kumulirana frekvencija „ispod“) predmedijalnog intervala, ? f2 zbir frekvencija (kumulirana frekvencija „iznad“) posle medijalnog intervala fme frekvencija medijalnog intervala, a i velicina intervala.
Za seriju podataka tabele 3., koja pokazuje dnevnu potrošnju 100 stranih turista (N = 100), središnji clan (50-ti) se nalazi u trecem grupnom intervalu (260-300). Njegova donja granica, L1 iznosi 260, gornja, L = 300, širina intervala i = 40, a frekvencija fme = 45. kumulirana frekvencija predmodalnog intervala, tj.frekvencija vrednosti manjih (ispod) od 260 iznosi (5+15) 20. medijana ce, prema tome biti:

N - ? f1
Me = L1 + 2 * i = 260 + 50 – 20 * 40 = 286,6 ˜287.
fme 45

Istu vrednost bismo dobili i po dugom obrascu, pri cemu treba istaci da se u oba slucaja polazi od pretpostavke o ravnomernom rasporedu vrednosti serije unutar svakog grupnog intervala, što nije uvek slucaj. Apcisa tacke preseka kumulante „ispod“ i kumulante „iznad“, predstavlja graficki odedenu vrednost medijane. Medijana se može odrediti graficki i na osnovu samo jedne kumulante, bilo „ispod“ ili „iznad“, kao apcisa tacke cija ordinata odgovara sredini serije (N/2). Vrednost medijane u našem primeru, odredena na osnovu kumulativa „ispod“, iznosi 287 dolara.
Pošto vrednost medijane u najvecoj meri zavisi od broja i redosleda vrednosti u seriji, za njeno utvrdivanje nije neophodno raspolagati svim vrednostima, ako su one poredane po velicini. Ovo svojstvo dozvoljava mogucnost da se, na primer, srednji vek trajanja odredene vrste sredstava za prevoz turista (brodova, autobusa i sl.) odredi i pre rashodovanja svih raspoloživih sredstava, tako što se medijana nade cim broj rashodovanih sredstava prede polovinu njihovog broja. Isto tako, u slucajevima kada je teško pribaviti tacne numericke vrednosti za sve clanove serije ali ih je lako rangirati, moguce je naci središnji clan i tacno izmeriti njegovu numericku vrednost, koja onda predstavlja celu seriju u smislu medijane. Medijana se ne može odrediti kada otvoreni grupni interval sadrži više od polovine svih jedinica. U praksi takvi su slucajevi retki jer je za pravilno grupisanje uslov da otvoreni grupni interval ima što manju frekvenciju. Takode, ona nece biti podesan pokazatelj rasporeda ako su krajnje vrednosti obeležja ekstremne i karakteristicne da posmatranu pojavu.

U pogledu svojstava koje ima medijana treba primetiti da na nju ne uticu promene vrednosti obeležja što može da se tumaci i kao odlika i kao nedostatak. Kao odliku treba shvatiti u tom smislu što je ona neosetljiva na ekstremne vrednosti, a što joj je jedna od znacajnih odlika u odnosu na druge mere centralne tendencije. I ona se može utvrditi za svaki raspored frekvencija, ona je jedinstvena mera centra i u svom odredivanju zahteva minimum racunskih operacija. Otvoreni grupni intervali za nju ne predstavljaju problem. Jedini zahtev koji ona podrazumeva je da su vrednosti obeležja u rasporedu sredene po velicini.

Kada se govori o srednjim vrednostima bilo izracunatim ili pozicionim, mora se imati u vidu da u praksi svaka od njih ima svoje mesto, kako sa stanovišta znacaja tako i sa stanovišta izracunavanja. Koju cemo srednju vrednost odabrati kao najpovoljniju karakteristiku rasporeda frekvencija zavisi, u krajnjoj liniji, od cilja istraživanja.

Medijana ima neke prednosti u odnosu na aritmeticku sredinu. Naprimer, na vrednost medijane ne uticu ekstremne vrednosti, lako se razume i može se izracunati na osnovu bilo kojih podataka, može se racunati i za otvorene intervale. Nedostaci medijane su što su procedure u kojima se ona koristi kompleksnije od onih u kojima se koristi aritmeticka sredina, podaci se moraju pre odredivanja medijane srediti u rastuci niz itd.

ZAKLJUCAK

Statistika istražuje pojave koje su po svojoj prirodi varijabilne, koje imaju masovne karakteristike i cije ponašanje u masi, na našem nivou intelektualnog razvoja, nije unapred odredeno egzaktnim uzrocno-posledicnim zakonitostima. Posmatranjem i analiziranjem pojava na velikom broju slucajeva, statistika donosi odredene zakljucke o masovnom ponašanju tih pojava, te se najcešce i predstavlja kao naucni metod kvantitativnog istraživanja masovnih pojava.

Kada govorimo o srednjim vrednostima, bilo izracunatim, bilo pozicionim, moramo imati u vidu da svaka od njih u praksi ima svoje mesto, kako sa stanovišta znacaja tako i sa stanovišta izracunavanja. Koju srednju vrednost odabrati kao najpodesniju karakteristiku distribucije frekvencija zavisice, u krajnjoj liniji, od cilja istraživanja.

LITERATURA:

• Dr Goran Kvrgic „OSNOVI FINANSIJSKE STATISTIKE“, Visoka poslovna škola strukovnih studija, Cacak, 2008.god.

• Dr Vladislav Ðolevic, Dr Violeta Tošic „STATISTIKA“ sa primenom u turizmu, BMG-NM, Beograd, 2007.god.

Internet adrese:

• www.crnarupa.singidunum.ac.yu
• www.eccf.su.ac.yu
• www.foi.hr
• www.fpn.cg.yu
• www.knowledge-bank.org
• www.mfk.ba
• www.statlab0.fon.bg.ac.yu
• www.supa.pharmacy.bg.ac.rs

preuzmi seminarski rad u wordu » » »  

Besplatni Seminarski Radovi

SEMINARSKI RAD